高偉吉，孫 暢

“電磁學(xué)”是物理學(xué)專業(yè)一門重要的專業(yè)必修課，它是光學(xué)、電動力學(xué)、電工學(xué)、電子線路等后續(xù)課程的基礎(chǔ)，也是各高校理工科專業(yè)廣泛開設(shè)的一門基礎(chǔ)理論課程，因其概念、公式、規(guī)律比較多，涉及矢量代數(shù)、微積分和微分方程等很多高等數(shù)學(xué)知識，再加上課程容量大，“電磁學(xué)”成為一門學(xué)生普遍反映難學(xué)的課程，因此優(yōu)化教學(xué)方法、提高學(xué)習(xí)效率是我們亟待解決的問題.

分類教學(xué)法就是把教學(xué)內(nèi)容相近、教學(xué)方法相同、物理思想一致的問題放到一起歸為一類來研究的教學(xué)方法.對于同一類型的內(nèi)容，物理思想、思維方式、解決方法、計算過程都有相似之處，掌握其中的一個，其它問題就迎刃而解了.分類教學(xué)法的好處在于化繁為簡、觸類旁通、事半功倍.比如，在進行磁場教學(xué)時，學(xué)生就可以對比電場概念和規(guī)律來學(xué)習(xí)磁場的知識，可以用已經(jīng)熟知的電場物理思想和思維方式來解決磁場的問題.學(xué)生容易學(xué)習(xí)，還可以節(jié)省很多時間，大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.分類教學(xué)法還可以充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用.在教學(xué)中，教師的主導(dǎo)作用是教授學(xué)習(xí)方法，學(xué)生用此方法主動去學(xué)習(xí)磁場的規(guī)律，遇到困難時，教師再進行指導(dǎo)，充分體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用.在這里針對分類教學(xué)法我們要談以下幾個問題：矢量場類教學(xué)、三角形積分類教學(xué)、介質(zhì)極化電荷類教學(xué)、對稱性類教學(xué).

1 矢量場類教學(xué)

在“電磁學(xué)”中，矢量場有很多種，比如靜電場、穩(wěn)恒磁場、電流場、電位移D場、磁場強度H場，等等，把這些問題歸成一類稱之為“矢量場類”問題，我們以靜電場為例來說明它的特點，描述靜電場的物理量是電場強度E，它首先是一個矢量，是空間一定區(qū)域各點的函數(shù)，因此叫矢量點函數(shù).所以靜電場第一個特點是電場強度E是矢量點函數(shù).我們研究靜電場是要在整個空間中研究這個物理量，研究空間各點的電場強度E的關(guān)系，也就是任意一個閉合曲面的通量和閉合曲線的環(huán)流.所以靜電場第二個特點為沿任意一個閉合曲面的通量等于它所包圍的電量的代數(shù)和除以靜電場第三個特點為沿任意閉合曲線積分為零，即上就是靜電場特點.

在學(xué)習(xí)穩(wěn)恒磁場時，教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生找出與靜電場相似的內(nèi)容對比學(xué)習(xí).由于同一類知識內(nèi)容相近，教法相同，物理思想一致，以致思維方式大致相同.所以，用已經(jīng)掌握的方法學(xué)習(xí)新知識就比較容易.在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生可以發(fā)揮主體作用.首先，學(xué)生大致猜測要學(xué)的內(nèi)容，描述磁場的物理量應(yīng)該為磁感應(yīng)強度B，它沿任意閉合曲面的通量是什么？有沒有和電荷一樣的東西？如果有，應(yīng)該是什么？它沿任意閉合曲線的環(huán)流還是零嗎？接下來聽教師講授.這樣，教師的講授內(nèi)容學(xué)生就順理成章接受了.在講授矢量場其它內(nèi)容時，我們也用類似方法，不過，這時教學(xué)過程中教師的講授內(nèi)容適當(dāng)少一些，學(xué)生的主體作用適當(dāng)多一些，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)效率的提高.

各種矢量場規(guī)律不都相同，但是都反映有源性和有旋性，抓住這兩個性質(zhì)，這一類問題就迎刃而解了.

我們再來研究一下有源性.靜電場是一個有源場，如圖1是一對等量異號電偶極子所形成的電場線，正電荷是所有電場線的發(fā)源地，電場線從此處發(fā)出，就像一個“源泉”，所以，正電荷叫

1.1 矢量場的有源性

在靜電場中，電場強度通過任意一個閉合曲面的通量等于它所包圍電荷的代數(shù)和除以ε0.數(shù)學(xué)表達式為：“源”，負電荷是電場線的匯聚點，所有的電場線都指向這一點，因此叫“匯”［1］.為了說明“源”與“匯”的問題，請看圖2、圖3.電場線從正電荷發(fā)出，到負電荷終止，“源”就是電場線發(fā)出的地方,即正電荷所在處，圍繞正電荷作一個小的閉合曲面，電場線從閉合曲面內(nèi)發(fā)出，所以正電荷為“源”.“匯”就是電場線終止的地方即負電荷所在處，同樣，圍繞負電荷也作一個小的閉合曲面，電場線都匯聚到閉合曲面內(nèi)部，所以負電荷為“匯”.

圖1 一對等量異號的電偶極子所形成的電場線

圖2 正電荷是“源”

圖3 負電荷是“匯”

在教學(xué)過程中值得注意的是，電場線是假想的線，實際是不存在的，“源”與“匯”問題不是直接“看”出來的，只能從它的閉合曲面積分的值正負來判斷，閉合曲面積分的值為正時就為“源”，閉合曲面積分的值為負時就為“匯”.比如，從（1）式中右邊的電荷為正電荷時，電場強度的通量大于零，相當(dāng)于從閉合曲面內(nèi)向外“流出”電場線，所以此處為“源”.同樣，從（1）式中右邊的電荷為負電荷時，電場強度的通量小于零相當(dāng)于向閉合曲面內(nèi)“流入”電場線，所以此處為“匯”.如果（1）式右邊總等于零，就叫作無源場或無散場.穩(wěn)恒磁場就是無源場.在穩(wěn)恒磁場中，磁感應(yīng)強度沿任意閉合曲面的通量都等于零，即所以穩(wěn)恒磁場是無源場.

1.2 矢量場的有旋性

由靜電場的安培環(huán)路定理得，電場強度繞任意閉合曲線積分為零，數(shù)學(xué)表達式為：

電場強度繞任意閉合曲線積分為零，這樣的電場為無旋場（如圖4所示）.

圖4 在靜電場中電場強度沿閉合曲線為零

比如在重力場中，沿任意閉合曲線重力所做的功為零，即沿任意閉合曲線做功時重力沿曲線方向的投影有時為正有時為負，沿一圈做功正好為零，這樣的場叫作做無旋場，也叫有位場或有勢場.

如果場量繞任意閉合曲線積分不等于零，這樣的場叫作有旋場.比如穩(wěn)恒磁場的磁感應(yīng)強度B沿閉合曲線的積分不等于零，等于閉合曲線所圈圍電流的代數(shù)和的μ0倍，即

比如載流無限長直導(dǎo)線所形成的磁場，它的磁感應(yīng)線是以直導(dǎo)線上的點為圓心的一系列的同心圓，同心圓圓周所在的平面與直導(dǎo)線垂直，如圖5所示.如果我們選一個繞直導(dǎo)線閉合曲線磁場的積分，它不為零，而是等于閉合曲線所圈圍電流I的μ0倍，即

所以這樣的場叫作有旋場，從磁感應(yīng)線上看，它是一個無頭無尾的閉合曲線，和靜電場的電場線有本質(zhì)的區(qū)別.

圖5 在無限長直導(dǎo)線中所形成的磁場

1.3 矢量場的分類教學(xué)法

雖然矢量場都不盡相同，但是它們有共性，即閉合曲面的通量和閉合曲線的積分，把它們放在一起來研究，必定起到事半功倍的效果.在知識大爆炸時代，教學(xué)效果的提高，對于學(xué)者和教者都是非常重要的事情.分類教學(xué)法可以化復(fù)雜為簡單，化難為易，使學(xué)者更容易掌握，起到舉一反三、事半功倍的效果.下面我們再分析一下下面幾種矢量場.

第一個是真空中的靜電場，它的規(guī)律為

所以，真空中靜電場是一個有源無旋場，它的源與匯是正負電荷，電場線起于正電荷，止于負電荷，在沒有電荷的地方電場線不中斷，不能形成閉合曲線.

第二個是穩(wěn)恒磁場，它的規(guī)律為

它是一個無源有旋場，磁感應(yīng)線沒有起點和終點，因此是一個無頭無尾的閉合曲線，磁感應(yīng)線圍繞電流旋轉(zhuǎn).

下面我們再介紹一下另外一種場叫感生電場，它的規(guī)律為

它是無源有旋場，當(dāng)磁場隨時間均勻變化時，是無源有旋場，它和穩(wěn)恒磁場相差不多.當(dāng)感生電場與靜電場放在一起時，形成總電場，其規(guī)律為

它是一個有源有旋場，與上面幾種電場相比有所不同.

以上這些矢量場，它們可以歸為一類進行教學(xué)，我們要抓住兩點：一是它的有源性，即是有源場還是無源場.二是它的有旋性，即是有旋場還是無旋場，掌握這兩點，矢量場問題就迎刃而解.學(xué)習(xí)完靜電場后再來學(xué)習(xí)其它矢量場時，利用分類教學(xué)法，學(xué)生就比較容易學(xué)習(xí)了，可以節(jié)省時間，大大提高效率，使學(xué)習(xí)更輕松.

2 三角形積分類教學(xué)

在“電磁學(xué)”的教學(xué)中，習(xí)題教學(xué)是非常重要的一環(huán).“電磁學(xué)”習(xí)題之所以讓學(xué)生感覺頭疼，主要因為習(xí)題中的微積分知識運用比較多，它要求學(xué)生必須熟練掌握微積分知識.由于電場磁場都具有疊加性，在連續(xù)分布的情況下，求電場和磁場就需要積分來解，通常應(yīng)用微元法.微元法一般先把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為可積的數(shù)學(xué)問題，最后運用數(shù)學(xué)公式計算出結(jié)果.在把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為可積的數(shù)學(xué)問題時，其中有一大類運用三角形積分法.這一類問題的解決可以把“電磁學(xué)”中很大一部分計算成功化解.大大簡化計算的難度，極大地提高學(xué)習(xí)效率.例題如下.

例1 求均勻帶電圓盤軸線上的場強，已知圓盤半徑為R，電荷的面密度為σ(σ＞0)，如圖6所示.

圖6 均勻帶電圓盤軸線上的場強(σ＞0)

分析：在解此題時，由于圓盤大小與圓盤到場點的距離可比擬，所以圓盤不能看作點電荷，所以不能直接用公式，那么，我們就用微積分來做.在圓盤中取一個小面積元dS，所帶電量為dq，它可以看作點電荷，它所產(chǎn)生的電場為，然后再積分由對稱性得E的方向沿軸線方向.

場強dE沿軸線的分量為

在“電磁學(xué)”習(xí)題中經(jīng)常出現(xiàn)以上的三角形積分，它們的解題方法基本相同，變量都變成角度積分，dr（或 dx）都變成 sec2αdα（或-csc2αdα）掌握了這種積分方法就等于掌握了一大部分習(xí)題的解法，掃清了學(xué)習(xí)中一大障礙，使學(xué)生的解題變得簡單.下面再看幾個例題來體會一下分類教學(xué)法的優(yōu)勢.

例2 一長為l的均勻帶電細棒，電荷線密度為λ，設(shè)棒外一點P到細棒的距離為a，且與棒兩端的連線分別和棒成夾角θ1、θ2，如圖7所示，求P點的場強［2］.

本題問題與上面例子的問題是本質(zhì)不同的問題，但它們的解法都涉及到三角形積分，所以歸為一類進行教學(xué)，這樣可以使學(xué)生更方便掌握，提高學(xué)習(xí)效率.

圖7 例2圖帶電細棒外的一點的電場

例3 求載流直導(dǎo)線的磁場，如圖8所示.根據(jù)畢奧-薩伐爾定律得：

圖8 例3圖載流直導(dǎo)線的磁場

例4 求載流螺線管內(nèi)部軸線上的磁場，如圖9所示.

取一個寬為dx環(huán)形電流元

圖9 例4圖載流螺線管內(nèi)部軸線上的磁場

例5 一半徑為R的薄圓盤均勻帶電，其電荷面密度為σ若圓盤以角速度ω繞通過圓心O，且垂直于盤面的軸勻速轉(zhuǎn)動，試求軸線上距圓盤中心O為z處的磁感應(yīng)強度和圓盤的磁矩［2］，如圖10所示.

解：

圖10 例5圖轉(zhuǎn)動圓盤軸線上的磁場

在上面幾個例子中，三角形積分形式為

這些三角形積分分兩類：一類叫顯性三角形積分，這類積分含有角度.如.另一類叫隱性三角形積分，這類積分不含有角度.如對于顯性三角形積分，各變量都變成角度積分就可以，對于隱性三角形積分這里沒有角度，我們令tanzsec2αdα即可.這里三角形積分一般都化為角度積分，沒有角度的引進角度參量后進行積分，此方法是比較實用的方法.

3 介質(zhì)極化電荷類教學(xué)

介質(zhì)分為兩類，一類是電介質(zhì)，另一類是磁介質(zhì).介質(zhì)問題都比較復(fù)雜，但解題的方法都差不多，我們以電介質(zhì)為例討論一下介質(zhì)類的教學(xué).在“電磁學(xué)”中，介質(zhì)的極化電荷是比較難學(xué)的，我們把它分成一類來解決，這樣就容易一些，介質(zhì)中有導(dǎo)體存在時，導(dǎo)體帶有一定的自由電荷，分界面產(chǎn)生一層極化電荷，那么它們有什么規(guī)律呢？下面通過幾個例題進行討論.

例6 在無限大的均勻電介質(zhì)中，浸入一電量為q0的均勻帶電導(dǎo)體球，球的半徑為R，求介質(zhì)中的場強E及電介質(zhì)與導(dǎo)體球交界面上的極化電荷總量q′，設(shè)介質(zhì)的相對介電常數(shù)為εr，如圖11所示.

解：

圖11 球形導(dǎo)體與介質(zhì)相接時極化電荷與自由電荷的關(guān)系

在極化過程中，介質(zhì)的分界面產(chǎn)生了一層極化電荷，使得總電荷為沒有介質(zhì)時電荷q0的εr分之一.總電荷變成原來εr分之一，場強當(dāng)然也變成原來εr分之一.

如果把導(dǎo)體球換成圓柱形，導(dǎo)體亦有上面的結(jié)論，請看下面例題.

例7 長直導(dǎo)線和它同軸的的金屬圓筒構(gòu)成圓柱形電容器，其間充滿相對介電常數(shù)為εr的均勻電介質(zhì)（見圖12）.設(shè)導(dǎo)線的半徑為R1，圓筒的內(nèi)半徑為R2，導(dǎo)線上的自由電荷的線密度為λ0，略去邊緣效應(yīng)，求：

（1）電介質(zhì)中的電場強度E、電位移D和極化強度P；

（2）兩級電勢差U；

（3）電介質(zhì)表面的極化電荷面密度σ′.

圖12 柱形導(dǎo)體與介質(zhì)相接時極化電荷與自由電荷的關(guān)系

解：（1）在金屬圓筒內(nèi)任取一點M，過M點作一與圓筒軸同軸的圓柱面，圓柱面的高為h，以此圓柱面為高斯面，由有介質(zhì)的高斯定理得：

（3）在R1柱面上自 由 電 荷.總電荷是自由電荷

在R柱面上，同理2

以上兩個例子中具有一個共同特性，都是一個無限大介質(zhì)中有一塊導(dǎo)體.不同的是一個是球形導(dǎo)體，另一個是圓柱型導(dǎo)體.導(dǎo)體與介質(zhì)分界面有一層極化電荷，它與此處的自由電荷成正比，它們求解方法基本相同，都是利用有介質(zhì)高斯定理求解電位移D，再求場強E，由場強再求極化強度P，最后由極化強度求出極化電荷面密度σ'.這時極化電荷面密度σ'與原電荷面密度σ0相加就是新的電荷面密度σ，它是原來電荷面密度σ0的εr分之一，那么，這個結(jié)論是否具有一定的普遍性呢？對于導(dǎo)體不具有一定的對稱性的任意情況呢？結(jié)論還成立嗎？下面請看例題8.

例8 如圖13中A為一塊金屬，其外部充滿電介質(zhì)，已知交界面上某點的極化電荷面密度為σ'，該點附近電介質(zhì)的相對介電常數(shù)為εr，求該點自由電荷面密度σ0.

圖13 任意形狀導(dǎo)體與介質(zhì)相接極化電荷與自由電荷的關(guān)系

解：在導(dǎo)體表面處垂直于表面并且指向外部為正方向en

由上述三個式子可得

4 對稱性類教學(xué)

在教學(xué)中應(yīng)用高斯定理、安培環(huán)路定理求電場求磁場是屢見不鮮的，但是不是任何情況下都可以求得的，需要電荷或電流具有一定的對稱性.對稱性分為球?qū)ΨQ、軸對稱和面對稱等，如高斯定理，已知電荷分布，一般根據(jù)此式很難求出場強E的，要想求出場強，場強E在高斯面上必須是常數(shù)才能從積分中求出，這就要求有一定的對稱性，請看下面幾個例題.

例9 求均勻帶電球面產(chǎn)生的電場，已知球面的半徑為R，電量為q，如圖產(chǎn)14所示.

解：（1）分析電場分布的對稱性.

由于電荷的分布具有球?qū)ΨQ性，所以電場分布也應(yīng)該具有球?qū)ΨQ性.即距球心相等的點的場強與球心對稱，也就是場強大小相等，方向沿徑向方向.如果以這樣的面為高斯面，那么高斯面的積分場強E與dS方向相同，點乘之后為標量并且E是常數(shù)可以積分中提出，可求出場強.

（2）取高斯面.r＞R

取過p點以原球心為球心的球面為高斯面.

（3）計算高斯面所包圍的電荷.

圖14 例9圖均勻帶電球面產(chǎn)生的場

（4）應(yīng)用高斯定理.

r＜R，E?4πr2=0，E=0，E與r的關(guān)系如圖15所示.

圖15 例9圖 均勻帶電球面產(chǎn)生的場的場強E與r的關(guān)系

如果電荷q均勻分布在球體內(nèi)，可以用同樣的方法計算電場強度.

E其關(guān)系如圖16所示.

圖16 例9圖均勻帶電球體產(chǎn)生的場的場強E與r的關(guān)系

圖17 例10圖無限長均勻帶電直線產(chǎn)生的場的場強

對于其它球?qū)ΨQ分布的電荷形成的場也都是球?qū)ΨQ的場，應(yīng)用上述方法都可以解決，如果電荷是軸對稱時，它的電場也是軸對稱分布的，即距離軸線相等的各點大小相等方向沿徑向方向.即在與軸線同軸圓柱面上，如圖17所示.場強E與dS方向相同，點乘之后為標量并且E是常數(shù)可以積分中提出，可求出場強.這是側(cè)面，還有底面，對于底面E與dS方向垂直點乘為0，這項可以等于0，這樣就可以求出場強了.請看例題.

例10 設(shè)有一無限長均勻帶電直線，已知電荷線密度為λ.求距直線為r處的電場強度.

解：

例11 一圓柱形的長直導(dǎo)線，如圖18所示，截面半徑為R，穩(wěn)恒電流均勻通過導(dǎo)線的截面，電流為I，求導(dǎo)線內(nèi)和導(dǎo)線外的磁場分布.

圖18 例11圖 圓柱形直導(dǎo)線內(nèi)外的場

解：

B，其關(guān)系如圖19所示.

圖19 例11圖 載流圓柱形直導(dǎo)線磁場B與r的關(guān)系

在“電磁學(xué)”中，用對稱性求電場或磁場是非常普遍的，基本上貫穿于整個教材，這種方法應(yīng)牢牢掌握.

5 結(jié)語

分類教學(xué)法對教學(xué)的幫助是很大的，復(fù)雜問題變得簡單，學(xué)生學(xué)習(xí)起來就輕松多了，能夠達到事半功倍的效果，學(xué)習(xí)效率就會明顯地提高.