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        一種基于MTLS優(yōu)化的非等間距多點(diǎn)灰色變形預(yù)測模型

        2018-11-30 09:17:38甘祥前劉林波劉中流
        測繪通報(bào) 2018年11期
        關(guān)鍵詞:監(jiān)測點(diǎn)灰色間距

        甘祥前,任 超,劉林波,劉中流,楊 慶

        (1. 桂林理工大學(xué)測繪地理信息學(xué)院,廣西 桂林 541004; 2. 廣西空間信息與測繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣西 桂林 541004)

        變形預(yù)測常用的模型主要有傳統(tǒng)灰色預(yù)測模型、時(shí)間序列分析、回歸分析和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等[1-4]。這些方法大多為單點(diǎn)建模與預(yù)測[5],而事實(shí)上監(jiān)測工程建筑物的變形狀態(tài)都布設(shè)有大量的變形監(jiān)測點(diǎn),監(jiān)測點(diǎn)間是相互影響、彼此關(guān)聯(lián)的,單點(diǎn)的處理沒有利用監(jiān)測點(diǎn)間相互關(guān)系的信息,不足以反映變形體的整體變形趨勢和變形規(guī)律[6-9]。因此,在變形監(jiān)測分析與預(yù)報(bào)中,使用多點(diǎn)灰色預(yù)測模型更為合理。但在實(shí)際工程中可能存在非等間距觀測或某幾期缺測的實(shí)際狀況,對此,近年來不少學(xué)者對非等間距多點(diǎn)灰色變形預(yù)測模型進(jìn)行了研究,其中文獻(xiàn)[10]將單點(diǎn)變形分析擴(kuò)展到空間多點(diǎn)的整體變形分析,采用非等間距等距化處理的改進(jìn)方法,建立了非等間距多點(diǎn)變形預(yù)測模型;文獻(xiàn)[11]在GIS平臺(tái)下結(jié)合多變量非等間距灰色預(yù)測模型,開發(fā)了一套露天礦邊坡災(zāi)害預(yù)警系統(tǒng);文獻(xiàn)[12]建立了多變量非等間距灰色模型并應(yīng)用于中國農(nóng)村青少年生長水平預(yù)測。目前,這些方法大多為對非等間距多點(diǎn)灰色模型進(jìn)行等距化改進(jìn)或?qū)ζ浔尘爸岛蜌埐铐?xiàng)優(yōu)化。但是在傳統(tǒng)的非等間距多點(diǎn)灰色預(yù)測模型建模過程中,發(fā)展系數(shù)A和灰作用量B是在最小二乘(LS)約束準(zhǔn)則下求解的,而LS在求解參數(shù)過程中只是對預(yù)測值進(jìn)行改正,把已知的測量值當(dāng)作是不含誤差的,因此此時(shí)的LS估計(jì)就不再是無偏的[13]。為了解決這個(gè)問題,本文引入多元整體最小二乘法(MTLS),MTLS是由整體最小二乘法(TLS)拓展得到的,是將TLS中的參數(shù)向量和觀測向量拓展為參數(shù)矩陣和觀測矩陣,在計(jì)算過程中同時(shí)顧及觀測值矩陣和系數(shù)矩陣存在的誤差。

        1 非等間距多點(diǎn)灰色變形預(yù)測模型

        1.1 模型的建立

        相關(guān)聯(lián)的多個(gè)變形監(jiān)測點(diǎn)的非等間距原始觀測序列為

        (1)

        時(shí)間間隔ΔTk=Tk-Tk-1,其中i=1,2,…,m,m為變形監(jiān)測點(diǎn)數(shù)目,將多個(gè)變形監(jiān)測點(diǎn)的觀測序列組成矩陣形式

        X(0)(T)=[X(0)(T1)X(0)(T2)X(0)(T3)…

        X(0)(Tj)…X(0)(Tn)]

        (2)

        對式(2)進(jìn)行累加生成X(1)(T),然后建立n元一階常微分方程組,其矩陣形式為

        (3)

        利用積分生成變換原理對式(3)進(jìn)行整理得到響應(yīng)函數(shù)式

        X(1)(Tk)=eA(Tk-T1)X(1)(T1)-A-1(I-eA(Tk-T1))B

        (4)

        最后還原式(4)得到非等間距多點(diǎn)預(yù)測模型

        (5)

        式中,k=1,2,…,m。

        1.2 模型精度檢驗(yàn)

        2 多元整體最小二乘及其解法

        首先將該矩陣方程改寫

        (6)

        (7)

        式中,eY=vec(EY)為列向量化后的觀測值的殘差向量;eB=vec(EB)為列向量化后的系數(shù)矩陣的殘差向量。

        利用拉格朗日乘數(shù)法對MTLS進(jìn)行求解,以式(6)為條件,構(gòu)造拉格朗日目標(biāo)函數(shù)

        eY-[Ir?(B-EB)]ξ}

        (8)

        式中,λ為拉格朗日乘常數(shù);?為克羅內(nèi)克積算子。對式(8)求一階偏導(dǎo),令其等于0,聯(lián)立方程求解,最后得到

        通過迭代,求出最終解,具體迭代步驟如下:

        3 實(shí)例分析與驗(yàn)證

        本文試驗(yàn)數(shù)據(jù)來源于文獻(xiàn)[10],選取的是某基坑北側(cè)邊坡上相互關(guān)聯(lián)的4個(gè)沉降監(jiān)測點(diǎn)A、B、C、D的觀測數(shù)據(jù),并對其進(jìn)行了整體變形分析與建模。試驗(yàn)以該4個(gè)沉降監(jiān)測點(diǎn)的13期觀測數(shù)據(jù)作為樣本進(jìn)行模型的分析與驗(yàn)證。

        3.1 建模數(shù)據(jù)為9和建模數(shù)據(jù)為10的模型預(yù)測效果比較

        根據(jù)本文給出的建模理論,首先分別建立建模數(shù)據(jù)為9和10的非等間距多點(diǎn)灰色變形預(yù)測模型,然后對這兩種模型的預(yù)測效果進(jìn)行比較,分析兩種不同建模數(shù)據(jù)情況下對非等間距多點(diǎn)灰色模型預(yù)測精度的影響。

        通過計(jì)算,得到兩種不同建模數(shù)據(jù)下的模型擬合及預(yù)測值、預(yù)測值平均相對誤差、擬合精度及殘差結(jié)果見表1和表2。

        表1 建模數(shù)據(jù)為9的模型擬合及預(yù)測結(jié)果

        表2 建模數(shù)據(jù)為10的模型擬合及預(yù)測結(jié)果

        通過對表1,表2計(jì)算結(jié)果的對比分析發(fā)現(xiàn),建模數(shù)據(jù)為9的模型擬合精度、預(yù)測精度、殘差均值都遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于建模數(shù)據(jù)為10的,說明把第10期觀測數(shù)據(jù)納入建模數(shù)據(jù)后,模型受到了較大的擾動(dòng),即新增的建模數(shù)據(jù)中含有較大誤差,再加上模型的分析是整體性的,因此個(gè)別帶有誤差數(shù)據(jù)的引入有可能對模型的預(yù)測精度造成很大的影響。針對這個(gè)問題,下節(jié)給出MTLS優(yōu)化非等間距多點(diǎn)灰色預(yù)測模型的算法。

        3.2 MTLS優(yōu)化的非等間距多點(diǎn)灰色變形預(yù)測模型算例

        試驗(yàn)引入MTLS對建模數(shù)據(jù)為10的模型進(jìn)行優(yōu)化,建立MTLS優(yōu)化的非等間距多點(diǎn)灰色變形預(yù)測模型。

        根據(jù)多元整體最小二乘理論,計(jì)算得到MTLS優(yōu)化模型的擬合及預(yù)測值、預(yù)測值平均相對誤差、擬合精度及殘差結(jié)果見表3。

        表3 基于MTLS的非等間距多點(diǎn)灰色預(yù)測模型的擬合及預(yù)測結(jié)果

        3.3 不同模型預(yù)測結(jié)果對比與分析

        對表1、表2和表3中的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比分析,得出不同模型的預(yù)測結(jié)果精度對比見表4。

        表4 不同模型的預(yù)測結(jié)果精度對比

        為了更清晰地比較不同模型的預(yù)測效果,把實(shí)測值和預(yù)測值繪制成曲線,如圖1所示。

        圖1 不同模型預(yù)測效果對比

        由表4可知,對于擾動(dòng)性較大的非等間距多點(diǎn)灰色預(yù)測模型,經(jīng)MTLS優(yōu)化后模型擬合精度達(dá)到1.85,預(yù)測值平均相對誤差均值達(dá)到4.26%,相比優(yōu)化前,其模型精度得到了很大提高。通過與建模數(shù)據(jù)為9的模型對比,MTLS優(yōu)化后模型的擬合精度雖然低了些,但其預(yù)測精度更高。此外通過圖1也可以清晰地看出MTLS優(yōu)化模型的預(yù)測曲線較另外兩種模型更接近于實(shí)測曲線。說明多元整體最小二乘法對建模數(shù)據(jù)誤差起到了很好的抑制效果,并且提高了非等間距多點(diǎn)灰色預(yù)測模型的擬合及預(yù)測精度,基于該方法優(yōu)化的模型穩(wěn)定性更好。

        4 結(jié) 語

        本文在傳統(tǒng)非等間距多點(diǎn)灰色預(yù)測模型的基礎(chǔ)上,結(jié)合實(shí)際工程中多個(gè)相關(guān)聯(lián)沉降監(jiān)測點(diǎn)的變形觀測數(shù)據(jù)。首先分別在建模數(shù)據(jù)為9和10的情況下,建立非等間距多點(diǎn)灰色預(yù)測模型,通過對兩者預(yù)測效果的對比,發(fā)現(xiàn)建模數(shù)據(jù)為10時(shí),模型的擾動(dòng)性較大,建模數(shù)據(jù)存在較大誤差;然后針對這一缺陷,本文提出了用MTLS代替?zhèn)鹘y(tǒng)的LS對非等間距多點(diǎn)灰色預(yù)測模型中的發(fā)展系數(shù)A和灰作用量B進(jìn)行求解。最后通過實(shí)例分析驗(yàn)證,該方法可以有效地抑制建模數(shù)據(jù)誤差,提高非等間距多點(diǎn)灰色預(yù)測模型的擬合及預(yù)測精度,適合在變形預(yù)測中應(yīng)用。

        雖然本文對改進(jìn)非等間距多點(diǎn)灰色預(yù)測模型的研究取得了一定的成果,但也存在不足之處。文中只與多點(diǎn)非等間距灰色預(yù)測模型作對比,而沒有與單點(diǎn)非等間距灰色模型比較,基于整體最小二乘優(yōu)化的單點(diǎn)非等間距灰色模型預(yù)測精度是否更好,本文并沒有給出證實(shí),這有待于進(jìn)一步研究。

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