倪 明 任念兵

(華東師范大學(xué)出版社 200062) (華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué) 201203)

這些年，在俄羅斯的書店里，一直有一本初版于1892年、有125年歷史的幾何教科書．這本書的最新一次的再版(如圖所示)，由莫斯科的“ФИЗМАТЛИТ”于2015年出版．俄羅斯教育科學(xué)院通訊院士、莫斯科大學(xué)師范教育系主任羅左夫(Н. Розов)教授在前言中有一個(gè)介紹．他用“幾何學(xué)——?dú)W幾里得與基謝廖夫”作為前言標(biāo)題，在前言中指出，在基謝廖夫誕辰150周年時(shí)，俄羅斯科學(xué)和教育學(xué)會(huì)專門進(jìn)行了紀(jì)念活動(dòng)，并在基謝廖夫的出生地奧廖爾省塑了像，在奧廖爾大學(xué)建造了俄羅斯中學(xué)教科書陳列館[1]．由此可見(jiàn)，基謝廖夫在俄羅斯的地位，對(duì)教科書的貢獻(xiàn)．

一本幾何教科書，從初版至今，已經(jīng)隔了那么久了，為什么還要再版呢？這個(gè)問(wèn)題，也許很值得我們思考．

1 基謝廖夫其人

對(duì)我國(guó)現(xiàn)在在崗的數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)，基謝廖夫這個(gè)名字是很陌生的．他的全名是安德列·彼得洛維奇·基謝廖夫(Андрей Петрович Киселёв，1852—1940)．基謝廖夫，1852年12月12日生于奧廖爾省．他家境貧苦，中學(xué)畢業(yè)之后，他依靠當(dāng)家庭教師及變賣在中學(xué)讀書獲得的金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)碌氖杖敫氨说帽とド钤欤既氡说帽ご髮W(xué)數(shù)學(xué)物理系后，受教于許多著名數(shù)學(xué)教授，比如：切比雪夫(П.Л.Чебышёв)、科爾金(А.Н.Коркин)、索莫夫(О.Н.Сомов)、索霍茨基(Ю.В.Сохоцкий)、左洛達(dá)列夫(Е.Н.Золотарев)等．也聽(tīng)過(guò)化學(xué)大家門捷列夫(Д.И.Менделеев)的講課．在大學(xué)一、二年級(jí)時(shí)，他仍兼做家教，以維持他的學(xué)習(xí)與生活．[2]

基謝廖夫有一套獨(dú)特的學(xué)習(xí)方法，只花了三年半的時(shí)間就學(xué)完了大學(xué)所有的課程，并取得副博士學(xué)位．作為名牌大學(xué)的優(yōu)秀畢業(yè)生，他并沒(méi)有在大學(xué)或研究所從事數(shù)學(xué)的教學(xué)和科研，而是來(lái)到沃龍涅什實(shí)業(yè)學(xué)校，擔(dān)任數(shù)學(xué)、力學(xué)和制圖等課程的教師，同時(shí)進(jìn)行學(xué)科教學(xué)法的研究．

基謝廖夫積極參加沃龍涅什的各項(xiàng)進(jìn)步的社會(huì)活動(dòng)，花了不少的時(shí)間為公眾做天文學(xué)和物理學(xué)方面的科普講座．1892年，他的一個(gè)《用光譜分析方法研究太陽(yáng)和其他天體的組織》的報(bào)告引起很大反響，當(dāng)?shù)氐娜請(qǐng)?bào)上曾有詳細(xì)報(bào)道．基謝廖夫由此而出名，但激怒了他的頂頭上司．他資助貧困學(xué)生，并組織一些集體活動(dòng)，被認(rèn)為是政治上的可疑人物，他的上司決定調(diào)他去庫(kù)爾斯克市．基謝廖夫堅(jiān)持留在已經(jīng)工作了15年的沃龍涅什，沒(méi)有服從調(diào)動(dòng)．不過(guò)，他也無(wú)法繼續(xù)呆在教育部門下屬的學(xué)校了，只能轉(zhuǎn)到軍事部門主管的沃龍涅什中等武備學(xué)校，擔(dān)任數(shù)學(xué)和物理兩科的教師．20世紀(jì)第二年，基謝廖夫只能離開(kāi)工作了25年的沃龍涅什市，停止了教學(xué)工作．就在這個(gè)時(shí)候，他作出了這樣的決定，把自己的全部精力投入到數(shù)學(xué)教科書的編寫中去．[2]

在基謝廖夫的一生中，最重要、最有影響的工作是數(shù)學(xué)教科書的編寫和修訂．“他是中學(xué)數(shù)學(xué)三個(gè)分支——算術(shù)、代數(shù)、幾何非常成功的教科書作者(史無(wú)前例)．”[1]《中學(xué)算術(shù)教程》是基謝廖夫的處女作，出版于1884年，數(shù)學(xué)教育家波普魯任科(М. Г. Попруженко)給予很高的評(píng)價(jià)，并作了推薦．四年后，即1888年，他的第二部著作《初等代數(shù)》第一卷出版，時(shí)隔半年第二卷出版．1892年，這位沃龍涅什中等武備學(xué)校的數(shù)學(xué)兼物理教師準(zhǔn)備新作——《初等幾何》．之后，他出版的教科書與教學(xué)讀物還有：《代數(shù)補(bǔ)充講義》(實(shí)業(yè)學(xué)校七年級(jí)課本，1893)、《城市中學(xué)算術(shù)簡(jiǎn)明課本》(1895)、《女子中學(xué)和其他學(xué)校適用的代數(shù)簡(jiǎn)明課本》(1896)、《中學(xué)基礎(chǔ)物理》(1902)、《導(dǎo)數(shù)初級(jí)教程》(1908)、《初等代數(shù)研究中的某些函數(shù)圖象》(1913)、《通常用極限來(lái)解決的初等幾何問(wèn)題》(1916)、《代數(shù)與分析初步》(1925)、《初等代數(shù)習(xí)題集》(1929)．

由于基謝廖夫在教科書的編纂方面作出了杰出的貢獻(xiàn)，1933年12月26日，蘇聯(lián)中央執(zhí)行委員會(huì)主席團(tuán)作出決議：“安德利·彼得洛維奇·基謝廖夫是最年老的數(shù)學(xué)教師和教科書的著作者，他所著的教科書在數(shù)十年期間一直是俄羅斯學(xué)校的主要課本．為了獎(jiǎng)勵(lì)他富有成果的教育活動(dòng)，授予他勞動(dòng)紅旗勛章．”[2]這個(gè)榮譽(yù)，相對(duì)于我國(guó)的“全國(guó)勞動(dòng)模范”稱號(hào)．

2 基謝廖夫的幾何教科書

在基謝廖夫所編寫的教科書中，影響最大的要數(shù)《初等幾何》教科書．它初版于1892年，之后兩三年更新一次，常修常新．1927年，修訂后的《初等幾何》，明顯地改變了它的風(fēng)格，補(bǔ)充了幾何基礎(chǔ)方面最新的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，引入了投影作圖的原理．在簡(jiǎn)短的敘述中給出了圓錐曲線的知識(shí)．在連續(xù)性公理的基礎(chǔ)上對(duì)圓周長(zhǎng)和面積作了新的解釋．在立體幾何中編入了卡瓦列里定理，幾何習(xí)題中補(bǔ)充了應(yīng)用的內(nèi)容．到1930年，已經(jīng)有40版，直到1960年，它一直是學(xué)校最基本的幾何教科書，1976年的畢業(yè)生是使用基謝廖夫幾何教科書的最后一屆．[3]

一本教科書，有如此長(zhǎng)的生命力，它究竟有何特點(diǎn)呢？作者在自己的陳述中介紹，教科書努力做到：(1)數(shù)學(xué)概念定理的正確性；(2)討論簡(jiǎn)單；(3)敘述簡(jiǎn)明扼要；(4)在處理內(nèi)容的一般與特殊、具體與抽象上做到恰如其分，不多不少；(5)成功地安排了整個(gè)內(nèi)容，配有相應(yīng)的插圖，在書中加了一些著重線，并標(biāo)有音調(diào)和重音，使得書面語(yǔ)言接近于口頭語(yǔ)言．

切爾尼亞什娃(Л.Ю.Черняшева)等的《蘇聯(lián)的幾何教學(xué)》中這樣評(píng)價(jià)基謝廖夫及其他的幾何教科書：“基謝廖夫的幾何教科書的特點(diǎn)在于，就他所處的時(shí)代而言，它的內(nèi)容描述就有較高的科學(xué)水平，它的結(jié)構(gòu)完美而有條理，這保證了對(duì)這個(gè)課程的完好理解．當(dāng)然，這個(gè)特點(diǎn)是由作者的個(gè)人品質(zhì)所決定的．基謝廖夫具有當(dāng)時(shí)的最新的數(shù)學(xué)知識(shí)，并且他始終關(guān)注著新的數(shù)學(xué)思想和新的教育思想．他的孜孜不倦的工作能力是同他作為一個(gè)學(xué)校數(shù)學(xué)教師的廣泛經(jīng)驗(yàn)分不開(kāi)的．基謝廖夫從不拒絕新的趨勢(shì)．這樣，隨著時(shí)間的推移，他幾乎在他的書中利用了隨后的全部革新成果(嚴(yán)格的和半嚴(yán)格的公理體系，運(yùn)用幾何變換作為證明定理的主要工具，代數(shù)的不同形式的使用，等等)．結(jié)果，他的幾何課程體現(xiàn)并成為其后所有著作的標(biāo)準(zhǔn)和不變的參考點(diǎn)．”[3]

我國(guó)在上世紀(jì)50年代，曾全面學(xué)習(xí)蘇聯(lián)，教育更是如此．教育思想主要是學(xué)習(xí)凱洛夫的理論，學(xué)校教育方面涉及到課程體系、教科書等．早在1949年，東北人民政府教育部已陸續(xù)編譯了基謝廖夫《算術(shù)》、《代數(shù)》、《平面幾何》等教材，1950年起東北各地開(kāi)始試用．1952年，經(jīng)中央人民政府教育部指定，基謝廖夫教材的東北譯本在全國(guó)范圍內(nèi)使用．

人民教育出版社在《平面幾何》的(見(jiàn)上圖)“出版者的話”中評(píng)價(jià)：“蘇聯(lián)教科書的優(yōu)點(diǎn)是內(nèi)容精簡(jiǎn)，理論與實(shí)際結(jié)合，教材的排列能兼顧科學(xué)的體系與教學(xué)的原則．東北各地試用過(guò)這一套編譯的課本以后，凡能體會(huì)這些優(yōu)點(diǎn)的教師，教學(xué)上都有很好的成績(jī)．”不過(guò)，這本編譯本只是俄文版的部分內(nèi)容，只有直線和圓兩個(gè)部分(差不多是原書的一半)．

在20世紀(jì)初年，國(guó)際上最有影響力的數(shù)學(xué)教育家是F.克萊因，他也是首屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)主席，著名的幾何學(xué)家．他關(guān)于數(shù)學(xué)教育改革的觀點(diǎn)尤其有影響力．克萊因強(qiáng)調(diào)用近代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)改造傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，用變換的觀點(diǎn)改造傳統(tǒng)的幾何內(nèi)容．這些主張，在基謝廖夫的教科書中得以實(shí)現(xiàn)，說(shuō)明基謝廖夫的教科書體現(xiàn)了先進(jìn)的教育思想，體現(xiàn)了教育改革的潮流．

由于國(guó)際上“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”的影響，蘇聯(lián)學(xué)制的調(diào)整，使得基謝廖夫的教科書有明顯的不適應(yīng)．取而代之的是科學(xué)院院士柯?tīng)柲炅_夫(А. Н. Колмогоров)和波哥列洛夫(А. В. Погорелов)的兩套幾何教科書．前者是一位杰出的蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家、改革者，在他的領(lǐng)導(dǎo)下，蘇聯(lián)建立了一套基于幾何變換的全新的課程體系．由于改革力度過(guò)大，難度過(guò)高，這套課程體系使用時(shí)間不長(zhǎng)．后者的工作以基謝廖夫的傳統(tǒng)課程為起點(diǎn)，在更高層次上加以嚴(yán)格與完善，曾于1988年在全蘇普通中學(xué)數(shù)學(xué)教科書評(píng)比中獲獎(jiǎng)，成為上世紀(jì)80年代以后最暢銷的幾何教科書．俄羅斯聯(lián)邦教育與科學(xué)部2007年1月11日公布的法令中，7-9年級(jí)推薦的幾何教科書共有4種，10-11年級(jí)推薦的基礎(chǔ)水平和數(shù)學(xué)專門化水平合用的幾何學(xué)教科書也有4種，波哥列洛夫的幾何教科書均在其中，是使用面較廣的一種．從莫斯科教育出版社網(wǎng)站上可以看到，波哥列洛夫的幾何教科書還在使用．

3 基謝廖夫幾何教科書給我們的啟示

新課程改革后，初中平面幾何的內(nèi)容分散于各個(gè)年級(jí)的教材中，知識(shí)體系顯得“支離破碎”，其中所蘊(yùn)藏的思想和方法體系就不易凸顯出來(lái).用于培養(yǎng)邏輯推理能力的平面幾何內(nèi)容，要以精簡(jiǎn)實(shí)用為原則，兼顧學(xué)生的學(xué)習(xí)可能性、后續(xù)學(xué)習(xí)的必要性．基謝廖夫的幾何教科書對(duì)我們的平面幾何教材體系的繼承與發(fā)展有很多啟示.

基謝廖夫的幾何教科書是對(duì)傳統(tǒng)的歐幾里得幾何的系統(tǒng)介紹．在平面幾何部分，它首先對(duì)一些最簡(jiǎn)單的幾何物體加以描述，然后對(duì)這些物體的性質(zhì)給予比較清楚的定義.通過(guò)一個(gè)直觀上容易理解的迭合操作，三角形全等的概念被建立了，并為進(jìn)一步的研究奠基，三角形的全等被用作課程初始階段證明定理的主要工具.接下來(lái)，介紹了三角形、平行線、四邊形、圓、相似、三角學(xué)初步、正多邊形，最后是面積等度量.

借鑒基謝廖夫的幾何教科書編寫思路，在平面幾何教材編寫中首要的原則應(yīng)該是內(nèi)容的完整性，比如三角形的內(nèi)容要包括全等、相似、等腰三角形和直角三角形等，定性性質(zhì)、定量關(guān)系等.在不增加學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的要求下，我們必須要對(duì)平面幾何內(nèi)容刪繁就簡(jiǎn)、突出綜合幾何的數(shù)學(xué)味道，系統(tǒng)地梳理相應(yīng)的教材內(nèi)容.

3.1 宏觀上把握核心問(wèn)題

要想在平面幾何教學(xué)中發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，就需要以“大觀點(diǎn)”來(lái)重新梳理平面幾何知識(shí)內(nèi)容，圍繞著某個(gè)邏輯主線來(lái)組織數(shù)學(xué)課程和教材.基謝廖夫的幾何教科書以三角形全等作為證明定理的主要工具，項(xiàng)武義先生曾提出以等腰三角形作為平面幾何教材編寫的切入點(diǎn)，這是因?yàn)椋汉暧^上看，定性平面幾何所要研究的主題是“全等形”和“平行性”.在本質(zhì)上，前者是平面對(duì)于任給直線的反射對(duì)稱性的具體反映，而后者則是三角形的內(nèi)角和恒等于平角所表達(dá)的“平直性”.[5]也就是說(shuō)，“平直性”和“對(duì)稱性”是平面幾何研究的兩大核心問(wèn)題.

當(dāng)我們梳理初中數(shù)學(xué)教材中平面幾何部分的內(nèi)容時(shí)，不難發(fā)現(xiàn)“相交線與平行線”、“全等三角形”、“軸對(duì)稱”三章即是對(duì)這兩大核心問(wèn)題的具體研究.也正是基于平直性與對(duì)稱性在幾何研究中的地位，無(wú)論是初中平面幾何還是高中的平面解析幾何和立體幾何都“不厭其煩”地討論以平直性和對(duì)稱性為背景的問(wèn)題，比如“將軍飲馬”問(wèn)題這個(gè)初中平面幾何中“老調(diào)”，在高中解析幾何中會(huì)以各種變式的形式“重彈”.

在平面幾何教學(xué)實(shí)施中，從宏觀上立足于核心問(wèn)題(平直性、對(duì)稱性)把握數(shù)學(xué)研究的邏輯主線，可以避免糾纏于“細(xì)枝末節(jié)”，幫助學(xué)生掌握問(wèn)題的核心，從而提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效率.在平面幾何教材編寫中，要始終突出“平直性”和“對(duì)稱性”的核心地位，無(wú)論是章節(jié)的設(shè)置還是例習(xí)題的配備，都要貫穿這條邏輯主線.

3.2 中觀上把握研究套路

傅種孫先生提出幾何課程的根本目標(biāo)是“何由以知其所以然”，并提出“以方法為經(jīng)，以教材為緯”，進(jìn)而“啟發(fā)學(xué)者，示以思維之道”的教材編寫思路，正是幾何教材改革的基本指導(dǎo)思想.[6]

平面幾何的總體思路是：先要把物體抽象成幾何基本概念和基本性質(zhì)，再用歸納推理、演繹推理達(dá)到對(duì)幾何性質(zhì)的有效掌握，然后用這些概念和性質(zhì)解決各種問(wèn)題.基謝廖夫的幾何教科書很注重內(nèi)容的完整性，三角形、四邊形、圓等都按照某個(gè)總體思路進(jìn)行了系統(tǒng)地研究.

精簡(jiǎn)平面幾何內(nèi)容，可以在中觀層面上引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)概念的發(fā)生發(fā)展過(guò)程為載體，經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)思考過(guò)程，從而掌握研究一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象的“基本套路”，具體包括：明確研究的問(wèn)題，獲得研究的對(duì)象，確定研究的內(nèi)容，選取研究的方法，建構(gòu)研究的過(guò)程，獲得研究結(jié)論等等．[7]也就是說(shuō)，在抽象幾何概念、研究幾何性質(zhì)時(shí)，要加強(qiáng)數(shù)學(xué)基本思想的引領(lǐng)、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，并要把歸納幾何要素、發(fā)現(xiàn)幾何關(guān)系、提出幾何性質(zhì)等作為幾何教學(xué)的關(guān)鍵任務(wù)．[8]

課程改革教材精簡(jiǎn)后的平面幾何，主要學(xué)習(xí)三角形、四邊形、圓等基本圖形，其中，三角形和圓是兩個(gè)最重要的研究對(duì)象.

比如“三角形”的知識(shí)分散于現(xiàn)有平面幾何教材的“三角形”、“全等三角形”、“軸對(duì)稱”、“勾股定理”、“相似”等章節(jié)中，在教材編寫中可以整合成三角形研究的基本套路：

(1)獲得研究對(duì)象：定義“三角形”，明確它的構(gòu)成要素；用符號(hào)表示三角形及其構(gòu)成要素；以要素為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)三角形分類．

(2)研究基本性質(zhì)：得到“兩邊之和大于第三邊”，“內(nèi)角和等于180°”，“大角對(duì)大邊”，等，即研究三角形的要素之間的關(guān)系.

(3)研究相關(guān)性質(zhì)：諸如“外角等于不相鄰兩內(nèi)角之和”，“三條中線(高、角平分線)交于一點(diǎn)”等，即研究高、中線、角平分線、外角等相關(guān)要素及其關(guān)系.

(4)研究特殊三角形：等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)與判定．

(5)研究?jī)蓚€(gè)三角形的關(guān)系：三角形的全等、相似．

這種按“背景——定義、表示——?jiǎng)澐?以要素為標(biāo)準(zhǔn))——性質(zhì)(要素、相關(guān)要素的相互關(guān)系)——特例(性質(zhì)和判定)——聯(lián)系(應(yīng)用)”的路徑，從定性(相等、不等、對(duì)稱性等)到定量(面積、勾股定理、相似、解三角形等)的研究套路，體現(xiàn)了系統(tǒng)思維方式的結(jié)構(gòu)性，因而在數(shù)學(xué)研究中具有普適性.

雖然在面對(duì)具體對(duì)象時(shí)，研究的過(guò)程略有不同，但研究的方法和思路是大致相同的，掌握了研究數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路，就能對(duì)零散的數(shù)學(xué)內(nèi)容形成完整的結(jié)構(gòu)性認(rèn)識(shí)，做到“心中有數(shù)”“成竹在胸”.

3.3 微觀上把握知識(shí)本質(zhì)

在平面幾何教材的編寫中，微觀上要處理好知識(shí)本質(zhì)的凸顯和知識(shí)之間的聯(lián)系.

基謝廖夫的幾何教科書在具體問(wèn)題的本質(zhì)把握上相當(dāng)?shù)轿?，要言不?比如“三角形中的內(nèi)角和”問(wèn)題，書中最后總結(jié)了問(wèn)題的本質(zhì)是“多邊形的外角和為360°”.這些細(xì)節(jié)是值得借鑒的.又如，綜合幾何的特點(diǎn)是，除了尺規(guī)而不借助其他工具，通過(guò)演繹推理得出結(jié)論，因此尺規(guī)作圖在描述“運(yùn)動(dòng)”、直觀“操作”、問(wèn)題證明等方面具有不可替代的價(jià)值.基謝廖夫的幾何教科書特別注重尺規(guī)作圖，無(wú)獨(dú)有偶，著名數(shù)學(xué)家波利亞在其名著《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》開(kāi)篇章節(jié)就介紹尺規(guī)作圖，這也從一個(gè)側(cè)面說(shuō)明了尺規(guī)作圖在平面幾何研究中的重要性.

另外，在平面幾何教材編寫中，如何凸顯初高中銜接也是需要關(guān)注的問(wèn)題.在2017版高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，不再有平面幾何選修課程，因此平面幾何的教學(xué)任務(wù)全落在初中學(xué)段.然而，高中應(yīng)用平面幾何的地方頗多，需要有抓手(關(guān)鍵點(diǎn))來(lái)處理知識(shí)(或方法)的銜接問(wèn)題.比如平面向量的加法反映的是平行四邊形的性質(zhì)，三角恒等式反映了圓的對(duì)稱性：誘導(dǎo)公式、和差化積公式等反映的是圓的反射對(duì)稱性，和(差)角公式則反映了圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性.[5]

本文討論的是基于蘇俄傳統(tǒng)的教科書．教科書本身在不斷發(fā)展、不斷進(jìn)步，這是不爭(zhēng)的事實(shí)．我們?cè)诰帉懡炭茣倪^(guò)程中，在考慮學(xué)科發(fā)展、時(shí)代變化的同時(shí)，應(yīng)該更好地能把握好學(xué)科本身的特點(diǎn)、學(xué)科固有的特性是特別重要的．也許這樣，我們的教科書改革會(huì)少一些反復(fù)．

在與羅左夫教授的交流中得知，俄羅斯課程標(biāo)準(zhǔn)的制定是基于當(dāng)前學(xué)校教學(xué)的實(shí)際，尤其是與現(xiàn)行教科書的吻合，也就是說(shuō)，制定了新課標(biāo)之后，現(xiàn)成的教科書照樣可以使用．好比是，我們?cè)谧龀鞘幸?guī)劃的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)要考慮現(xiàn)有建筑物的存在．因此，目前俄羅斯聯(lián)邦教育與科學(xué)部發(fā)布的許可使用和推薦使用的教科書中，不少還是蘇聯(lián)時(shí)期的獲獎(jiǎng)教科書．

此外，老早的基謝廖夫、之后波哥列洛夫和沙雷金(И. Ф. Шарыгин)和現(xiàn)在的巴什馬科夫(М. И. Башмаков)等都是教科書的獨(dú)立作者，而在我國(guó)，現(xiàn)在很少看到有獨(dú)立編著教科書的．編寫團(tuán)隊(duì)的組織方式，孰好孰壞，我們也可以想想．

本文成稿之際，2018年IMO比賽結(jié)果出爐，我國(guó)六位參賽選手再一次因?yàn)閹缀紊系牟罹酂o(wú)緣總分第一．中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)普及工作委員會(huì)及數(shù)學(xué)奧林匹克委員會(huì)的吳建平先生認(rèn)為“如果把一個(gè)國(guó)家中學(xué)生的數(shù)學(xué)整體水平看作一座山的話，那么這六位選手應(yīng)該處在接近山頂?shù)奈恢?，它?huì)反映出山體的情形．如果整個(gè)山體降低了高度，山頂自然也不那么高了！”決定中國(guó)學(xué)生學(xué)業(yè)水平的關(guān)鍵是課程，在IMO競(jìng)賽中美國(guó)以前在幾何方面遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如我們，而隨著我國(guó)初中平面幾何課程拼命降低難度、幾何課程體系被肢解得支離破碎，人家反而加大力度，我們被別人超過(guò)也就在情理之中了．比較中俄兩國(guó)選手在IMO幾何題上的得分情況，也許是可以比較的一件有意義的事情．在1992-2018年這26年中，如果分成前13年和后13年，那么這個(gè)劃分接近于我們的課改前和課改后．前13年，中國(guó)隊(duì)的幾何成績(jī)總得分為781分，比俄羅斯高出54分；后13年，中國(guó)隊(duì)的幾何成績(jī)總得分為742分，比俄羅斯只高出21分．將各自的幾何成績(jī)相對(duì)于總成績(jī)的占比，前13年中國(guó)隊(duì)平均比俄羅斯只低0.49%；而后13年中國(guó)隊(duì)平均比俄羅斯要低2.42%．可以說(shuō)，幾何在數(shù)學(xué)中的位置，我國(guó)相對(duì)于俄羅斯來(lái)說(shuō)，差距有拉大的體現(xiàn)．

也許我們的中學(xué)幾何課程真的需要深入研究，到了再次借鑒他國(guó)經(jīng)驗(yàn)、取長(zhǎng)補(bǔ)短的時(shí)候.