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        淺析恒成立問題常用的方法

        2018-11-28 03:46:28張勝勇
        新作文(教育教學(xué)研究) 2018年8期
        關(guān)鍵詞:解題利用

        張勝勇

        (四川省巴中棠湖外語實(shí)驗(yàn)學(xué)校 四川 巴中棠 636600)

        1 變量轉(zhuǎn)化法

        恒成立問題與一次函數(shù)聯(lián)系:構(gòu)造一次函數(shù) 利用一次函數(shù)的圖象或單調(diào)性來解決,對于一次函數(shù)f(x)=kx+b(k≠0),x∈[m,n]有:

        例1若不等式2x-1>mx2-m對滿足-2≤m≤2的所有m都成立,求x的范 圍。

        解析:將不等式化為:m(x2-1)-(2x-1)<0,構(gòu)造一次型函數(shù):g(m)=(x2-1)m-(2x-1)原命題等價于對滿足-2≤m≤2的m,使g(m)<0恒成立。

        小結(jié):解題的關(guān)鍵是將看來是解關(guān)于x的不等式問題轉(zhuǎn)化為以m為變量,x為參數(shù)的一次函數(shù)恒成立問題,再利用一次函數(shù)的圖象或單調(diào)性解題。

        構(gòu)造二次函數(shù)

        利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及二次方程根的分布來解決。

        (1)當(dāng)a>0時,若f(x)>0在[α,β]上恒成立?

        例2:若不等式x2-2mx+2m+1>0對滿足0≤x≤1的所有實(shí)數(shù)x都成立,求m的取值范圍。

        解:設(shè)f(x)=x2-2mx+2m+1

        本題等價于函數(shù)f(x)在0≤x≤1上的最小值大于0,求m的取值范圍。

        (1)當(dāng)m<0時,f(x)在[0,1]上是增函數(shù),因此f(0)是最小值,

        (2)當(dāng)0≤m≤1時,f(x)在x=m時取得最小值

        (3)當(dāng)m>1時,f(x)在[0,1]上是減函數(shù),因此f(1)是最小值

        小結(jié):當(dāng)化歸為二次函數(shù)后,自變量是實(shí)數(shù)集的子集時,應(yīng)用二次函數(shù)知識解決有時較繁瑣。此型題目有時也可轉(zhuǎn)化為后面的法3求解。

        3 分離參數(shù)法

        在題目中分離出參數(shù),化成a>f(x)(a<f(x))型恒成立問題,再利用a>fmax(x)(a<fmin(x))求出參數(shù)范圍。

        解:如果x∈(-∞.1)時,f(x)恒有意義?不等式1+2x+a4x>0對x∈(-∞,1)恒

        令t=2-x,g(t)=-(t+t2),又x∈(-∞.1),則)∴a>g(t)對恒成立,又∵g(t)在上為減函數(shù),

        小結(jié):對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問題,可以求函數(shù)最值的方法,只要利用f(x)>m恒成立?f(x)min>m;f(x)<m恒成立?f(x)max<m.本題也可以用零點(diǎn)分布策略求解.

        4 數(shù)型結(jié)合法

        小結(jié):f(x)≤g(x)等價于在公共定義域區(qū)間內(nèi),函數(shù)y=f(x)的圖像落在y=g(x)的下方,這樣在平面直角坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)函數(shù)的圖像,根據(jù)圖像上下關(guān)系,確定參數(shù)取值范圍。

        本題通過對已知不等式變形處理后,挖掘不等式兩邊式子的幾何意義,通過構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來求參數(shù)的取值范圍,不僅能使問題變得直觀,同時也起到了化繁為簡的效果.

        以上介紹的幾種常見不等式恒成立問題的求解策略,只是分別從某個側(cè)面入手去探討不等式中參數(shù)的取值范圍。事實(shí)上,這些策略不是孤立的,在具體的解題實(shí)踐中,往往需要綜合考慮,靈活運(yùn)用,才能使問題得以順利解決。

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