馬 勇，潘冬濤，曾兆祥

(1．湖南大學 金融與統(tǒng)計學院，湖南 長沙 410079； 2．中南林業(yè)科技大學 經(jīng)濟學院，湖南 長沙 410004)*

一、引 言

在全球金融市場中，美元和原油均是十分重要的宏觀經(jīng)濟變量：前者是當今世界上影響力最大的國際貨幣，后者則是當今世界上最重要的能源之一。由于原油價格的劇烈波動會對世界經(jīng)濟造成重大影響，因此，有必要對原油價格進行研究，以便更好地對價格風險進行控制。鑒于美元是原油的定價貨幣，美元指數(shù)與原油價格之間存在著天然的聯(lián)系，故美元指數(shù)與原油價格之間的關(guān)系便成為了學者們關(guān)注的重點之一。理論上，美元指數(shù)與原油價格呈負相關(guān)關(guān)系。Austvik(1987)從需求的角度解釋了美元與原油價格的負相關(guān)關(guān)系[1]。此外，對于其負相關(guān)關(guān)系還可以從供給角度、投資角度以及貨幣政策角度進行解釋[2,3]。實證上，大部分研究發(fā)現(xiàn)，美元與原油價格的相關(guān)性為負[4-6]。此外，吳麗麗(2015)研究發(fā)現(xiàn)，它們之間的相關(guān)性與失業(yè)率密切相關(guān)[7]。除了相關(guān)性以外，美元指數(shù)和原油價格波動率間的關(guān)系也是學者們關(guān)注的焦點之一。大部分研究發(fā)現(xiàn)，美元與原油價格存在明顯的單向或雙向波動溢出效應(yīng)[8-12]，但個別研究發(fā)現(xiàn)其波動溢出效應(yīng)不明顯[13]。

上述研究旨在利用計量模型構(gòu)建美元指數(shù)和原油價格的動態(tài)交互變化的過程，通過掌握兩個市場價格和波動率的變化規(guī)律來達到控制風險的目的。但是，美元指數(shù)和原油價格除了連續(xù)變化以外，有時還會發(fā)生暴漲暴跌。由于目前對美元指數(shù)和原油價格的研究大部分是關(guān)于相關(guān)性和波動溢出效應(yīng)，而對于暴漲暴跌這種跳躍現(xiàn)象則鮮有研究。Li等(2017)指出，有必要對油價與匯率之間的跳躍溢出進行實證分析，因為影響美元的事件可能同時影響石油和非美元貨幣的價格，且在嚴重依賴石油的經(jīng)濟體中，匯率與油價之間可能存在很強的相關(guān)性[14]。因此，研究美元指數(shù)和原油價格的暴漲暴跌現(xiàn)象，無論是對于理解美元指數(shù)和原油價格的跳躍機制，還是對控制美元指數(shù)和原油價格的跳躍風險都十分必要。然而，普通的GARCH類模型雖能較好地刻畫資產(chǎn)價格波動率的變化特點，但在解釋資產(chǎn)價格的跳躍現(xiàn)象上存在局限性。為了解決該問題，一種做法是在GARCH類模型中加入跳躍項來識別資產(chǎn)價格中的跳躍，這種包含跳躍的GARCH模型被稱為混合GARCH跳躍模型[15-18]；另一種做法是基于Anderson等(2001, 2007)提出的已實現(xiàn)波動率模型及跳躍判別方法[19,20]，采用高頻數(shù)據(jù)研究資產(chǎn)價格的跳躍[21,22]。

從目前已有的文獻來看，基于低頻數(shù)據(jù)的資產(chǎn)跳躍研究主要還是采用混合GARCH跳躍模型。然而，沐年國(2007)認為，混合GARCH跳躍模型在處理跳躍數(shù)據(jù)時會導致數(shù)據(jù)過程失真[23]。一種防止失真的方法是將跳躍事件與波動率過程進行分離，單獨對跳躍事件進行研究。因此，本文采用兩個相互關(guān)聯(lián)的Hawkes過程單獨對美元指數(shù)和原油價格的暴漲暴跌進行建模。Hawkes過程最早由Hawkes在1971年提出，與一般的點過程(例如泊松過程)不同的是，Hawkes過程假定各事件之間是相互影響而不是獨立的[24]。已經(jīng)發(fā)生的事件會加大新的事件發(fā)生的強度，使得新的事件發(fā)生的可能性增大。因此，Hawkes過程作為點過程同樣能夠像多元混合GARCH跳躍模型一樣捕捉到金融市場上的跳躍聚集和跳躍關(guān)聯(lián)。此外，與泊松過程相比，Hawkes過程能更好地描述現(xiàn)實世界中極端事件的發(fā)生，因而其在經(jīng)濟金融領(lǐng)域也逐漸受到重視[25,26]。

二、Hawkes模型構(gòu)建及估計、檢驗

由于美元指數(shù)和原油價格的暴漲暴跌為兩個相互關(guān)聯(lián)的Hawkes過程，故標值點過程{(ti,n,ri,n)}對應(yīng)的強度過程為：

(1)

其中I為示性函數(shù)，fi,j(x)為暴漲暴跌幅度的概率密度。根據(jù)極值理論[27]，對于平穩(wěn)過程{ri(t)}，i=1,2，當暴漲閾值和暴跌閾值的絕對值足夠大時，暴漲和暴跌幅度均近似服從廣義帕累托分布，即：

x≥ui,j；i=1,2；j=1,2

(2)

并且對i=1,2，有：

(3)

下面，采用極大似然估計方法(MLE)來估計模型的參數(shù)。設(shè)樣本的時間區(qū)間為[0,T]，則模型的對數(shù)似然函數(shù)為：

(4)

其中式(4)右邊的第一項和第二項分別用于估計廣義帕累托分布和地面強度過程中的參數(shù)。結(jié)合式(3)～(5)，通過最大化對數(shù)似然函數(shù)即可得出模型中的參數(shù)估計值。

(5)

對于模型的擬合優(yōu)度檢驗，一是檢驗暴漲暴跌幅度的樣本分布是否符合廣義帕累托分布，二是檢驗暴漲暴跌的樣本強度過程是否符合Hawkes過程。對于第一個檢驗，可通過繪制序列{|ri,n|}與所擬合的廣義帕累托分布的QQ圖來進行判斷。對于第二個檢驗，若假設(shè)在樣本期間[0,T]內(nèi)發(fā)生的美元指數(shù)和原油價格的暴漲暴跌分別為N1和N2次，則可構(gòu)造出以下轉(zhuǎn)化過程：

(6)

其中n=1,2,…,Ni；i=1,2。上述轉(zhuǎn)化時間序列{τi,n}稱為余數(shù)過程，且由于暴漲暴跌均由Hawkes過程產(chǎn)生，因而每個余數(shù)過程均為單位強度的泊松過程，其差分序列{τi,n-τi,n-1}一致服從單位均值的指數(shù)分布[28]。因此，第二個檢驗等價于檢驗樣本余數(shù)過程的差分序列是否來自單位均值的指數(shù)分布，這同樣可通過繪制QQ圖來進行判斷。

三、實證分析

(一)數(shù)據(jù)及其初步分析

本文采用貿(mào)易加權(quán)的美元指數(shù)和布倫特原油價格的日(對數(shù))收益率作為研究的樣本，樣本選取的時間范圍為1997年1月1日至2016年12月31日，共5218個數(shù)據(jù)，其中美元指數(shù)數(shù)據(jù)來源于湯森路透數(shù)據(jù)庫，原油價格數(shù)據(jù)來源于美國能源信息署網(wǎng)站。美元指數(shù)與原油價格的歷史走勢如圖1所示。從圖1可以看出，美元指數(shù)和布倫特原油的走勢存在著明顯的急劇漲跌，且這種急劇漲跌傾向于同時發(fā)生。

圖1 美元指數(shù)和原油價格的歷史走勢

從表1可知，美元指數(shù)和原油價格的收益率均具有左偏、尖峰厚尾的特點，且美元指數(shù)收益率的波動要小于原油價格收益率的波動。要對美元指數(shù)和原油價格的暴漲暴跌進行建模，就必須先確定暴漲暴跌閾值的大小。對于閾值的設(shè)定，一是當所有樣本的分布都接近時，可設(shè)定一個固定的閾值，然后對所有樣本均采用該閾值[29]；二是當每個樣本的分布有所差異時，可以設(shè)定一個概率值，然后以其所對應(yīng)的分位數(shù)作為閾值[30]。由于美元指數(shù)和原油價格收益率的分布有較大差異，故采用第二種方法。我們以美元指數(shù)和原油價格收益率樣本的98.5%分位數(shù)分別作為其暴漲的閾值，相應(yīng)的閾值分別為1.149%和5.426%；以美元指數(shù)和原油價格收益率樣本的1.5%分位數(shù)分別作為其暴跌的閾值，相應(yīng)的閾值分別為-1.189%和-5.129%。可以得出，美元指數(shù)在樣本期間內(nèi)共發(fā)生了79次暴漲和79次暴跌，原油價格在樣本期間內(nèi)發(fā)生了76次暴漲和76次暴跌。從圖2中可以看出，在2008年金融危機發(fā)生期間，美元指數(shù)和原油價格的暴漲暴跌均呈現(xiàn)出明顯的跳躍聚集特點。此外，在2010-2014年，美元指數(shù)存在著明顯的暴漲暴跌現(xiàn)象，而這一期間內(nèi)原油價格的變化則相對平穩(wěn)，這表明美元指數(shù)與原油價格的暴漲暴跌并非完全是一一對應(yīng)關(guān)系。

(二)模型估計結(jié)果及含義

表2給出了美元指數(shù)和原油價格暴漲暴跌幅度所對應(yīng)的廣義帕累托分布參數(shù)的估計值，圖3為對應(yīng)擬合優(yōu)度檢驗的QQ圖。從圖3可以看出，美元指數(shù)和原油價格暴漲暴跌幅度的經(jīng)驗分布均接近于對應(yīng)的廣義帕累托分布，表明廣義帕累托分布能夠較好地擬合美元指數(shù)和原油價格的暴漲暴跌幅度。此外，從圖4可以看出，美元指數(shù)和原油價格暴漲暴跌所對應(yīng)的余數(shù)過程差分序列的經(jīng)驗分布均接近于均值為1的指數(shù)分布，表明Hawkes過程能較好地模擬美元指數(shù)和原油價格暴漲暴跌的發(fā)生。

表1 美元指數(shù)和原油價格收益率的基本統(tǒng)計量

表2 廣義帕累托分布的參數(shù)估計值

表3 地面強度過程的參數(shù)估計值

圖2 美元指數(shù)和原油價格的暴漲暴跌幅度

從表3可知，θ1,1和θ1,2明顯大于λ1，表明美元指數(shù)的暴漲暴跌存在著明顯的自我刺激效應(yīng)和交叉刺激效應(yīng)，即無論是美元指數(shù)還是原油價格暴漲暴跌的發(fā)生都會刺激美元指數(shù)新一輪的暴漲暴跌。同時，θ1,1大于θ1,2，δ1,1大于δ1,2，表明美元指數(shù)暴漲暴跌的自我刺激效應(yīng)比交叉刺激效應(yīng)更強。另外，θ2,2明顯大于λ2，表明原油價格的暴漲暴跌同樣存在著明顯的自我刺激效應(yīng)；但由于θ2,1略小于λ2，δ2,1較小且美元指數(shù)暴漲暴跌的幅度最大不超過2%，故原油價格暴漲暴跌的交叉刺激效應(yīng)較弱，美元指數(shù)暴漲暴跌的發(fā)生對原油價格暴漲暴跌的刺激不是很明顯。這說明美元指數(shù)與原油價格暴漲暴跌的交叉刺激作用具有非對稱性。上述結(jié)果解釋了圖2中美元指數(shù)和原油價格暴漲暴跌的聚集現(xiàn)象，以及兩者間并非完全對應(yīng)的情況——由于原油價格的暴漲暴跌只能對美元指數(shù)的暴漲暴跌產(chǎn)生明顯的單向刺激，故當原油價格發(fā)生暴漲暴跌時，美元指數(shù)也會大概率發(fā)生暴漲暴跌，而反之不然。此外，η1,2大于η1,1，η2,1大于η2,2，表明無論是美元指數(shù)還是原油價格，暴漲暴跌的自我刺激效應(yīng)比起交叉刺激效應(yīng)持續(xù)的時間都更長。從圖5中可以看出，無論是美元指數(shù)還是原油價格，當暴漲暴跌發(fā)生時，其地面強度會受到刺激而瞬間上升，之后隨著時間推移逐步下降，直到下一次暴漲暴跌的發(fā)生。

圖3 廣義帕累托分布對美元指數(shù)和原油價格暴漲暴跌幅度的擬合優(yōu)度檢驗對應(yīng)的QQ圖

圖4 Hawkes過程對美元指數(shù)和原油價格暴漲暴跌的擬合優(yōu)度檢驗對應(yīng)的QQ圖

(三)穩(wěn)健性檢驗

本文通過改變閾值大小檢驗?zāi)Ｐ偷姆€(wěn)健性。令美元指數(shù)和原油價格的暴漲閾值分別為其收益率的98%、98.5%、99%分位數(shù)，相應(yīng)的暴跌閾值分別為其收益率的2%、1.5%、1%分位數(shù)。從表4可知，當暴漲(暴跌)閾值發(fā)生變化時，廣義帕累托分布的各個估計參數(shù)的變化均不是很明顯，且估計值的符號沒有發(fā)生改變，因此，可以認為廣義帕累托分布模型是相對穩(wěn)健的。從表5可知，當暴漲(暴跌)閾值發(fā)生變化時，λ1、θ1,1、η1,1、θ1,2、δ1,2、η1,2、λ2、δ2,2的數(shù)量級沒有發(fā)生改變，其變化不是很明顯，估計值相對穩(wěn)定；其他參數(shù)變化比較明顯。然而，無論參數(shù)如何變化，θ1,1和θ1,2大于λ1，θ1,1大于θ1,2，δ1,1大于δ1,2，θ2,1小于λ2，θ2,2大于λ2，η1,2大于η1,1以及η2,1大于η2,2總是成立。因此，可以認為閾值變化引起的估計參數(shù)的變化并不會對模型的結(jié)論造成影響，即地面強度過程模型依舊是相對穩(wěn)健的。

表4 不同閾值下廣義帕累托分布的估計參數(shù)

圖5 美元指數(shù)和原油價格暴漲暴跌的地面強度過程

地面強度過程參數(shù)暴漲(暴跌)的閾值(以分位數(shù)對應(yīng)的百分比表示)98% (2%)98.5% (1.5%)99% (1%)λ10.000036470.000050950.00005075(0.00003593)(0.00003154)(0.00003538)θ1,10.0076260.0074590.007337(0.001367)(0.001385)(0.001397)δ1,137.1945.842.096(18.67)(24.25)(1.901)η1,10.0085120.0086370.007484(0.001437)(0.001482)(0.001461)θ1,20.0014810.0037300.006437(0.001398)(0.001066)(0.003540)δ1,20.60330.30580.2170(0.5017)(0.07866)(0.2076)η1,229.9748.4361.84(8.033)(39.53)(48.84)λ20.000067690.000079480.00009819(0.00005507)(0.00005340)(0.00008256)θ2,10.0000022390.000044740.000005241(0.0000003695)(0.00002787)(0.000001996)δ2,120.195.59957.57(0.3361)(0.8444)(14.37)η2,1936.9142.161.40(0.01163)(0.3721)(0.1067)θ2,20.010060.0076970.009886(0.001697)(0.001819)(0.001942)δ2,24.3088.2616.028(3.541)(7.341)(2.958)η2,20.0010870.0093880.01163(0.001744)(0.001601)(0.002247)

(四)模型預(yù)測能力比較

(7)

(8)

其中λ是泊松過程的估計強度，M為樣本總數(shù)，N為樣本內(nèi)暴漲暴跌事件發(fā)生的次數(shù)。

用Hawkes過程分別對美元指數(shù)和原油價格的暴漲暴跌進行樣本內(nèi)預(yù)測，其均方根誤差分別為0.1674和0.1662；對應(yīng)的泊松過程預(yù)測的均方根誤差分別為0.1714和0.1706?？梢钥闯?，Hawkes過程對應(yīng)的均方根誤差均小于泊松過程對應(yīng)的均方根誤差，這意味著Hawkes過程對美元指數(shù)和原油價格暴漲暴跌的樣本內(nèi)預(yù)測能力要優(yōu)于泊松過程。由于暴漲暴跌在一天內(nèi)發(fā)生的概率十分小，因此，Hawkes過程對暴漲暴跌的單日預(yù)測能力與泊松過程相比實際上差距很小。然而，當把預(yù)測區(qū)間擴大時， Hawkes過程與泊松過程對暴漲暴跌預(yù)測能力的差距就會變得十分明顯。例如，用Hawkes過程和泊松過程分別預(yù)測暴漲暴跌在一個月內(nèi)至少發(fā)生一次的概率，并與真實情況對比來計算均方根誤差。結(jié)果表明，Hawkes過程與泊松過程預(yù)測美元指數(shù)暴漲暴跌的均方根誤差分別為0.4467和0.5196，前者比后者小14.03%；而其預(yù)測原油價格暴漲暴跌的均方根誤差分別為0.4092和0.5261，前者比后者小22.22%。表明當時間區(qū)間擴大至一個月時，Hawkes過程與泊松過程相比其在預(yù)測能力上的優(yōu)勢將更加明顯，其對美元指數(shù)和原油價格暴漲暴跌的樣本內(nèi)預(yù)測比起泊松過程更加準確。

四、結(jié)論與政策建議

本文將美元指數(shù)和原油價格的暴漲暴跌單獨分離出來，采用Hawkes過程來研究美元指數(shù)與原油價格暴漲暴跌的交互刺激效應(yīng)。結(jié)果表明：美元指數(shù)的暴漲暴跌具有明顯的自我刺激效應(yīng)和交叉刺激效應(yīng)，而原油價格的暴漲暴跌僅存在明顯的自我刺激效應(yīng)；美元指數(shù)與原油價格暴漲暴跌的交叉刺激作用具有非對稱性。由于美元指數(shù)和原油價格暴漲暴跌的發(fā)生能刺激美元指數(shù)新一輪的暴漲暴跌，同時原油價格暴漲暴跌的發(fā)生還能刺激原油價格新一輪的暴漲暴跌，這就導致了美元指數(shù)與原油價格具有暴漲暴跌聚集的現(xiàn)象；而交叉刺激的不對稱性使得原油價格發(fā)生暴漲暴跌時，美元指數(shù)也大概率會發(fā)生暴漲暴跌，但反之則不一定成立。此外，無論是美元指數(shù)還是原油價格的暴漲暴跌，自我刺激效應(yīng)比起交叉刺激效應(yīng)持續(xù)的時間都更長。同時，本文發(fā)現(xiàn)，Hawkes過程對美元指數(shù)和原油價格暴漲暴跌的預(yù)測能力均優(yōu)于泊松過程。

由于跳躍對風險管理至關(guān)重要，因此，研究美元指數(shù)與原油價格暴漲暴跌的相互作用有著重要的意義。首先，了解美元指數(shù)與原油價格暴漲暴跌的交互刺激，有助于投資者更好地理解跳躍風險在原油和美元間的傳遞方向，從而制定有效的風險防范措施。其次，美元指數(shù)與原油價格暴漲暴跌的相關(guān)性，提醒投資者應(yīng)更加謹慎地對待與兩者相關(guān)的資產(chǎn)，要隨時掌握美元和原油相關(guān)的信息，采取有效手段規(guī)避兩者同時跳躍時所帶來的可能的巨大損失。最后，在跳躍事件發(fā)生時，政策制定者應(yīng)及時采取有效的風險管理手段來控制這種跳躍風險的跨市場傳播。尤其是原油價格發(fā)生暴漲暴跌時，更應(yīng)防止其向外匯市場傳染，以降低跳躍事件所帶來的風險沖擊。