汪滿新 諶秋生 祖 莉 劉海濤

(1.南京理工大學(xué)機械工程學(xué)院， 南京 210094; 2.天津大學(xué)機構(gòu)理論與裝備設(shè)計教育部重點實驗室， 天津 300072)

0 引言

并聯(lián)機構(gòu)因具有剛度大、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、承載能力強、精度高、運動慣性小、實時控制性好等特點而得到廣泛應(yīng)用[1]，特別是1T2R 3自由度并聯(lián)機構(gòu)[2-6]，如Z3主軸頭中3-PRS并聯(lián)機構(gòu)[3]，Tricept、Exechon以及TriVariant等混聯(lián)機器人中的3自由度并聯(lián)模塊[4-6]，已在飛機大部件加工與自動鉆鉚、機身與機翼對接面現(xiàn)場加工、汽車發(fā)動機缸體銷孔過盈裝配以及大型鋼結(jié)構(gòu)相貫線切割等方面得到應(yīng)用。

靜剛度可表征機構(gòu)在外載荷作用下抵抗變形的能力，是并聯(lián)機構(gòu)最重要的性能之一，因而常常被作為評價機構(gòu)性能以及機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計的指標(biāo)。基于剛度優(yōu)化設(shè)計的先決條件是構(gòu)建精確的剛度模型。有限元法[7-8]、解析/半解析法[9-11]是目前剛度建模常用的兩類方法。有限元法建模精度高，但僅能在指定位形下劃分網(wǎng)格計算，無法預(yù)估機構(gòu)全域剛度的變化規(guī)律，故多適用于校核最終設(shè)計?？紤]到機構(gòu)剛度隨位形變化的特點，解析/半解析法是預(yù)估機構(gòu)全域剛度的有效方法。在解析法建模方面，GOSSELIN[12]基于虛功原理提出了虛鉸鏈法，該方法用一維彈簧來等效模擬機構(gòu)主動關(guān)節(jié)彈性變形，建立了力與末端變形的映射模型；PASHKEVICH等[13-14]將假想彈簧擴充到6維，以一類過約束并聯(lián)機構(gòu)為對象構(gòu)建了計及被動關(guān)節(jié)彈性變形的剛度模型。為有效分離驅(qū)動剛度和約束剛度對機構(gòu)末端剛度的貢獻，許多學(xué)者利用旋量理論構(gòu)造出全雅可比矩陣或廣義雅可比矩陣用于并聯(lián)機構(gòu)的剛度建模中[15-21]，文獻[15-16]利用上述方法分別建立了3-PUU、3-RPS并聯(lián)機構(gòu)的靜剛度模型。此外，落海偉等[17]提出了一種基于子結(jié)構(gòu)綜合和靜態(tài)凝聚技術(shù)的靜剛度建模方法，并綜合考慮了鉸鏈和支鏈彈性對靜剛度的貢獻。

值得指出，傳統(tǒng)的解析/半解析剛度建模大多未考慮重力場的影響，但實際中重力因會引起構(gòu)件發(fā)生彈性變形而影響機構(gòu)末端精度。文獻[18-19]研究重力場剛度建模問題時將重力等效為集中力，這僅適用于將連桿視為剛體的場合。文獻[20-21]基于變形協(xié)調(diào)條件研究了重力對過約束機構(gòu)受力的影響。文獻[22-23]計及了運動部件分布重力的影響，并考慮了各構(gòu)件/鉸鏈的柔度分別構(gòu)造了3-SPR及3-RPS并聯(lián)機構(gòu)的靜柔度模型，所建模型建立了零部件彈性和重力與末端變形之間的映射關(guān)系，進而為有針對性改進設(shè)計提供了一種有效手段。

1 系統(tǒng)簡介與位置逆解

圖三維模型Fig.1 3D model of parallel mechanism1.機架 2.轉(zhuǎn)動副從動臂 4.球副S 5.動平臺 6.主動臂 7.轉(zhuǎn)動副R

圖并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖Fig.2 Schematic diagram of parallel manipulator

系{R′}相對于系{R}姿態(tài)矩陣R可根據(jù)z-x-z旋轉(zhuǎn)變換，用進動角ψ、章動角θ與自旋角φ表示為

(1)

式中，S表示sin，C表示cos。

將球副看成由軸線相交于一點的3個轉(zhuǎn)動副串聯(lián)組成，并令sj,i表示支鏈i中第j個運動副的單位矢量，由關(guān)節(jié)軸線間關(guān)系可得約束s1,i∥s2,i，s2,i⊥s3,i，s3,i⊥s5,i，s5,i⊥s4,i(i=1,2,3)。

此外，為了描述各構(gòu)件的姿態(tài)，建立如圖3所示連體參考坐標(biāo)系{Rj,i}(i=1,2,3;j=1,2,3)。

圖3 各構(gòu)件連體坐標(biāo)系Fig.3 Body fixed frames of each components

(1) {R1,i}為主動臂連體坐標(biāo)系，以Bi點為原點，軸z1,i方向由Bi指向Pi，軸x1,i與s1,i重合。

(2) {R2,i}為從動臂連體坐標(biāo)系，以Pi點為原點，軸z2,i方向由Pi指向Ai，軸x2,i與s2,i重合。

(3) {R3,i}以Ai為原點，且與系{R2,i}相平行。

r=bi+l1ui+l2vi-ai(i=1,2,3)

(2)

式中bi——由點O到Bi的位置矢量

ai——由點O′到Ai的位置矢量

ui——由點Bi到Pi的位置矢量

vi——由點Pi到Ai的位置矢量

其中

bi=bsiai0=asiai=Rai0

式中αi——BiPi相對于OBi的轉(zhuǎn)角

βi——OBi相對于x軸的轉(zhuǎn)角

注意到s1,i⊥bi，s1,i⊥ui，s1,i⊥vi，對式(2)兩端同時點乘s1,i，可得

(r+ai)Ts1,i=0 (i=1,2,3)

(3)

其中

s1,i=(-sinβi，cosβi，0)T

(4)

至此，可通過式(4)解出參數(shù)(x，y，φ)，從而可解出R、r和ai。由式(2)可得

(5)

其中

展開式(5)可得

(6)

求解式(6)可得

(7)

其中

Bi=-2l1mixcosβi-2l1miysinβi

Mi可依據(jù)機構(gòu)初始位型唯一確定，從而可進一步求出ui及

(8)

2 靜剛度建模

注意到動、靜平臺的剛性遠(yuǎn)大于支鏈體各部件的剛性，故可作剛體處理，此外，在建模過程中，將計及支鏈體各部件彈性及所有運動部件的重力。

2.1 力分析

力分析目的在于建立末端動平臺上的外載荷及運動部件重力與關(guān)節(jié)反力間的映射關(guān)系。如圖4所示為末端動平臺受力示意圖，通過對點O′取矩，可建立平衡方程

f-mg
τ-(lmR)(-mg

(9)

其中

ni=vis1,i=(0，0，1)T

式中f、τ——外力和外力矩

m——動平臺質(zhì)量

lm——點O′到動平臺質(zhì)心的距離

圖4 動平臺受力圖Fig.4 Free body diagram of moving platform

顯見，式(9)所要求解未知數(shù)個數(shù)為9但獨立方程個數(shù)僅為6，無法求解，為解決該問題，以圖5所示從動臂為研究對象作力分析，對點Pi取矩可得靜力平衡方程

(10)

m2,i——從動臂質(zhì)量

q2,i(t2,i)——從動臂重心到點Pi的位置矢量沿vi(ni)方向的投影對式(10)兩端同時點積s2,i，得

圖5 從動臂受力圖Fig.5 Free body diagram of driven link

(11)

將式(11)代入式(9)并寫成矩陣形式，得

(12)

其中

式中J——機構(gòu)的廣義雅可比矩陣[24]

Ja、Jc——驅(qū)動和約束雅可比矩陣

ρw——界面力矢量

ρwa、ρwc——界面驅(qū)動和約束力矢量

故式(12)表示的物理意義為：施加在動平臺上的等效外載荷應(yīng)由作用在其上的所有支鏈界面驅(qū)動力和界面約束力共同承擔(dān)。

2.2 變形分析

(13)

式中 δrO′、δαO′——末端參考點O′的線變形矢量、動平臺的角變形矢量

對式(13)兩端分別點乘vi和s1,i，得

(i=1,2,3)

(14)

將式(14)改寫成矩陣形式，得

(15)

式中ρt——關(guān)節(jié)變形量

ρta、ρtc——沿驅(qū)動、約束方向的關(guān)節(jié)變形量

(16)

其中

2.3 靜剛度建模

(17)

(18)

其中

(19)

2.4 構(gòu)造和

(20)

圖6 用于剛度矩陣評估和變換的連桿示意圖Fig.6 Link model for stiffness evaluation and transformation

(21)

其中

式中R3,j——系{Rj}相對于系{R3}的姿態(tài)矩陣

p——由點A指向點D的位置矢量(圖6)

(22)

式中，0表示除約束與驅(qū)動方向外存在微小位移，是3條支鏈與同一個動平臺相連接所需的兼容性條件。

(23)

對于子裝配體1，應(yīng)用式(21)，其剛度可表示為

(24)

式中θ1——ui與vi的夾角

對于子裝配體2，應(yīng)用式(21)得

(25)

由于S副尺度參數(shù)比較小，變化幅度不大，故為簡化計算，將其視為常數(shù)。

2.5 構(gòu)造和

對于子裝配體2，在工作空間范圍內(nèi)，vi與的夾角θ2接近于0，故很小，可忽略不計。因此，只需考慮其可表示為

(26)

3 算例

本節(jié)利用前述推導(dǎo)出的模型，研究末端靜剛度和運動部件重力所引起的末端變形的分布規(guī)律以及各構(gòu)件剛度和重力對末端靜剛度和變形的影響。表1～4分別示出了機構(gòu)的尺度參數(shù)、各部件的剛度系數(shù)、質(zhì)量及其質(zhì)心參數(shù),以上數(shù)據(jù)來源于機構(gòu)的三維模型、有限元軟件及相關(guān)設(shè)計手冊。

表并聯(lián)機構(gòu)尺度參數(shù)與工作空間Tab.1 Dimensions and workspace of parallel mechanism

表2 支鏈體各部件的質(zhì)量、質(zhì)心位置及動平臺質(zhì)量Tab.2 Masses and their locations of platform and limb-body assembly

表3 子裝配體1在其局部坐標(biāo)系下的剛度系數(shù)Tab.3 Stiffness coefficients of the first sub-assembly evaluated in body fixed frames

圖7 z=150 mm時分布規(guī)律Fig.7 Distributions of when z=150 mm

表4 子裝配體2在其局部坐標(biāo)系下的剛度系數(shù)Tab.4 Stiffness coefficients of the second sub-assembly evaluated in body fixed frames N/μm

圖8 末端剛度全域分布規(guī)律Fig.8 Stiffness distributions within entire workspace

為評估驅(qū)動(約束)剛度及各部件剛度對末端靜剛度的貢獻，定義全域靜剛度性能評價指標(biāo)為

(27)

式中Wt——給定全域工作空間體積

圖9 各構(gòu)件剛度對末端剛度的貢獻率Fig.9 Contributions of component stiffness to stiffness of platform

圖10 各構(gòu)件剛度對界面剛度的貢獻率Fig.10 Contributions of component stiffness to interface stiffness

圖11 各部件重力對末端變形量的貢獻率Fig.11 Contributions of gravity to global deflection

向產(chǎn)生變形，因而為了減少主動臂的重力對末端變形的影響，可適當(dāng)增加支鏈驅(qū)動方向的剛度。

為了驗證所建模型的正確性，利用ANSYS軟件，計算末端點位于z=150 mm，θ=30°時的靜剛度及重力引起的末端變形量。值得指出，該位形下沿x方向的線變形以及繞x、y、z方向的角變形量近似為零，故在此僅計算沿y、z坐標(biāo)軸方向的靜剛度及線變形量。同時，在有限元軟件中設(shè)置的邊界條件與文中的理論分析方法相同，以保證兩種方法具有可比性。圖12給出了末端參考點在上述位形且受單位力作用下機構(gòu)沿y、z軸方向的變形云圖。圖13則給出了機構(gòu)在該位型時在重力作用下沿y、z軸方向的變形云圖。表5給出了半解析法與有限元軟件的計算結(jié)果。由表5可見，有限元軟件求解結(jié)果絕對值略小于半解析法求解結(jié)果的絕對值，但二者的取值非常接近，進而驗證了半解析法是正確有效的。

圖12 z=150 mm、θ=30°時受單位力作用下沿y、z方向變形量Fig.12 Deflections along y and z axis arising from unit force when z=150 mm and θ=30°

圖13 z=150 mm、θ=30°時重力作用下沿y、z方向變形量Fig.13 Deflections along y and z axis arising from gravity when z=150 mm and θ=30°

方法$^t,G(2)/μm$^t,G(3)/μmkv/(N·μm-1)kw/(N·μm-1)半解析法-0.1195-2.3663.00812.592有限元法-0.1153-2.3462.83212.425

4 結(jié)論

(2)所建末端變形模型可有效分離零部件彈性和重力對末端變形的影響，進而可為指導(dǎo)詳細(xì)結(jié)構(gòu)設(shè)計提供重要的理論依據(jù)。