張立艷

(成都農(nóng)業(yè)科技職業(yè)學(xué)院，四川 成都 611130)

在大地測量及相關(guān)領(lǐng)域，隨處可見一些能用不等式約束表示的先驗(yàn)信息。如在大壩變形分析中，可以根據(jù)控制點(diǎn)的位移方向建立形變量的不等式約束[1]；利用GPS進(jìn)行高層建筑物變形監(jiān)測時(shí)，可以根據(jù)雙差觀測值的精度和建筑物的最大形變量構(gòu)造模糊度的不等式約束搜索空間[2]；在方差分量估計(jì)中，所有的方差分量均為正值[3]。合理利用有效的先驗(yàn)約束信息，能提高參數(shù)估計(jì)的精度和可靠性。不等式約束平差模型在最優(yōu)化理論中等價(jià)于二次規(guī)劃，可以采用起作用集算法、序列二次規(guī)劃法和罰函數(shù)方法求解[4]。在測量領(lǐng)域，盧剛運(yùn)用奇異值分解給出了不等式約束平差的最小距離方法[5]。朱建軍將模型參數(shù)視作不等式約束區(qū)間上服從均勻分布的隨機(jī)變量，給出了基于均值、眾數(shù)和最小距離的貝葉斯解及其均方誤差[6]。RAO將不等式約束轉(zhuǎn)化為橢圓約束，采用極大極小準(zhǔn)則給出了參數(shù)的有偏估計(jì)[7]。朱建軍基于罰函數(shù)方法給出了不等式約束平差的一種簡單迭代算法[1]。彭軍還將多個(gè)不等式約束轉(zhuǎn)化為單個(gè)凝聚約束，將不等式約束平差問題化為等式約束的非線性規(guī)劃問題，并推導(dǎo)了參數(shù)估計(jì)的近似方差、均方誤差矩陣及單位權(quán)方差[8]。

將不等式約束最小二乘平差問題轉(zhuǎn)化為無約束極小化問題，罰函數(shù)方法是一種有益的嘗試。凝聚約束方法也可以歸結(jié)為求無約束最優(yōu)化問題的解。以上兩種方法都是對(duì)不等式約束條件的轉(zhuǎn)換。不同于上述對(duì)約束條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換，本文針對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行變量代換[9-10]，從而將約束最小二乘平差轉(zhuǎn)化為無約束非線性規(guī)劃問題，并采用一種常見的擬牛頓型算法即BFGS方法[11]進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

1 有界約束平差模型及有效集方法

在測量數(shù)據(jù)處理中，一般是將含有誤差的觀測值表示為待估參數(shù)的函數(shù)，如式(1)中的上式。若預(yù)先得到全部或部分參數(shù)的上下確界，則可以建立如式(1)的下式所示約束。有界約束平差模型為

(1)

(2)

為了求解式(2)的最優(yōu)估計(jì)值，根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則，在不等式約束的范圍內(nèi)，令觀測值的誤差平方和最小，從而得到如下的約束最優(yōu)化問題

(3)

這里給出一種常見的解模型式(3)的起作用集方法。它在每次迭代中，以已知的可行點(diǎn)為起點(diǎn)，把在該點(diǎn)起作用約束作為等式約束，在此等式約束下極小化目標(biāo)函數(shù)，求得新的比較好的可行點(diǎn)后，再重復(fù)上述步驟[4]。設(shè)在第k次迭代中，已知可行點(diǎn)X(k)，在該點(diǎn)起作用約束指標(biāo)集為I(k)，解等式約束問題

(4)

模型式(4)可以按照附有限制條件的間接平差模型得到新的最優(yōu)解X(k′)，然后將X(k′)代入所有的不等式約束條件進(jìn)行判斷。

(1) 如果X(k′)是可行點(diǎn)，且X(k′)-X(k)≠0，則在第k+1次迭代中，新的已知點(diǎn)取作X(k+1)=X(k′)。

(2) 如果X(k′)不是可行點(diǎn)，則令搜索方向?yàn)閐(k)=X(k′)-X(k)，并沿著該方向進(jìn)行搜索。

若迭代結(jié)束后，有效約束集對(duì)應(yīng)的所有拉格朗日乘子都大于等于0，則X(k)是模型式(4)的最優(yōu)解。若存在小于0的拉格朗日乘子，則將拉格朗日乘子取最小值所對(duì)應(yīng)的約束從可行集中刪除后重新迭代計(jì)算。

2 有界約束平差模型的變量代換方法

求解約束極值問題時(shí)，要兼顧目標(biāo)函數(shù)值下降且滿足約束條件，而無約束極值問題只要求滿足目標(biāo)函數(shù)值下降。因此，約束極值問題的求解比相應(yīng)的無約束極值問題更為復(fù)雜。這里根據(jù)有界約束的特殊性，將處于有界約束中的參數(shù)進(jìn)行變量代換，新的變量在整個(gè)實(shí)數(shù)空間中取值，從而將約束極值問題轉(zhuǎn)換為無約束極值問題。下面給出兩種實(shí)現(xiàn)有界約束參數(shù)的變量代換方法。

2.1 反正切變換

Xi=Wi1+(Wi2-Wi1)×(arctan(Ui)+π/2)/π

(5)

可以得知式(5)右端項(xiàng)的取值范圍為[Wi1,Wi2]。Ui和Xi的函數(shù)關(guān)系如圖1所示。

圖1 經(jīng)反正切變換后新變量與原變量關(guān)系

2.2 正弦變換

一般來說，具有上下界的函數(shù)，其變換方式并不是唯一的。構(gòu)造如下的正弦函數(shù)

Xi=Wi1+(Wi2-Wi1)×(sinUi+1)/2

(6)

同理，正弦函數(shù)的定義域?yàn)檎麄€(gè)實(shí)數(shù)空間，而它的值域sinUi∈[-1,1]。式(6)右端項(xiàng)的取值范圍為[Wi1,Wi2]。Ui和Xi的函數(shù)關(guān)系如圖2所示。

圖2 經(jīng)正弦變換后新變量與原變量關(guān)系

將具有上下約束的參數(shù)按照式(5)或式(6)進(jìn)行變量代換以后，新的變量都是在整個(gè)實(shí)數(shù)空間內(nèi)取值。然后，將新變量Ui代入式(1)中的上式，得到一個(gè)非線性觀測方程，在最小二乘準(zhǔn)則下，解無約束非線性極小化問題可以得到新變量的極值，再代入式(5)或式(6)可得到原變量的參數(shù)估值。

對(duì)于無約束非線性最優(yōu)化問題，一種常用的方法是擬牛頓方法。它的基本思想是：用不包含二階導(dǎo)數(shù)的矩陣近似當(dāng)作牛頓法中Hessian矩陣的逆矩陣。其中BFGS方法是目前最流行有效的擬牛頓算法，采用BFGS方法求解非線性函數(shù)f(x)的極小值的一般步驟為[11]：

(5) 令k=k+1，轉(zhuǎn)步驟(1)。

對(duì)于凸函數(shù)的最優(yōu)化問題，采用精確線搜索，BFGS方法具有全局收斂特性，是一類具有較好數(shù)值效果和快速收斂的非線性最優(yōu)化方法。

3 算例分析

在式(1)中，模擬如下算例

同時(shí)附加兩個(gè)不等式約束條件：1.20≤x1≤1.30，2.50≤x3≤2.60。設(shè)觀測值都為等權(quán)不相關(guān)觀測值，即觀測值的權(quán)矩陣為單位矩陣。當(dāng)不考慮約束時(shí)，最小二乘解為

然后，采用本文提出的新方法，將約束變量分別進(jìn)行如下變量代換

(7)

(8)

將中間變量分別代入式(7)，可得

同樣，采用正弦代換式進(jìn)行計(jì)算，初始值與反正切代換時(shí)相同，經(jīng)過26次迭代，得到無約束解

將中間變量代入式(8)，可得到與反正切變換完全相同的解，且與起作用集方法的解結(jié)果相同?？梢?，有界約束的變量代換法求解有界約束平差模型是可行的。

4 結(jié)論與展望

對(duì)于只含上下有界約束且約束間互不相關(guān)的一類特殊不等式約束平差模型，本文提出將含有約束的參數(shù)進(jìn)行變量代換，形成無約束非線性最優(yōu)化問題。采用BFGS算法解上述問題，得到新變量的最優(yōu)值，進(jìn)而得到不等式約束最小二乘平差問題的解。但該方法目前只適用于模型參數(shù)是有界約束的情況，將該方法擴(kuò)展到一般不等式約束的情況是下一步研究的方向。