朱適宜 摘編

（摘編者單位：江蘇省淮安外國語學(xué)校）

我們先來看看蘇聯(lián)作家A·庫爾良茨基發(fā)表在1981年第1期《蘇聯(lián)文藝》上的小說《公理》：

老師離開黑板，抖了抖手上的粉筆灰說：“現(xiàn)在請大家作筆記——平行的兩條直線，任意加以延長，永不相交.”

學(xué)生們低下頭在本子上寫著.

“西多羅夫，你為什么不記呢？”

“我在想.”

“想什么呢？”

“為什么它們不會相交呢？”

“為什么？我不是已經(jīng)講過，因?yàn)樗鼈兪瞧叫械难?”

“那么，要是把它們延長到一千米，也不會相交嗎？”

“當(dāng)然啦.”

“要是延長到兩千米呢？”

“也不會相交的.”

“要是延長到五千千米，它們就會相交了吧？”

“不會的.”

“有人試驗(yàn)過嗎？”

“這道理本來就很清楚，用不著試驗(yàn)，因?yàn)檫@是一條公理.謝苗諾夫，你說說，什么叫公理？”

一個戴著眼鏡，態(tài)度認(rèn)真的男孩子從旁邊座位上站起來答道：“公理就是不需要證明的真理.”

“對，謝苗諾夫，”老師說，“坐下吧……現(xiàn)在你明白了吧？”

“這我懂的，就是不懂為什么它們不會相交.”

“就因?yàn)檫@是一條公理，是不需要證明的真理呀.”

“那么，不論什么定理都可以叫做公理，就也都用不著加以證明了？”

“不是任何一條定理都可以叫做公理.”

“那為什么這一條定理就可以叫做公理呢？”

“咳，你多固執(zhí)啊……”

“要是定理，就需要證明了吧？”

“那是需要的.可我們現(xiàn)在說的是公理.”

“為什么是公理呢？”

“因?yàn)檫@是歐幾里得說的.”

“要是他說錯了呢？”

“你大概以為歐幾里得比你還要蠢吧？”

“不，我并不這樣認(rèn)為.”

“那為什么你還要強(qiáng)辯呢？”

“我沒有強(qiáng)辯.我只是在想，為什么兩條平行直線不能相交.”

“因?yàn)樗鼈儾粫嘟?，也不可能相?整個幾何學(xué)就是建立在這個基礎(chǔ)上的.”

“這么說，只要兩條平行直線一相交，整個幾何學(xué)就不能成立了？”

“那當(dāng)然，但它們終究不會相交……”

讀完這個繞人的故事，同學(xué)們是不是也深有同感：為什么不能相交呢？我們先來看看究竟什么是公理呢？

在歐幾里得之前，人們已經(jīng)積累了大量的幾何知識，包括各種計算公式和作圖方法等.嚴(yán)格說來，這些知識只能算是實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，需要去粗取精、去偽存真，由此及彼、由表及里.這一系統(tǒng)化的工作最后由歐幾里得完成了.他選用了一些人們在長期實(shí)踐中總結(jié)出來的公認(rèn)命題作為原始依據(jù)，稱之為公理，由此建立起幾何學(xué)的大廈.

歐幾里得在他的超級暢銷書《幾何原本》里，一開始就提出了5條公設(shè).前4條公設(shè)分別為：

1.由任意一點(diǎn)到另外任意一點(diǎn)可作直線.

2.一條有限直線可以繼續(xù)延長.

3.以任意點(diǎn)為圓心及任意的距離可以畫圓.

4.凡直角都彼此相等.

第五公設(shè)則異常復(fù)雜：同平面內(nèi)一條直線與另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個內(nèi)角的和小于兩個直角的和，則這兩條直線在不斷延伸后會在這一側(cè)相交.

顯然，第五公設(shè)和前4個公設(shè)比較起來，文字?jǐn)⑹鋈唛L，不夠簡潔明了.細(xì)心的數(shù)學(xué)家還注意到，歐幾里得在《幾何原本》中直到第29個命題才用到它.是不是歐幾里得本人也覺得這一公設(shè)有問題呢？

數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了很多第五公設(shè)的等價命題.最著名的要數(shù)蘇格蘭數(shù)學(xué)家普萊費(fèi)爾提出的平行公設(shè)：給定一條直線，通過此直線外的任何一點(diǎn)，有且只有一條直線與之平行.于是數(shù)學(xué)家也常把第五公設(shè)稱為平行公設(shè).

歐幾里得所謂的公理是沒有經(jīng)過證明的.為什么歐幾里得不證明這些公理，使之看起來更可信呢？原因很簡單，公理根本無法證明！后面的定理需要用前面的定理來證明，前面的定理需要用更前面的定理來證明，那么最前面的定理如何證明呢？萬事萬物總得有個開頭吧！于是便有了最開始的那幾條基本規(guī)律，也就是所謂的公理.

兩千多年間，數(shù)學(xué)家對公理的看法有了巨大變化，也取得了基本的一致：公理是不必證明的命題.非歐幾何的創(chuàng)立讓數(shù)學(xué)家可以探索任何可能的問題，建構(gòu)任何可能的公理體系，理論數(shù)學(xué)從此得到了空前的發(fā)展.