胡常莉，曹友銓，王學(xué)德

（南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，南京210094）

0 引 言

空化是發(fā)生在水力機(jī)械中一種常見的流動(dòng)現(xiàn)象，往往會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的噪聲、振動(dòng)和空蝕[1]。如今，用數(shù)值計(jì)算的方法來(lái)研究空化現(xiàn)象已經(jīng)比較廣泛，尤其是對(duì)云狀空化發(fā)展過(guò)程中出現(xiàn)的大空泡團(tuán)脫落的模擬已經(jīng)取得了一定進(jìn)展。Shyy[2]，Coutier-Delgosha[3]等人的研究表明：湍流模型對(duì)于空化流動(dòng)的預(yù)測(cè)有十分重要的影響。目前廣泛采用的是基于雷諾平均N-S方程的渦黏模型，由于發(fā)生空化時(shí)流動(dòng)中湍動(dòng)能產(chǎn)生項(xiàng)和耗散項(xiàng)間的不平衡，采用標(biāo)準(zhǔn)的k-ε模型不能很好地模擬云狀空化[4]。近年來(lái)發(fā)展了許多混合RANS/LES湍流模型，多位學(xué)者研究表明這種混合模型可以較好地應(yīng)用到空化流動(dòng)的計(jì)算中。黃彪等人[5]應(yīng)用Spalart[6]提出的分離渦模型（DES），求解了非定?？栈鲃?dòng)，達(dá)到了較好的效果。Wu等人[2]則將濾波器模型（FBM）[7]應(yīng)用到了Clark-Y水翼的云狀空化計(jì)算中，結(jié)果可以捕捉到非定常流動(dòng)細(xì)節(jié)。另外，多位研究者將Girimaji[11]提出的基于標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型的局部時(shí)均化模型（PANS），應(yīng)用到不同繞流體的空化流動(dòng)數(shù)值計(jì)算中，主要討論了PANS模型中不同控制參數(shù)fk取值對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響[8-10]。

由于Girimaji[11]提出的基于標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型的PANS模型歷史較短且有不足之處，近年來(lái)有學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了各種修正及發(fā)展，如Song等人[12]用基于k-w模型的PANS模型計(jì)算了圓柱繞流的流場(chǎng)并取得了較好的結(jié)果；AlaaElmiligui等人[13]借助于混合模型的思想對(duì)PANS模型的控制參數(shù)fk值進(jìn)行了修正，應(yīng)用PAB3D求解器研究了圓柱繞流問(wèn)題，Hu等人[14]針對(duì)空化流動(dòng)的特點(diǎn)提出了一種基于密度修正的PANS模型并取得較好的結(jié)果，Huang等人[15]基于當(dāng)?shù)鼐W(wǎng)格尺度和湍流尺度對(duì)PANS模型進(jìn)行了修正，并將其應(yīng)用到后臺(tái)階繞流流動(dòng)中。

在前人的研究基礎(chǔ)之上，本文基于AlaaElmiligui等人[13]的研究，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)PANS模型的控制參數(shù)fk值進(jìn)行了修正，通過(guò)CFX二次開發(fā)技術(shù)加入到求解器中，模擬了繞Clark-Y型水翼的云狀空化流動(dòng)，基于數(shù)值及實(shí)驗(yàn)結(jié)果，評(píng)價(jià)并討論了該模型的特性。

1 計(jì)算模型和數(shù)值方法

1.1 基本方程

采用均質(zhì)平衡流模型，則Favre平均的N-S方程為：

式中：下標(biāo)i和j分別代表坐標(biāo)方向，ρm，u和p分別為混合介質(zhì)的密度、速度和壓強(qiáng)，μ和 μt分別為混合介質(zhì)的層流和湍流粘性系數(shù)。

1.2 空化模型

空化流動(dòng)計(jì)算中，選用Kubota空化模型[16]，其表達(dá)式如下：

式中：RB為簡(jiǎn)化氣泡半徑；pv為汽化壓強(qiáng)；ρl和ρv分別為液體的密度和蒸汽的密度；αnuc為氣核的體積分?jǐn)?shù)；Fe和Fc分別是蒸發(fā)和凝結(jié)常數(shù)項(xiàng)。Kubota空化模型重點(diǎn)考慮了空化初生和發(fā)展時(shí)空泡體積變化的影響，適于模擬空化的非定常特性。

許多實(shí)驗(yàn)表明湍動(dòng)能對(duì)空化產(chǎn)生重要的影響[17]，本文采用文獻(xiàn)[17]中提出的方法來(lái)計(jì)算湍動(dòng)能k對(duì)當(dāng)?shù)仄瘔簭?qiáng)的影響：

汽化壓強(qiáng)采用下式計(jì)算：

式中：psat和k分別表示當(dāng)?shù)仫柡驼羝麎簭?qiáng)和流場(chǎng)的當(dāng)?shù)赝膭?dòng)能。

1.3 PANS模型及其修正

PANS模型的湍動(dòng)能ku和耗散率εu的輸運(yùn)方程分別為：

湍動(dòng)粘度：

其它常數(shù)取值分別為：

PANS模型的兩個(gè)控制參數(shù)分別定義為[12]：

在高雷諾數(shù)的流動(dòng)中，fε值通常取1，當(dāng)fk=1時(shí)，說(shuō)明湍流控制方程復(fù)原到RANS模型；當(dāng)fk=0時(shí)，表示數(shù)值計(jì)算過(guò)程沒(méi)有湍流模型的引入，為直接求解的方式。

本研究中，對(duì)于fk的取值，考慮到流場(chǎng)中各處的湍流尺度不同，采用（13）式[13]進(jìn)行計(jì)算：

1.4 數(shù)值計(jì)算方法

1.4.1 計(jì)算網(wǎng)格和邊界條件

計(jì)算采用Clark-y型水翼，弦長(zhǎng)C=0.07 m。圖2給出了計(jì)算區(qū)域及其邊界條件。由圖2所示，采用速度入口，壓力出口，流動(dòng)區(qū)域上下邊界為自由滑移壁面條件，翼型表面采用絕熱、無(wú)滑移固壁條件。攻角設(shè)定為8°，空化數(shù)設(shè)定為0.8，流速設(shè)定為10 m/s，雷諾數(shù)為7×105。圖3為翼型周圍網(wǎng)格分布圖，對(duì)其近壁區(qū)域進(jìn)行了網(wǎng)格加密，近壁面y+值為20～80之間，滿足壁面函數(shù)要求。并且為了提高網(wǎng)格的質(zhì)量，翼型前端的區(qū)域采用C型結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分，這樣可以較好地匹配翼型頭部的形狀。

1.4.2 無(wú)量綱數(shù)的定義

計(jì)算中的主要無(wú)量綱參數(shù)為空化數(shù)σ、雷諾數(shù)Re、升力系數(shù)分別定義為：

式中：P∞、U∞和Pv分別為距實(shí)驗(yàn)段上游入口210 mm處參考斷面上的平均靜壓強(qiáng)、斷面平均速度和汽化壓強(qiáng)，F(xiàn)y是水翼所受到的升力。

2 結(jié)果分析及討論

2.1 基于空化流場(chǎng)，對(duì)修正PANS模型的特性分析

修正PANS模型可以實(shí)現(xiàn)對(duì)流場(chǎng)的不同區(qū)域采用不同的fk值進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，即按照不同的湍流尺度，fk值的變化范圍為0到1之間。為了研究fk的取值與空化流動(dòng)結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，圖4給出了基于特征網(wǎng)格尺度Δ=2L的修正PANS模型得到的空穴形態(tài)隨時(shí)間的演變過(guò)程及對(duì)應(yīng)時(shí)刻的翼型周圍湍動(dòng)能和fk值分布云圖。觀察分析各時(shí)刻的空穴形態(tài)圖及fk值、湍動(dòng)能分布云圖可知，在翼型吸力面的空化區(qū)域存在較大尺度的渦結(jié)構(gòu)，且云狀空化在發(fā)展的過(guò)程中伴隨著大尺度空泡團(tuán)的脫落現(xiàn)象，因此相比于遠(yuǎn)流場(chǎng)，翼型周圍空化區(qū)域的湍動(dòng)能較大，尤其是翼型尾部的旋渦區(qū)域。PANS模型的特點(diǎn)是控制參數(shù)fk值越小，流場(chǎng)中可解的湍流尺度越多，因此對(duì)于高湍動(dòng)能區(qū)域，需要采用較小的fk值才能模擬出大尺度的湍流結(jié)構(gòu)。由fk值云圖可以看出，修正PANS模型恰好滿足這個(gè)特點(diǎn)，即在翼型周圍高湍動(dòng)能區(qū)域?qū)?yīng)的fk值較小，而遠(yuǎn)流場(chǎng)的fk值較大。圖4中還給出了由標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型得到的空穴形態(tài)圖，通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，基于網(wǎng)格尺度Δ=2L的修正PANS模型可以較好地模擬出云狀空化階段翼型尾部的大空泡團(tuán)脫落現(xiàn)象，這在一定程度上彌補(bǔ)了標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型的不足。

為了進(jìn)一步研究修正PANS模型中控制參數(shù)fk的取值與空化流場(chǎng)中湍流尺度之間的關(guān)系，圖5分別給出了由基于4種網(wǎng)格尺度的修正PANS模型得到的時(shí)均fk值及時(shí)均湍流尺度分布云圖。顯然，4種情況下，時(shí)均湍流尺度較大的區(qū)域?qū)?yīng)的fk值均較小，這滿足對(duì)流場(chǎng)中大尺度湍流結(jié)構(gòu)的求解要求。由時(shí)均湍流尺度分布云圖可知，在翼型的尾部始終存在較大的湍流尺度結(jié)構(gòu)，而在包裹翼型整個(gè)空化區(qū)域的剪切層內(nèi)，由于該區(qū)域的耗散較大，導(dǎo)致其湍流尺度較小，從而該區(qū)域?qū)?yīng)于較大的fk值。通過(guò)對(duì)比4種不同網(wǎng)格尺度的結(jié)果可知，網(wǎng)格尺度越小，對(duì)整個(gè)流場(chǎng)的求解中fk的取值越小。

2.2 修正PANS模型中特征網(wǎng)格尺度Δ的取值對(duì)空化流動(dòng)計(jì)算的影響

由上一節(jié)的分析可知，修正PANS模型的控制參數(shù)fk的取值不僅與流場(chǎng)當(dāng)?shù)氐耐牧鞒叨扔嘘P(guān)而且受特征網(wǎng)格尺度的影響。因此，本小節(jié)主要討論特征網(wǎng)格尺度Δ的取值對(duì)云狀空化流動(dòng)計(jì)算的影響。

圖6給出了4種不同網(wǎng)格尺度下的時(shí)均蒸汽含量及湍流粘性分布云圖。通過(guò)對(duì)比可知，時(shí)均蒸汽含量隨著所選取網(wǎng)格尺度的減小而增大，相應(yīng)地，湍流粘性系數(shù)則隨著網(wǎng)格尺度的減小而減小。流場(chǎng)中當(dāng)湍流尺度一定時(shí)，網(wǎng)格尺度越小，無(wú)量綱化后的湍流尺度λ值越大，結(jié)合圖1可知，此時(shí)fk值較小，流場(chǎng)中會(huì)釋放出較多的湍流尺度，減小了對(duì)湍流粘性的預(yù)測(cè)，從而減小了對(duì)空穴的抑制作用。

云狀空化的發(fā)展過(guò)程具有明顯的非定常特性，圖7列出了4種不同的網(wǎng)格尺度時(shí)，修正PANS模型得到的空穴形態(tài)隨時(shí)間的變化過(guò)程并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析可知，云狀空化在一個(gè)發(fā)展周期內(nèi)主要經(jīng)歷的形態(tài)特征為：翼型前緣出現(xiàn)附著空穴薄層并伴隨著尾部大空泡團(tuán)的脫落—前緣的空穴逐漸發(fā)展長(zhǎng)大，尾部空泡團(tuán)脫落潰滅消失—反向射流的形成發(fā)展，繼而又造成大空泡的脫落。對(duì)比數(shù)值及實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，從空穴的整個(gè)發(fā)展過(guò)程來(lái)看，4種網(wǎng)格尺度時(shí)，修正PANS模型得到的空穴發(fā)展過(guò)程均與實(shí)驗(yàn)較一致，而主要的差異在于空穴發(fā)展的最大尺度及反向射流的發(fā)展過(guò)程。具體地，當(dāng)t0+38%T時(shí)，Δ=0.1L的空穴形態(tài)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，結(jié)合圖8的空穴體積隨時(shí)間的變化情況可知，隨著網(wǎng)格尺度的減小，空穴體積隨時(shí)間的波動(dòng)幅度增大，表現(xiàn)為空穴形態(tài)的最大尺度較大。另外，當(dāng)t0+62%T時(shí)，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比可知，當(dāng)Δ=0.1L時(shí)修正的PANS模型更好地模擬出了反向射流向翼型前緣推進(jìn)的過(guò)程。

為了研究網(wǎng)格尺度Δ值對(duì)空化流場(chǎng)湍流流動(dòng)特征的影響，圖9給出了4種不同網(wǎng)格尺度下，圖7中t0時(shí)刻對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)速度等值線圖。由圖7可知，該時(shí)刻為云狀空化流動(dòng)的翼型尾部大尺度空泡團(tuán)的脫落。從圖9中可以看出，當(dāng)Δ值較小時(shí)，修正PANS模型計(jì)算得到的空泡團(tuán)內(nèi)部的湍流速度尺度分布較廣且湍流速度脈動(dòng)明顯，隨著Δ值的增大，流動(dòng)速度值的分布范圍逐漸減小，湍流速度脈動(dòng)不明顯。

圖10分別給出了4種網(wǎng)格尺度時(shí)，修正PANS模型得到的翼型升力系數(shù)隨時(shí)間的波動(dòng)曲線，并將它們一一與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，發(fā)現(xiàn)與實(shí)驗(yàn)相一致的是，4種網(wǎng)格尺度時(shí)的升力系數(shù)曲線隨時(shí)間的波動(dòng)均具有明顯的周期性。對(duì)比各曲線的波動(dòng)細(xì)節(jié)可知，當(dāng)網(wǎng)格尺度較大時(shí)，修正PANS模型不能釋放出較多的湍流尺度，不足以模擬流動(dòng)細(xì)節(jié)，因而升力系數(shù)曲線的波動(dòng)細(xì)節(jié)不明顯，而隨著網(wǎng)格尺度的減小，升力系數(shù)曲線的小波動(dòng)細(xì)節(jié)逐漸增多，說(shuō)明此時(shí)修正PANS模型求解了較豐富的湍流尺度，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果也較接近。

3 結(jié) 論

應(yīng)用一種修正的PANS模型對(duì)繞Clark-Y型水翼的云狀空化流動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬，基于數(shù)值結(jié)果分析了該修正PANS模型的特性，并基于實(shí)驗(yàn)及數(shù)值結(jié)果討論了網(wǎng)格尺度對(duì)該修正PANS模型應(yīng)用于云狀非定?？栈鲃?dòng)計(jì)算中的影響，所得結(jié)論如下：

（1）修正PANS模型實(shí)現(xiàn)了在云狀空化流動(dòng)計(jì)算中其控制參數(shù)fk取值的靈活性，減少了對(duì)控制參數(shù)fk取值的任意性或主觀性，從而在一定程度上推動(dòng)了PANS模型的發(fā)展。

（2）修正PANS模型可以較好地模擬云狀空化的整個(gè)發(fā)展過(guò)程，從翼型前緣空穴的增長(zhǎng)到翼型尾部的大空泡團(tuán)脫落，均與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好。

（3）本研究中，修正PANS模型特性不僅與流場(chǎng)當(dāng)?shù)赝牧鞒叨扔嘘P(guān)，而且受所選取網(wǎng)格尺度的影響。研究表明，網(wǎng)格尺度較小時(shí)，流場(chǎng)中可以計(jì)算出的湍流尺度較豐富，從而可以提高計(jì)算精度。