李 沛 劉建遠(yuǎn) 趙瑞超 梁博文 王紹維

（1.內(nèi)蒙古科技大學(xué)礦業(yè)研究院，內(nèi)蒙古包頭014010；2.北京礦冶研究總院，北京102628；3.內(nèi)蒙古科技大學(xué)分析測試中心，內(nèi)蒙古包頭014010；4.內(nèi)蒙古科技大學(xué)礦業(yè)與煤炭學(xué)院，內(nèi)蒙古包頭014010）

預(yù)測磨礦產(chǎn)品的粒度分布是建立磨礦環(huán)節(jié)自動控制和磨機放大選型的基礎(chǔ)，是磨礦動力學(xué)研究的重要方向。

以Austin為代表的研究者們建立了總量平衡模型（Population Balance Model），并發(fā)展了模型求解和碎磨動力學(xué)參數(shù)反算方法；在此基礎(chǔ)上，以Herbst為代表的研究者探究了磨礦過程中輸入能量與碎裂速度的關(guān)系，進一步發(fā)展了該模型［1］。

該領(lǐng)域理論繁雜、晦澀，且鮮有文章給出完整的建模、參數(shù)求解過程，以至難以被選礦工作者學(xué)習(xí)、應(yīng)用。

本研究擇優(yōu)吸取前人的研究成果，對實驗室內(nèi)批次球磨建模并確定模型參數(shù)，以預(yù)測一定工作條件、一定磨礦時間下產(chǎn)品的粒度分布。

1 建立模型

1.1 總量平衡模型

建模使用批次磨礦的總量平衡模型，其思想為：批次磨礦中某一粒級的增量為從粗粒級落下來的部分；其減量為該粒級粉碎后落入細(xì)粒級的部分，兩者差值為變化量［1-2］，其基于時間的微分表達(dá)式為其中，mi（t）為t時刻第i個粒級物料含量（定義最大粒級i=1，最細(xì)粒級i=n），%；Si為第i個粒級的碎裂速度，表示單位時間內(nèi)該粒級的粉碎分?jǐn)?shù)，min-1，也稱選擇函數(shù)，記作S；bij為碎裂分布函數(shù)，表示經(jīng)粉碎由j粒級落入第i粒級的含量，無量綱。該值取決于物料性質(zhì)，不受磨機尺寸和磨礦條件的影響，其累計的形式為累計碎裂分布函數(shù)Bij，定義為Bij-B(i+1)j=bij，2種形式都記作 B［3］。

S、B均為該模型的參數(shù)，統(tǒng)稱為碎磨動力學(xué)參數(shù)。

1.2 Herbst-Fuerstenau方程

Herbst等從磨礦過程能量輸入的角度展開研究，得出如下結(jié)論：當(dāng)磨礦條件一定時，碎裂速度函數(shù)取決于起粉碎作用的凈功率Pball，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

該式被稱為Herbst-Fuerstenau方程［3］，式中

Pball值很重要，應(yīng)通過實測功率計算，kW；H為磨機內(nèi)的干礦量，t；SiE為基于能量的碎裂速度函數(shù)，獨立于磨機尺寸，主要由物料性質(zhì)決定，受鋼球級配的影響較大，t/（kWh）。

1.3 基于能量的總量平衡模型

聯(lián)合式（1）、式（3）并積分，可得到基于能量的總量平衡模型，其可用的積分表達(dá)式為［3］

式中，Mf為給礦矩陣，Mf=[mi|i=1,2,3…n] ；Mp為產(chǎn)品矩陣，Mp=[mi|i=1,2,3…n]；J是對角矩陣，其元素為為下三角矩陣，其元素為

上述解析式實為Reid解［4］，本研究用能量做變量替換了時間變量得來。需要說明的是，本研究選用基于能量的總量平衡模型是為后續(xù)研究做準(zhǔn)備。如果只是建立指定磨機、指定工況條件的球磨預(yù)測模型，用基于時間的總量平衡模型即可?？梢钥闯?，模型應(yīng)用的關(guān)鍵是確定碎磨動力學(xué)參數(shù)。

2 初定碎磨動力學(xué)參數(shù)

確定碎磨動力學(xué)參數(shù)至少要做若干單粒級的磨礦試驗，在此基礎(chǔ)上擬合、推算其余粒級的參數(shù)。

2.1 試驗內(nèi)容、裝置及工況

2.1.1 試驗內(nèi)容

（1）假設(shè)磨礦符合一階動力學(xué)，即有式（5），在單粒級上做間隔磨礦試驗，求各粒級的Si［2］。本研究選用的4個粒級為425～600、600～850、850～1 180、1 180～1 700 μm，磨礦時間間隔為0.5、1.0、2.0、4 min。

（2）根據(jù)Austin提出的BII法反算碎裂分布函數(shù)B，見式（6）［5］。

其中，Pi為的篩下累計含量，%。利用BII法時，磨礦時間t越長，B值越大，這是該方法的固有缺陷。因此t應(yīng)盡可能短，以接近“一次碎裂”的假設(shè)，本研究選用t=0.5min。

2.1.2 試驗裝置與工況

以粒度為1 700～0 μm的硅石礦（石英含量為95%）為原料，每次磨礦量為500 g，質(zhì)量濃度為65%，礦漿體積為0.45 L；磨礦用XQM-150型球磨機，轉(zhuǎn)速為78 r/min（相當(dāng)于71%臨界轉(zhuǎn)速，由變頻器控制），球徑為25 mm，真密度為7.7 g/cm3，球重為5.25 kg（堆積體積約為1.15 L，空隙0.48 L），填充率約50%進行批次濕磨試驗，磨礦產(chǎn)品用泰勒篩的 2系列進行篩分，最小篩孔尺寸37 μm。

磨機功率用三相電測試儀測定，考慮到三相電的不平衡性，選用四線三相的連接方式測定三相功率之和。處理數(shù)據(jù)時應(yīng)剔除啟、停機階段數(shù)據(jù)，取平穩(wěn)運行階段至少30個連續(xù)數(shù)據(jù)的平均值。

2.2 試驗結(jié)果

試驗結(jié)果的一階動力學(xué)曲線見圖1，各粒級動力學(xué)方程見表1。

由表1的擬合優(yōu)度R2接近于1可知，試驗?zāi)サV符合一階動力學(xué)假設(shè)。

通過記錄球磨機空轉(zhuǎn)和工作時的功率，得到凈功率Pball=0.023 5 kW。結(jié)合式（3）可得1 180～1 700、850～1 180、600～850、425～600 μm粒級基于能量的碎裂速度函數(shù)SE的計算值分別為0.386、0.345、0.284、0.263 t/（kWh）。

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通過BII法，算得累計碎裂分布函數(shù)Bij，結(jié)果見表2。

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經(jīng)比較，Bi1、B（i+1）2…B（i+3）4差距不大，有自相似性，可認(rèn)為B值是規(guī)范化的，因此用平均值來統(tǒng)一表示［1，6］。

3 擬合碎磨動力學(xué)參數(shù)

通過試驗得到了4個粒級的碎磨動力學(xué)參數(shù)，繼續(xù)采用磨礦—篩分的試驗方法求解剩余8個粒級的參數(shù)顯得繁瑣、冗長，因而采用Austin等［6-7］提出的方法對剩下粒級的參數(shù)進行擬合。該擬合法是基于碎磨動力學(xué)參數(shù)與粒度或粒級的關(guān)系曲線是連續(xù)、有規(guī)律的，因此可用少量的點得到曲線，并依此推算未知的碎磨動力學(xué)參數(shù)。

因Excel有簡便的規(guī)劃求解工具，所以本研究不用圖解法，直接使用非線性規(guī)劃求解。

3.1 計算擬合參數(shù)初值

對于SE，可用式（7）計算［6］。

根據(jù)經(jīng)驗，初定α0=0.1、α1=1，以的計算值與擬合值的相對標(biāo)準(zhǔn)誤差最小為目標(biāo)，利用非線性規(guī)劃求解得到α0=0.022、α1=0.392，擬合結(jié)果見表3，相對標(biāo)準(zhǔn)誤差為2.500。

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其中，di為i粒級的粒級上限，μm；β0、β1、β2為擬合參數(shù)，根據(jù)文獻［8］估算的初值分別為0.426、1.130、5.540。

考慮到B值取決于物料性質(zhì)，可用已有數(shù)據(jù)做初值。如文獻［8］給出了石英碎裂分布函數(shù)的擬合參數(shù)β0=0.5、β1=1.1、β2=5.4。

3.2 優(yōu)化擬合參數(shù)

擬合參數(shù)共需5個，其值必須相互配合才能使整體效果最好。因此，有必要對其進行優(yōu)化。其基本思路是：在擬合參數(shù)初值的基礎(chǔ)上，不斷變動其值，使模型擬合的粒度分布與試驗觀測的粒度分布盡可能接近［7］。

本研究使用軟件包“Moly-Cop Tools”中“Ball-Param Batch MultiTest”進行優(yōu)化，具體步驟為①輸入磨機尺寸和磨礦條件；②選取并輸入至少4組試驗的給料粒度分布和對應(yīng)的產(chǎn)品粒度分布、磨礦時間數(shù)據(jù)；③輸入擬合參數(shù)初值，調(diào)用Excel中“非線性GRG”做規(guī)劃求解。

規(guī)劃求解的具體方法可制定，本研究使用如下方案：

B的擬合方程為［7］

其中，P為篩下累計產(chǎn)率，%；m為參與擬合的數(shù)據(jù)組數(shù)（試驗數(shù)）；n為參與粒級的最大個數(shù)；wki是權(quán)重系數(shù)。本研究選用4個粒級磨礦1 min和2 min的數(shù)據(jù)，則m=8；全部粒級共12個，故n=12。wki依情況而定：對“有用”的粒級為1，“沒用”的粒級為0。如單粒級425～600 μm的試驗中，該粒級及以下粒級的wki=1；更粗粒級不參與擬合，wki=0。

添加約束是必要的，否則模型不穩(wěn)定，對參與確定參數(shù)運算的數(shù)據(jù)擬合效果雖然好，但對新數(shù)據(jù)擬合效果差。優(yōu)化后的碎磨動力學(xué)參數(shù)擬合結(jié)果見表4。

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由表4可以看出，碎裂分布函數(shù)的擬合參數(shù)β與文獻［8］中的很接近，說明擬合、優(yōu)化方法較合理。據(jù)此可求得全部粒級的碎磨動力學(xué)參數(shù)，將其代入模型使模型可用。

3.3 模型精度的檢驗

模型對數(shù)據(jù)的擬合程度見圖2。

由圖2可以看出，擬合曲線都穿過觀測點。經(jīng)計算，8組擬合值與其觀測值的相對標(biāo)準(zhǔn)誤差為7.57%。

需要指出的是，碎裂分布函數(shù)雖然是規(guī)范化的，但若B值的平均值是由少量試驗而得來，則模型精度會大幅度降低。

4 模型驗證

為驗證該模型，在磨礦設(shè)備及磨礦條件不變的情況下，進行兩組驗證試驗。

（1）第1組給礦粒度為0～1 700 μm，利用模型預(yù)測磨礦1、2、4、8 min的粒度分布，之后進行相應(yīng)的間隔磨礦試驗，結(jié)果見圖3。

經(jīng)計算，預(yù)測值與觀測值的相對標(biāo)準(zhǔn)誤差為4.99%。

（2）第2組給礦為硅石的人工配礦，210～300 μm、425～600 μm、600～850 μm、850～1 180 μm、1 180～1 700 μm粒級產(chǎn)率均為20%，即試驗有意設(shè)置300～425 μm粒級缺失，制造一個“斷層”，以驗證模型對非常規(guī)給料的適應(yīng)性。預(yù)測結(jié)果見圖4，預(yù)測值與觀測值的相對標(biāo)準(zhǔn)誤差為5.30%，說明模型對非常規(guī)給料也適應(yīng)，有較好的穩(wěn)定性。

綜上所述，本預(yù)測模型的精度較高，對給料粒度變化不敏感，說明該模型可用。

5 結(jié)論

本球磨產(chǎn)品粒度分布預(yù)測模型是基于總量平衡模型和Herbst-Fuerstenau方程構(gòu)建的，通過試驗和擬合確定碎磨動力學(xué)參數(shù)。驗證試驗表明，該模型精度較高，能滿足一般的預(yù)測要求，且可進一步發(fā)展為連續(xù)磨礦的粒度分布預(yù)測模型，為優(yōu)化磨礦環(huán)節(jié)的自動控制提供依據(jù)。