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        一道浙江高考理科數(shù)學(xué)題的高等數(shù)學(xué)背景探究

        2018-11-29 07:24:48謝冠瀚
        福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2018年5期
        關(guān)鍵詞:背景

        謝冠瀚

        最近拜讀文獻(xiàn)[1],受益匪淺,作者用了8種方法求解一道2015年浙江高考理科數(shù)學(xué)填空題,整個過程行云流水,一氣呵成,讀后深受啟發(fā),但是,筆者覺得這8種方法都沒有指出此題深刻的背景知識,以下筆者給出此題的一個高等數(shù)學(xué)的背景,僅供同行交流探討,我們先回顧該考題:

        題目已知e1,e2是空間單位向量,e1·e2=1/2,若空間向量b滿足b·e1=2,b·e2=5/2,且對任意的x,y∈R,|b-(xe1+ ye2)|>|b-(xoe1+y0e2)|=|(xo,Yo∈R),則xo=____,Yo=____,|b|____.

        正如文獻(xiàn)[1]指出,這是一道向量和代數(shù)的綜合題,具有一定的難度,但是我們從題目條件中出現(xiàn)的兩個向量差的絕對值|b- (xe1+ ye2)|可以看出:它表示兩個向量(一個是定向量b,另一個是動向量xe1+ ye2)的“距離”,而題目中的“1”表示它們的距離為1.利用高等數(shù)學(xué)的知識,從已知條件聯(lián)想到這個問題的本質(zhì)就是希爾伯特空間的逼近定理,事實(shí)上,利用這個逼近定理求解此題,顯得異常簡單,為此,先回憶一下希爾伯特空間的逼近定理,

        定理1 設(shè)X為希爾伯特空間,且M為X的閉線性子空間,則任給xo∈X,存在唯一的Yo∈M,使得p(xo, M)=|xo-Yo|,且xo -Yo⊥M.其中,p(xo, M)表示點(diǎn)xo到M的距離,|xo- Yo|表示xo和Yo的距離.

        注意到R3是一個特殊的希爾伯特空間,而xoy平面是R3的一個閉線性子空間,因此定理1有如下的特殊情形:

        定理2 設(shè)ao是R3中的一個始點(diǎn)在原點(diǎn)的非零向量,且ao不在xoy平面上,則存在xoy平面上唯一一個向量bo,使得ao的終點(diǎn)到xoy平面的距離等于|ao-bo|,且有(a0 - bo)⊥xoy平面.

        下面用希爾伯特空間的逼近定理求解上述高考題.

        評注 希爾伯特空間中的逼近定理在高中數(shù)學(xué)并不陌生,例如我們熟悉的點(diǎn)到直線的距離公式其實(shí)也是希爾伯特空間的逼近問題之一,

        參考文獻(xiàn)

        [1]董泉發(fā).一道高考題的多種解法及其背景研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2016,1(6):36-37

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