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        立足本質(zhì) 引導(dǎo)探究

        2018-11-29 07:24:48黃江龍
        福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2018年5期
        關(guān)鍵詞:極線拋物線性質(zhì)

        黃江龍

        《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》倡導(dǎo)探究性課題學(xué)習(xí),要求關(guān)注引導(dǎo)學(xué)生圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問題,觀察分析,提出問題,自主研究,探究適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律,圓錐曲線歷史悠久,知識(shí)豐富,幾乎每一個(gè)性質(zhì)都有豐富的背景,研究方法靈活多樣,研究難度分布廣泛,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)能力效果顯著,

        高考試題中的解析幾何題都是命題專家精心設(shè)計(jì)的杰作,具有很強(qiáng)的教學(xué)指導(dǎo)性和方向性,同時(shí)又有很強(qiáng)的學(xué)習(xí)研究性,用好高考試題,將它用于課堂上的探究性教學(xué),能充分提高課堂教學(xué)的有效性,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,以下是引導(dǎo)學(xué)生從2016年新課標(biāo)文科數(shù)學(xué)全國I卷第20題出發(fā),探究和拓展拋物線的一個(gè)性質(zhì),努力揭示問題本質(zhì)的一次探究式問題教學(xué),

        題目在直角坐標(biāo)系xOy中,直線,l:y=t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C:y2= 2px(p>0)于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N,連結(jié)ON并延長交C于點(diǎn)H.(如圖1)

        (I)求|OH|/|ON|;

        (Ⅱ)除H以外,直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)?請(qǐng)說明理由.

        探究1探究逆命題的真假

        師這個(gè)題目條件簡潔,結(jié)論漂亮,而且適用于任何情況,這樣的問題很有研究的價(jià)值,我們今天一起對(duì)它來進(jìn)行改編,先看老師的,不知道它的逆命題是否成立?請(qǐng)看下列問題:

        探究2動(dòng)動(dòng)定點(diǎn)弦

        探究3再探定直線

        總結(jié)和反思探究至此,似乎完美,但這樣的一對(duì)點(diǎn)和直線,配合起來,可以變化出這么多且漂亮的命題,筆者意猶未盡,想知道它們是什么?于是查閱資料,原來早有說法:這對(duì)點(diǎn)和直線叫拋物線的極點(diǎn)和極線,不僅拋物線有,其他圓錐曲線也有,所有二次曲線都有,并且它們都有很多類似的漂亮的性質(zhì).2016年新課標(biāo)全國I卷文科20題中,原點(diǎn)和y軸就是拋物線y2=2PX的一對(duì)極點(diǎn)和極線.

        定義對(duì)于二次曲線C:AX2+ By2+Cx+Dy+E=o和一點(diǎn)P(x0,y0)(其中A2 +B2≠0,P不在曲線C的中心或漸近線上),則稱直線L:Ax。x+ By。y+C.(xo +x)/2+D.(Yo+Y)/2+E:0是點(diǎn)P關(guān)于曲線C的極線.(特殊地,焦點(diǎn)和準(zhǔn)線是曲線的一對(duì)極點(diǎn)和極線)

        性質(zhì)1 (設(shè)焦點(diǎn)所在區(qū)域?yàn)榍€的內(nèi)部)

        ①若極點(diǎn)P在曲線C上,則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線L是曲線C在P點(diǎn)的切線;(圖3)

        ②若極點(diǎn)P在曲線C內(nèi),則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線L是與以P為中點(diǎn)的弦平行;(圖4)

        ③若極點(diǎn)P在曲線C外,則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線L是與過P點(diǎn)作曲線C的兩條切線的切點(diǎn)連線.(圖5)

        性質(zhì)2設(shè)點(diǎn)P和直線L是關(guān)于曲線C的一對(duì)極點(diǎn)和極線,則

        ①若C為有心曲線,0是C的中心,直線OP交C于R,交L于Q,則|OP||OQ|=|OR|2.(如圖6)

        ②若C為無心曲線,過點(diǎn)P作對(duì)稱軸的平行線交C于R,交L于Q,則|PR|=|QR|.(如圖7)

        極點(diǎn)與極線是射影幾何的重要概念,雖然不是《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》規(guī)定的學(xué)習(xí)內(nèi)容,也不屬于高考考查的范圍,但由于極點(diǎn)與極線是圓錐曲線的一種重要特征,以它為背景的命制的題目,高屋建瓴,不僅題目新穎,難度可控,區(qū)分度高,對(duì)有選拔要求的高考來說,是一個(gè)不錯(cuò)的選擇,自然是高考中??汲P碌拿}背景,作為一名中學(xué)數(shù)學(xué)老師,我們應(yīng)當(dāng)了解一些相關(guān)的高等數(shù)學(xué)知識(shí)與方法,才能“識(shí)破”試題中蘊(yùn)含的知識(shí)背景,進(jìn)而在更為一般的層面上把握試題的求解策略.

        參考文獻(xiàn)

        [1]周興和.高等幾何[M].科學(xué)出版社,2003.9

        [2]李風(fēng)華.圓錐曲線的極點(diǎn)與極線及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通訊,2012(4)下半月

        [3]劉景鵬,張向農(nóng).2016年高考數(shù)學(xué)全國卷I文科第20賞析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2016 (10)上句

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