四川省資陽市雁江區(qū)第二中學(xué) 肖學(xué)兵
針對一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的知識點,數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)限定其為了解的知識,但是隨著學(xué)生不斷深入地學(xué)習(xí),很多數(shù)學(xué)內(nèi)其具有的邏輯知識能夠全面提升學(xué)生的綜合素質(zhì),能夠幫助學(xué)生通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識,建立邏輯思維能力,特別是一元二次方程的根x1,x2…xn與系數(shù) a0,a1…an之間的數(shù)量關(guān)系,又因為其是韋達(dá)定理在 n=2 時的特例,所以,通過學(xué)習(xí)和掌握簡單的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,對后續(xù)學(xué)習(xí)韋達(dá)定理的幫助不言而喻。
教師在教學(xué)過程中,針對初中數(shù)學(xué)教學(xué),要不斷培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力,通過加深對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識,能夠使其更加靈活地解決許多問題,特別是初中階段的數(shù)學(xué)是對高中數(shù)學(xué)的遞進(jìn)。針對一元二次方程的學(xué)習(xí),要深入探究根與系數(shù)的關(guān)系,掌握好這個內(nèi)容,才能更好地解決相關(guān)問題,使得學(xué)生的解題思路更加靈活,能夠使得學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)知識。一元二次方程知識的部分內(nèi)容是一個非常重要的知識點,有著承上啟下的作用。因此,教師要重視教育教學(xué)工作,更應(yīng)該倍加重視“根”與“系數(shù)”之間的內(nèi)在聯(lián)系,將“根”與“系數(shù)”的知識進(jìn)行拓展,深入研究好相關(guān)知識,才能促進(jìn)學(xué)生素質(zhì)能力的提升。
在初中數(shù)學(xué)中,雖然一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系是選學(xué)的內(nèi)容,但是很多知識點頻繁出現(xiàn),很多該部分的知識點在競賽及中考題中頻繁出現(xiàn)。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中很多內(nèi)容涉及該題目,但是由于學(xué)生在解題的過程中難以理解很多隱藏條件,使得學(xué)生的解題思路閉塞,或者解題方法出現(xiàn)傳統(tǒng)模式的局限,學(xué)生的解題思路不夠明確。一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系能夠廣泛地拓寬學(xué)生的思路,根據(jù)已經(jīng)知道的一元二次方程的一個根,求出另一個根及未知系數(shù),構(gòu)造兩個實數(shù)為根的一元二次方程,不解方程而判斷兩根的性質(zhì),解決有關(guān)綜合問題等。
研究一元一次方程中根與系數(shù)的關(guān)系,如一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為 x1,x2,那么,通過對該公式的了解以及一元二次方程根的判別式,逐步構(gòu)造一個一元二次方程,注意討論二次項的系數(shù),本文就列舉了以下作為實際應(yīng)用案例,例如:已知實數(shù) x、y、z 滿足(x-y)2-4(y-z)(z-x)=0,求證:x+y=2z 。該題的解析如下:根據(jù)題設(shè)內(nèi)容,如(x-y)2-4(y-z)(z-x)=0 的左邊,再與一元二次方程根的判別式 =b2-4ac比較,可構(gòu)造一個關(guān)于 m 的一元二次方程:(y-z)m2+(x-y)m+(z-x)=0,該方程的 =b2-4ac=(x-y)2-4(y-z)(z-x)=0,所以這個一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根。當(dāng)y-z≠0 時,因為一元二次方程的各項系數(shù)之和為零,即(y-z)+(x-y)+(z-x)=0,所以,一元二次方程(y-z)m2+(x-y)m+(z-x)=0 的根 m1= m2=1,再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知:∴x+y=2z ,運算分析后當(dāng)y-z=0 時,把 y=z 代入(x-y)2-4(y-z)(z-x)=0 得 x=y, ∴ x+y=2z 。
本題的解題方法是根據(jù)題設(shè)條件和一元二次方程根的判別式=b2-4ac,構(gòu)造對應(yīng)的一元二次方程:(y-z)m2+(x-y)m+(z-x)=0; 第一個解是當(dāng)一元二次方程的二次項系數(shù) y-z=0 時,把 y=z 代入(x-y)2-4(y-z)(z-x)=0 得:x=y,∴ x=y=z, ∴ x+y=2z 。第二個解是當(dāng)一元二次方程的二次項系數(shù) y-z≠0 時,因為一元二次方程的各項系數(shù)之和為零,即(y-z)+(x-y)+(z-x)=0,所以,一元二次方程(y-z)m2+(x-y)m+(z-x)=0 必有一根為 1,又因為這個一元二次方程根的判別式 =b2-4ac= (x-y)2-4(y-z)(z-x)=0,所以這個一元二次方程的根 m1= m2=1,再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知m1m2=1,即
這類問題中的題設(shè)條件與一元二次方程根的判別式 =b2-4ac 的形式相同,解答時,構(gòu)造出對應(yīng)的一元二次方程,但需要討論二次項的系數(shù)。
綜上所述,可以看出一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的教學(xué)重點,需要學(xué)生在不斷地應(yīng)用過程中靈活掌握,注重解題思路的靈活性,注重針對該部分知識內(nèi)容的學(xué)習(xí),從而培養(yǎng)學(xué)生全面的邏輯思維能力。教師在此過程中要注重考慮學(xué)生的主體性,積極調(diào)動學(xué)生參與解題,以提高學(xué) 生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。希望教育工作者引起對該課程內(nèi)容的重視,不斷對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行深入的探討和研究,從而促進(jìn)課程改革的順利進(jìn)行。
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