姜 偉，呂 倩，李 健

主成分分析（PCA）算法作為一種經(jīng)典的去噪方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用在圖像處理［1］、計(jì)算機(jī)視覺［2］等方面，PCA模型適用于去除密集的高斯小噪聲，但是對于非高斯噪聲或當(dāng)某些位置的噪聲極大時(shí)，PCA算法效果很不理想［3］.因此，Wright等人提出的魯棒主成分分析［4-5］（RPCA）算法可以很好地解決這一問題.由于矩陣的秩是非凸不連續(xù)函數(shù)，RPCA優(yōu)化的問題為一個(gè)NP-Hard問題，很難求解.因此，引入核范數(shù)魯棒主成分分析［6］.該算法對原有模型矩陣的不同奇異值的懲罰力度相同，所求出的全局最優(yōu)解在實(shí)際問題中效果差.為此本文提出一個(gè)新模型，即基于加權(quán)Schatten-p范數(shù)和l2，1范數(shù)的WLSRPCA模型.加權(quán)Schatten-p范數(shù)將分配到的不同的奇異值最小化，從而更準(zhǔn)確的近似原始的低秩矩陣，l2，1范數(shù)則作為新的損失函數(shù)更高效地找到數(shù)據(jù)中的異常值或特征噪聲［7］.此模型既能更好地估計(jì)秩的最小化，又能增強(qiáng)對異常值的魯棒性，而且在圖像去噪的應(yīng)用上有較好的效果.

1 預(yù)備知識

定義1 對于任意矩陣X∈Rm×n，矩陣X的l2，1范數(shù)定義為.矩陣X的加權(quán)Schatten-p范數(shù)定義為tr(WΔp)，其中，0＜p＜1，W=[w1，w2，…，wr] ，r=min{m，n} ，并且wi≥0，i=1，2，…，r.W和Δ是對角矩陣，其中對角元素為wi和σi.

定理1 對于任意矩陣A∈Rm×n，若存在正交矩陣U∈Rm×n和V∈Rm×n，則矩陣A的奇異值分解為，其中對角 矩 陣 ΩA=diag(σ1，σ2，…，σr)，其 元 素 滿 足σ1≥σ2≥…≥σr≥0.

引理 1［6］對于任意兩個(gè)矩陣A∈Rm×n，B∈Rm×n分別進(jìn)行奇異值分解，則有A=UΔVT和B=QΛRT，其 中 ，Δ=diag(σ，σ，…，σ) ，12rΛ =diag(b1，b2，…，br).則 (σ1，σ2，…，σr)是以下問題的解.

引理2［6］對于任意兩個(gè)矩陣A∈Rm×n和B∈Rm×n，定義σ(A)=[σ1(A)，σ2(A)，…，σr(A)]T，σ(B)=[σ1(B)，σ2(B)，…，σr(B)]T. 其 中 ，σi(A) 和σi(B)分別是矩陣A和矩陣B的奇異值，r=min{m，n} ，有 tr(ATB)≤tr(σ(AT)σ(B)).

2 加權(quán)Schatten-p范數(shù)和l2，1范數(shù)的WLSRPCA

2.1 模型的建立

給定一個(gè)數(shù)據(jù)矩陣X∈Rm×n，核范數(shù)魯棒主成分分析模型如式（2）所示.

其目標(biāo)就是將X分解成低秩矩陣A∈Rm×n和稀疏矩陣B∈Rm×n，即X=A+E（.2）式對所有奇異值都用同一值收縮，根據(jù)奇異值的先驗(yàn)知識，使不同奇異值對應(yīng)不同的權(quán)值，我們將用加權(quán)Schatten-p范數(shù)代替核范數(shù)，用l2，1范數(shù)代替l1范數(shù)，將分配到不同奇異值的權(quán)重最小化.因此建立基于加權(quán)Schatten-p范數(shù)和l2，1范數(shù)的WLSRPCA模型，如（3）所示：

2.2 模型的求解

對（3）構(gòu)建增廣拉格朗日函數(shù)如下.

其中，矩陣Y為拉格朗日乘子并且懲罰系數(shù)μ＞0.使用交替方向法迭代更新矩陣A，E，Y和懲罰系數(shù)μ.求解目標(biāo)函數(shù)的流程如表1所示.

表1 求解目標(biāo)函數(shù)的流程

求解目標(biāo)函數(shù)的詳細(xì)流程如下.

固定矩陣E和矩陣Y，更新迭代矩陣A.刪去（4）式中與矩陣A無關(guān)的量，優(yōu)化（5）式問題：

如果權(quán)重滿足wr≥…≥w2≥w1≥0，由引理1可得的最優(yōu)解為，其中，根據(jù)廣義軟閾值算法（GST）［5］可知=GST(bi，wi，p)，i=1，…，r，0＜p＜1.即解為

固定矩陣A和矩陣Y，更新迭代矩陣E.刪去（4）式中與矩陣E無關(guān)的量，優(yōu)化（6）式問題：

其中，C=X-A+μ-1Y，λ?=λμ-1.

則根據(jù)文獻(xiàn)［8］上式的解為：

其中，（7）式為（6）式每一個(gè)優(yōu)化子問題的最優(yōu)解.則E*=Tλ?(C).

固定矩陣A和矩陣E，更新迭代矩陣Y.則矩陣Y的迭代更新公式為Y=Y*+μ(X-A-E).其中，懲罰系數(shù)μ的迭代更新公式為μ=min(ρμ，μmax).

權(quán)值W的選取.W=[w1，w2，…，wr]的作用是使矩陣中較大的奇異值收縮幅度變小，較小的奇異值收縮幅度變大.因此其中的wi和σi(X)應(yīng)為反比例關(guān)系.即c＞0為一個(gè)常數(shù)，θ＞0保為0時(shí)，權(quán)重仍可以計(jì)算.

以上為應(yīng)用增廣拉格朗日乘子法求解WLSRPCA模型的過程，具體算法步驟如表2所示.

表2 求解WLSRPCA模型的算法步驟

3 實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)將本模型與RPCA模型作比較，選取大小650×650，PSNR=62.9，結(jié)構(gòu)化噪聲為10%的圖片，通過他們在圖片恢復(fù)上的對比，也可以說是對矩陣恢復(fù)模型的精度的比較來檢驗(yàn)效果如何.下面給出這兩種模型在單張圖片恢復(fù)上的效果，及在相同噪聲的情況下兩個(gè)模型去噪數(shù)據(jù)的比較，如圖1和表3所示.

表3 去噪后數(shù)據(jù)對

4 結(jié)論

在初始條件相同的情況下，通過圖1可以觀察到，RPCA模型恢復(fù)出來的圖片與原始數(shù)據(jù)有一定的差距.而本文所提出的模型對圖片的恢復(fù)更接近于原始觀測圖像，即恢復(fù)的圖片效果更好.通過表3數(shù)據(jù)顯示，在相同噪聲的情況下，本模型恢復(fù)的錯(cuò)誤率更低于RPCA模型，且PSNR也遠(yuǎn)高于RPCA模型.因此，本文模型在圖片恢復(fù)方面優(yōu)于RPCA模型.實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明本文所建模型的有效性及可行性，且算法是收斂的.關(guān)于本文WLSRPCA模型是否能夠比RPCA模型更好地去除高斯、椒鹽等噪聲將是今后要關(guān)注的問題.