孫馳宇 沈惠平， 袁軍堂 楊廷力

(1.南京理工大學(xué)機械工程學(xué)院, 南京 210094； 2.常州大學(xué)現(xiàn)代機構(gòu)學(xué)研究中心, 常州 213016)

0 引言

目前，國內(nèi)外并聯(lián)機構(gòu)型綜合[1]的方法主要有：基于螺旋理論的方法[2-3]、基于位移子群的方法[4-5]、基于線性變換與進化形態(tài)學(xué)的方法[6-7]和基于方位特征集(POC)的方法[8-12]。這些理論方法都是以自由度、動平臺的輸出運動類型和數(shù)目為設(shè)計目標，通過設(shè)計各種支鏈及其在動、靜平臺之間的拓撲布置，構(gòu)造拓撲結(jié)構(gòu)，具有較好的系統(tǒng)性、嚴密性。但前3種方法需要較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，一般工程技術(shù)人員較難理解和掌握?；赑OC集的方法僅需簡單的邏輯運算，每一步都有確定的計算公式或設(shè)計準則，簡潔明了，易于掌握，有利于發(fā)現(xiàn)更多新機構(gòu)。

4自由度并聯(lián)機構(gòu)中的三平移一轉(zhuǎn)動SCARA機構(gòu)[13-14]已有較多研究與應(yīng)用，而兩平移兩轉(zhuǎn)動(2T2R)機構(gòu)卻較少，但該類機構(gòu)在工業(yè)上也有應(yīng)用潛力，可應(yīng)用于減振平臺、坐標測量機、農(nóng)業(yè)采礦振動篩、腳踝康復(fù)裝置、結(jié)合工作臺的運動構(gòu)成五軸聯(lián)動數(shù)控機床等，因此，對2T2R并聯(lián)機構(gòu)進行型綜合研究仍具有一定的意義。

陳海等[15]基于螺旋理論提出了兩平移兩轉(zhuǎn)動完全解耦并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型綜合方法；KUMAR等[16]基于螺旋理論對2T2R機構(gòu)進行了型綜合，并綜合出簡單支鏈構(gòu)成的機構(gòu)，以用于精密醫(yī)療器械；YOON等[17]提出了一種雙平臺3支鏈的2T2R并聯(lián)機構(gòu)；MERLET[18]對2T2R機構(gòu)型綜合進行了論述；LI等[19]依據(jù)約束綜合方法，綜合了一系列對稱的2T2R機構(gòu)；FAN等[20]基于進化形態(tài)與李群理論，對2T2R機構(gòu)進行了型綜合；WANG等[21]基于李群理論提出了兩種具有較高轉(zhuǎn)動能力的2T2R機構(gòu)；楊廷力等[10]基于POC方法，綜合了一部分2T2R機構(gòu)。本文在文獻[10]的基礎(chǔ)上，通過設(shè)計新的HSOC(混合支鏈)，設(shè)計10種新型2T2R構(gòu)型。同時，依據(jù)支路結(jié)構(gòu)和動平臺數(shù)目，對綜合出的機構(gòu)進行分類，并對它們進行拓撲特征分析，得到其所包含的AKC、耦合度數(shù)、自由度類型和運動解耦性。

1 基本理論

為便于理解，給出基于POC方程的并聯(lián)機構(gòu)拓撲結(jié)構(gòu)設(shè)計理論和方法[10]。

1.1 串聯(lián)機構(gòu)的POC方程

串聯(lián)機構(gòu) POC方程為

(1)

式中MS——串聯(lián)機構(gòu)末端相對于定平臺的POC集

m——運動副數(shù)

MJi——第i個運動副的POC集(表1)

Msub-SOCj——第j個子單開鏈(sub-SOC)的POC集

表1給出了僅包含R副與P副的12種sub-SOC及其POC集。

1.2 并聯(lián)機構(gòu)的POC方程

并聯(lián)機構(gòu)POC方程為

(2)

式中MPa——并聯(lián)機構(gòu)動平臺的POC集

Mbj——第j條支路末端構(gòu)件的POC集

ν——獨立回路數(shù)

由式(2)可知，PM支路的POC集Mbj應(yīng)滿足

Mbj?MPa (3)

注: 標有*者，表示末端構(gòu)件的基點o′不在運動副軸線上。

1.3 機構(gòu)DOF公式

機構(gòu)DOF公式為

(4)

式中F——機構(gòu)自由度

fi——第i個運動副的自由度

ξLj——第j個獨立回路的獨立位移方程數(shù)

Mbj——第j條支路末端構(gòu)件的POC集

1.4 并聯(lián)機構(gòu)型綜合的一般過程

并聯(lián)機構(gòu)拓撲結(jié)構(gòu)設(shè)計的一般過程，見文獻[11]。

2 2T2R并聯(lián)機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)綜合

依據(jù)上述基本理論，給出2T2R并聯(lián)機構(gòu)的型綜合過程和方法，并得到15種2T2R機構(gòu)，其中10種為本文綜合得到。

設(shè)計要求：設(shè)計4自由度2T2R的并聯(lián)機構(gòu)，且每條支鏈僅含一個驅(qū)動副，包含的P副只能為驅(qū)動副。即機構(gòu)動平臺實現(xiàn)的POC集為

2.1 確定支路的POC集

2.2 支路的結(jié)構(gòu)綜合

2.2.1單開鏈(Single open chain, SOC)支路的綜合

(1)確定SOC支路的基本功能

② 支路的自由度為4，即F=dim{MS}=4。

(2)確定運動副的組合方案

由條件公式[21]

(5)

式中F1——支路自由度

mR——轉(zhuǎn)動副數(shù)目

mP——移動副數(shù)目

dim{MS(r)}——支路POC集獨立轉(zhuǎn)動元素數(shù)

dim{MS(t)}——支路POC集獨立移動元素數(shù)

且已知：dim{MS(r)}=2，dim{MS(t)}=2，可得：mR≥2,mP≤2。

再由串聯(lián)POC方程(式(1))及表1，可得運動副的組合方案為3種：4R、3R1P、2R2P。

(3)確定SOC支路包含的sub-SOC，并生成SOC支路

①方案1: 4R

由dim{MS(r)}=2及式(1)與表1之2可知，該支路可由一個sub-SOC{-R‖R‖R-}及一個R副串聯(lián)而成，得到支路SOC{-R‖R‖R-R-}，其基點o′位于末端R副軸線上。

②方案2: 3R1P

由dim{MS(r)}=2及式(1)與表1之2可知，該支路可由一個sub-SOC{-R‖R⊥P-}及一個R副串聯(lián)而成，得到支路SOC{-P⊥R‖R-R-}，其基點o′位于末端R副軸線上。

③方案3: 2R2P

從造字上看，“葬”字為會意字，本義為上下藉以草、中間為尸身。《易·系辭下》：“古之葬者，厚衣之以薪，葬之中野，不封不樹。”所以，上文提到的皇甫謐葦席裹尸應(yīng)該是最原始意義上的葬式。楊王孫要求“死則為布囊盛尸，入地七尺，既下，從足引脫其囊，以身親土”(《漢書·楊王孫傳》)，這種裸葬的方式倒是比較新奇，也是最為直接的“入土為安”。其實，莊周、楊王孫和皇甫謐這些抗俗者都是比較激進的矯俗者，主要是在行為上更加標新立異和驚世駭俗。東漢范冉在《遺令敕子》中說：“吾生于昏暗之世，值乎淫侈之俗，生不得匡時濟世，死何忍自同于世！”[15](P656)可以看做是激進抗俗者的心聲流露。

(4)檢驗支路的POC集

由式(1)可知，以上3種方案所得的3條單開鏈支路都滿足該支路的POC設(shè)計要求。

例如：SOC{-P⊥R‖R-R-}支路由sub-SOC{-R‖R⊥P-}及一個R副串聯(lián)而成，將它們的POC集代入式(1)，可得該支路的POC集

確定各SOC支路所包含的sub-SOC，并生成SOC支路的POC集。

易知，滿足該POC集要求的支路結(jié)構(gòu)有SOC{-S-S-R-}、SOC{-S-P-S-}等。

2.2.2復(fù)雜單開鏈(Hybrid single open chain, HSOC)支路的綜合

當(dāng)一條SOC的POC集與一子并聯(lián)機構(gòu)(sub-PM)末端的POC集完全相同時，稱它們拓撲等效。HSOC支路綜合就是一個將SOC支路替換為拓撲等效的sub-PM的過程。表3給出常用的sub-PM類型及與其對應(yīng)的拓撲等效SOC，以便于HSOC支路的綜合。

由表3及2.2.1節(jié)所綜合出的SOC支路可得10種HSOC種支路。其中，(2T-2R)HSOC結(jié)構(gòu)有3種，如圖1所示；(3T-2R)HSOC結(jié)構(gòu)有5種，如圖2所示；(2T-3R)HSOC結(jié)構(gòu)有2種，如圖3所示。

為便于比較，表2列出了2.2.1節(jié)中敘述的12種SOC支路構(gòu)型，并根據(jù)本節(jié)HSOC支路綜合方法,衍生出10種HSOC支路構(gòu)型，其中(3)、(7)、(8)、(9)、(10)為5種新構(gòu)型HSOC結(jié)構(gòu)。

表2 SOC支路與HSOC支路的結(jié)構(gòu)類型Tab.2 Branch structure types of SOC branch and HSOC branch

表3常用的sub-PM及其拓撲等效SOC
Tab.3Frequentlyusedsub-PMandtheirtopologicalequivalenceSOC

注: 表中No.4之sub-PM的4個S副，應(yīng)保持平行四邊形。

圖1 (2T-2R)支路的3種結(jié)構(gòu)類型Fig.1 Three types of (2T-2R) branch structure

圖2 (3T-2R)支路的5種結(jié)構(gòu)類型Fig.2 Five types of (3T-2R) branch structure

圖3 (2T-3R)支路的2種結(jié)構(gòu)類型 Fig.3 Two types of (2T-3R) branch structure

2.3 確定支路組合方案

由表2可得4種不含P副SOC支鏈結(jié)構(gòu)(表2中SOC(1、4、8、11))以及10種HSOC支鏈結(jié)構(gòu)，對它們進行組合以綜合出滿足POC集要求的2T2R并聯(lián)機構(gòu)，其中，考慮到每條支鏈應(yīng)只含一個驅(qū)動副且所用驅(qū)動副皆處于同一平面，本文給出表2中部分支鏈組合結(jié)果的15種方案，如表4所示。

2.4 確定支路裝配幾何條件

由式(3)可知，綜合出的并聯(lián)機構(gòu)的POC集所包含的元素,應(yīng)多于或至少等于支鏈的POC集，因此，可運用支鏈間POC集交集運算，可以消去支路POC集中并聯(lián)機構(gòu)所不包含的POC集元素，現(xiàn)給出支路交運算的基本公式，以此可確定裝配的幾何條件。分為轉(zhuǎn)動、移動兩種情況：

轉(zhuǎn)動元素：當(dāng)滿足式(6)～(8)中上式右側(cè)的幾何條件時，左側(cè)的交集運算可不約束掉轉(zhuǎn)動元素，POC集保持不變；當(dāng)滿足式(6)～(8)中下式右側(cè)的幾何條件時，左側(cè)的交集運算將約束掉一個轉(zhuǎn)動元素。

(6)

表4 (2T-2R) PM的支路組合方案Tab.4 Branch combination schemes of (2T-2R)PM

注: 標有*者，為本文首次提出的新機構(gòu)。

(7)

(8)

移動元素：當(dāng)滿足式(9)～(11)中上式右側(cè)的幾何條件時，左側(cè)的交集運算可不約束掉移動元素，POC集保持不變；當(dāng)滿足式(9)～(11)中下式右側(cè)的幾何條件時，左側(cè)的交集運算將約束掉一個移動元素。

(9)

(10)

(11)

以表4中序號1的支路為例，確定其動定平臺間的幾何裝配條件。

已知該機構(gòu)4條支路結(jié)構(gòu)相同，皆為SOC{-Rj1‖Rj2‖Rj3-Rj4-},j=1,2,3,4?；co′為R14軸線上一點。

由2.2節(jié)可知，當(dāng)基點取在末端R副軸線上時，該支路的POC集為

基點取在軸線外位置時，該支路的POC集為

將期望的并聯(lián)機構(gòu)動平臺POC集及各支路的POC集代入并聯(lián)機構(gòu)POC集方程中(式(2))，可得

符號“?”表示式中右端所有支路POC集交運算得預(yù)期目標為左端的POC集。

為實現(xiàn)動平臺輸出為2T2R，各條支路POC集交運算后需約束掉一個移動元素，且POC集的轉(zhuǎn)動元素保持不變。由式(8)的上式逆運算可知：其裝配幾何條件為:R11‖R21‖R31‖R41, R14‖R24‖R34‖R44，且基點取在R14與R24的共線軸線上。按此裝配幾何條件得到的并聯(lián)機構(gòu)，如圖4a所示，對應(yīng)表4的序號1，該機構(gòu)由4條相同的簡單支鏈構(gòu)成，見文獻[10]。進一步，已知第1、2條支路POC集交運算已滿足2T2R的型綜合要求，即第3、4條支路可為包含2T2R方位特征集的無約束簡單支路結(jié)構(gòu)，如3T3R的SSR結(jié)構(gòu)等，如圖4b所示，對應(yīng)表4的序號2。

圖4 SOC-(1)的兩種(2T-2R) PMFig.4 Two types of (2T-2R) PM structure composed by SOC-(1)

按照上述步驟，現(xiàn)分別確定表4中其他支路組合方案的幾何條件，得13種并聯(lián)機構(gòu)，如圖5～12所示，簡述如下：

(1) 按表4中第3、4組合方案綜合出的并聯(lián)機構(gòu)，如圖5所示，其中圖5a機構(gòu)中R11‖R13‖R21‖R23；P12⊥R11；P22⊥R21；R14與R24軸線共線且基點取在軸線上，該機構(gòu)由4條簡單支鏈構(gòu)成[10]。第4方案(圖5b)實為第3方案的變形，將R13與R23移除，同時將R14與R24在同樣位置上替換為2個C副，該機構(gòu)由FAN等[20]提出，該文使用運動副替代的思想提出了類似的一系列包含C副、U副的簡單支鏈構(gòu)成的2T2R機構(gòu)。

圖5 SOC-(2)的一種(2T-2R) PM及其變形Fig.5 (2T-2R) PM structure composed by SOC-(2) and its metamorphosis

圖6 SOC-(3)的一種(2T-2R) PMFig.6 (2T-2R) PM structure composed by SOC-(3)

(2)按表4中第5組合方案綜合出的并聯(lián)機構(gòu)，如圖6所示，其中，P12與P12共面且垂直于R13；P31與P32共面且垂直于R33；R14與R34共線且基點為4個R副軸線交點。該機構(gòu)由KUMAR等[16]提出，其4條支路都為簡單支鏈，結(jié)構(gòu)較為簡單。

(3)按表4中第6、7組合方案綜合出的并聯(lián)機構(gòu)，如圖7所示，其中圖7a機構(gòu)中R11‖R12‖R21‖R22‖R31‖R32‖R41‖R42；R13‖R23‖R33‖R43；R13與R23軸線共線且基點取在軸線上。圖7b機構(gòu)將圖7a機構(gòu)的第3、4條支鏈替換為SSR結(jié)構(gòu)，且定平臺4個R副平行。

圖7 HSOC-(1)的兩種(2T-2R) PMFig.7 Two types of (2T-2R) PM structure composed by HSOC-(1)

(4)按表4中第8、9組合方案綜合出的并聯(lián)機構(gòu)，如圖8所示，其中，圖8a定平臺上4個R副平行，動平臺上4個R副也平行，基點位于動平臺兩R副共線軸線上。圖8b將圖8a機構(gòu)的第3、4條支鏈替換為SSR結(jié)構(gòu)，且定平臺4個R副平行。

圖8 HSOC-(2)的兩種(2T-2R) PMFig.8 Two types of (2T-2R) PM structure composed by HSOC-(2)

圖9 HSOC-(3)及HSOC-(5)的 (2T-2R) PMFig.9 (2T-2R) PM structure composed by HSOC-(3) and HSOC-(5)

(5)按表4中第10、11組合方案綜合出的并聯(lián)機構(gòu)，如圖9所示，其中圖9a機構(gòu)中R11‖R21‖R13‖R31‖R41；P12⊥R11；P22⊥R21；基點位于R14與R15軸線的交點。圖9b機構(gòu)中R11‖R12‖R21‖R22‖R31‖R32‖R41‖R42；R13‖R23‖R33‖R43；R13與R23軸線共線且基點取在軸線上。

(6)按表4中第12、13組合方案綜合出的并聯(lián)機構(gòu)，如圖10所示，其中，圖10a定平臺上4個R副平行，動平臺上4個R副也平行，基點位于動平臺兩R副共線軸線上。圖10b中R11‖R12‖R22；R13⊥R11；R13與R23軸線共線且基點取在軸線上。

圖10 HSOC-(6)及HSOC-(7)的(2T-2R) PMFig.10 (2T-2R) PM structure composed by HSOC-(6) and HSOC-(7)

(7)按表4中第14組合方案綜合出的并聯(lián)機構(gòu)，如圖11所示，其中R11‖R12‖R13‖R21‖R22‖R23‖R32；R14‖R24‖R33；R14與R24軸線共線且基點取在軸線上。它由WANG等[21]提出，該機構(gòu)具有較強的轉(zhuǎn)動能力。

圖11 HSOC-(8)的 (2T-2R) PMFig.11 (2T-2R) PM structure composed by HSOC-(8)

(8)按表4中第15組合方案綜合出的并聯(lián)機構(gòu)，如圖12所示，其中R11‖R13‖R21‖R31‖R32‖R41‖R42；P12⊥R11；P22⊥R21；R14、R15、R33、R34、R43、R44的軸線交于一點且為基點。

圖12 HSOC-(9)的 (2T-2R) PMFig.12 (2T-2R) PM structure composed by HSOC-(9)

2.5 選定機構(gòu)驅(qū)動副

對于自由度為F的機構(gòu)，在判定其驅(qū)動副時[10]，可將預(yù)定的F個運動副鎖死，此時得到的新機構(gòu)的自由度若為0，則該F個運動副可同時為機構(gòu)的驅(qū)動副，否則，該F個運動副不能同時為機構(gòu)的驅(qū)動副。

以圖4a為例，判定該機構(gòu)定平臺上的4個R副是否可為驅(qū)動副。

(1)確定支路拓撲結(jié)構(gòu)

將定平臺的4個R副(R11,R21,R31,R41)鎖死，得到新的并聯(lián)機構(gòu)，其支路拓撲結(jié)構(gòu)為

SOC{-Rj2‖Rj3-Rj4-} (j=1,2,3,4)

(2)確定支路的POC集

由式(1)可得，當(dāng)基點取在末端R副軸線上時，該支路的POC集為

基點取在周線外位置時，該支路的POC集為

(3)確定新機構(gòu)的自由度

將各支路末端POC集代入式(4)，并由式(1)、(2)可得

將ξLj代入式(4)，得到新機構(gòu)自由度為

(4)由于新機構(gòu)的自由度為0，可得定平臺上4個R副(R11、R21、R31、R41)可為4個驅(qū)動副，即滿足設(shè)計要求。

類似地，可用同樣方法，判定圖4～12所示并聯(lián)機構(gòu)的驅(qū)動副，都為定平臺上4個R副，也都滿足設(shè)計要求。

以上為本文綜合出的15種2T2R機構(gòu)，詳見表5，其中帶*的機構(gòu)為本文首次提出的新機構(gòu)。

3 2T2R并聯(lián)機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)分類

3.1 拓撲結(jié)構(gòu)分類

綜上所述，現(xiàn)依據(jù)支路結(jié)構(gòu)和動平臺數(shù)目，對綜合出的15種2T2R機構(gòu)(其中10種為新型的2T2R機構(gòu))進行如下機構(gòu)類型分類，詳見表5。

其中①皆由簡單支路構(gòu)成的機構(gòu)(類型1)有5種：即表4中序號1～5。②皆由復(fù)雜支路構(gòu)成的機構(gòu)(類型2)有6種：即表4中序號6、8、11、12、13、15。③由簡單支路復(fù)雜支路共同構(gòu)成的機構(gòu)(類型3)有4種：即表4中序號7、9、10、14。④單動平臺的機構(gòu)有13種：即表4中序號1～12及序號15；雙動平臺的機構(gòu)(類型4)有2種：即表4中序號13、14。

表5(2T-2R)PM的4種類型
Tab.5Fourtypesof(2T-2R)PM

續(xù)表5

3.2 拓撲特征分析

為優(yōu)選具有實用價值的機構(gòu)，根據(jù)文獻[10]中提出的拓撲特征計算方法，對表5中的15種2T2R機構(gòu)進行拓撲特征分析，得到其所包含的基本運動鏈(BKC)、耦合度(κ)、自由度類型和運動解耦性，詳見表6。

表6 (2T-2R) PMs的拓撲特征Tab.6 Topology structure characteristics of (2T-2R)PM

(1)耦合度是衡量機構(gòu)復(fù)雜程度的一種拓撲不變量，對于耦合度為1的機構(gòu)，一般可用一維搜索法得到位置問題的全部實數(shù)解。表6中，耦合度為1的機構(gòu)為序號10、14、15，其中，序號10與序號15為本文設(shè)計的新機構(gòu)，而本文參考文獻中列舉的，為已有的其他構(gòu)型(序號1、3、4、5)，它們的耦合度為2，其機構(gòu)較為復(fù)雜。本文所提新機構(gòu)與之相比，優(yōu)點為：耦合度僅為1，機構(gòu)結(jié)構(gòu)較為簡單，較易處理運動學(xué)與動力學(xué)問題。

(2)運動輸入-輸出解耦可使機構(gòu)運動學(xué)分析較為簡單，又能簡化機器人的控制問題，因此，實現(xiàn)運動輸入-輸出解耦是機構(gòu)拓撲結(jié)構(gòu)設(shè)計的重要目標之一。表6中，部分解耦且具有部分自由度的機構(gòu)為序號13，該機構(gòu)為本文設(shè)計的新機構(gòu)，其包含兩個BKC，且耦合度分別為1和0，而本文參考文獻中列舉的，已有的其他構(gòu)型(序號1、3、4、5、14)，它們僅包含一個BKC，具有完全自由度，且不解耦。

4 結(jié)論

(1)基于拓撲等效替代的復(fù)雜支路型綜合方法，提出了5種HSOC新構(gòu)型支鏈。

(2)基于POC方程的并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)綜合方法，結(jié)合綜合出的新型HSOC支鏈結(jié)構(gòu)，給出了15種2T2R并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型，其中，5種是已有機器人構(gòu)型，其余10種是具有實用價值的新構(gòu)型。

(3)依據(jù)拓撲結(jié)構(gòu)特性，對綜合出的2T2R機構(gòu)進行分類，其中，皆由簡單支路構(gòu)成的機構(gòu)5種，皆由復(fù)雜支路構(gòu)成的機構(gòu)6種，由簡單支路、復(fù)雜支路共同構(gòu)成的機構(gòu)4種；單動平臺的機構(gòu)13種 ，雙動平臺的機構(gòu)2種。進一步對綜合出的15種機構(gòu)進行拓撲特征分析，計算其耦合度、自由度類型和運動解耦性，篩選出結(jié)構(gòu)較簡單、耦合度為1的機構(gòu)以及較易于控制的部分解耦機構(gòu)。