丁 聰,畢 軍,張 俊
(1.北京交通大學(xué)城市交通復(fù)雜系統(tǒng)理論與技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100044;2.云南航信空港網(wǎng)絡(luò)有限公司,云南 昆明 650051)
機(jī)位分配是指機(jī)場(chǎng)根據(jù)航班計(jì)劃表和停機(jī)位的利用狀況,為每個(gè)進(jìn)出港航班分配合適的停機(jī)位,是機(jī)場(chǎng)運(yùn)營(yíng)過程中的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)。然而惡劣天氣、機(jī)場(chǎng)流量控制以及地面保障工作等隨機(jī)因素會(huì)造成航班時(shí)刻擾動(dòng),若計(jì)劃分配至同機(jī)位的航班因延誤導(dǎo)致機(jī)位占用時(shí)間沖突,分配方案必須進(jìn)行實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)調(diào)整。對(duì)于大型機(jī)場(chǎng)而言,有限的機(jī)位資源和高密度的航班起降使得停機(jī)位調(diào)度工作強(qiáng)度大、作業(yè)成本高,且依賴工作人員的經(jīng)驗(yàn),影響機(jī)場(chǎng)的運(yùn)行效率。
既有研究中,吸收延誤的一般方法是通過增加某些約束條件或設(shè)置優(yōu)化目標(biāo)來控制航班的延誤傳播。國(guó)際上,Yan等[1]通過在分配至同一機(jī)位的連續(xù)航班之間設(shè)置一個(gè)固定的空閑時(shí)間來吸收航班的不確定延誤;Bolat等[2-4]以機(jī)位空閑時(shí)間均衡作為目標(biāo)函數(shù)建立機(jī)位分配模型。國(guó)內(nèi),王巖華等[5]、高菁等[6]所建機(jī)位分配模型中也設(shè)置最小時(shí)間間隔為安全約束。然而這些方法實(shí)質(zhì)上只是為機(jī)位設(shè)置了定性的緩沖時(shí)間,針對(duì)性不強(qiáng),并不能完全反映兩個(gè)航班可能實(shí)際面臨的機(jī)位沖突情況。Lim等[7]雖然對(duì)機(jī)位沖突概率進(jìn)行了量化研究,但缺點(diǎn)在于模型對(duì)機(jī)位沖突的處理采用假設(shè)方式,沒有基于實(shí)際運(yùn)行數(shù)據(jù)進(jìn)行深入分析。
本文將基于昆明長(zhǎng)水國(guó)際機(jī)場(chǎng)的實(shí)際航班數(shù)據(jù),分析各航班延誤的規(guī)律,定量研究其對(duì)于沖突發(fā)生概率的影響。然后通過設(shè)置合理的間隔時(shí)間來吸收延誤,減少后期頻繁變更,以便保證機(jī)場(chǎng)的高效運(yùn)作。
本文數(shù)據(jù)來源于昆明長(zhǎng)水國(guó)際機(jī)場(chǎng)2016年4月1日—2016年12月31日3個(gè)季度的實(shí)際生產(chǎn)運(yùn)行數(shù)據(jù),航班記錄14萬條左右。該機(jī)場(chǎng)日均航班量可達(dá)1 000架次以上,已基本呈現(xiàn)飽和狀態(tài)。
首先,利用航班的預(yù)計(jì)抵達(dá)時(shí)間、實(shí)際抵達(dá)時(shí)間、預(yù)計(jì)起飛時(shí)間、實(shí)際起飛時(shí)間計(jì)算出航班的到達(dá)與起飛延誤。然后,分別對(duì)機(jī)場(chǎng)航班到達(dá)延誤與起飛延誤時(shí)長(zhǎng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并繪制直方圖,發(fā)現(xiàn)航班到達(dá)延誤與起飛延誤的分布存在顯著差異。進(jìn)港航班到達(dá)延誤的直方圖呈正態(tài)分布,中部高,兩端低,且提前到達(dá)與延誤到達(dá)的航班數(shù)量大致相同;而離港航班起飛延誤直方圖則呈明顯的右偏規(guī)律和厚尾現(xiàn)象,延遲起飛的航班數(shù)量遠(yuǎn)大于提前起飛的航班數(shù)量。這主要是由于離港航班的起飛時(shí)間依賴前行進(jìn)港航班,進(jìn)港航班延遲到達(dá)目的機(jī)場(chǎng)并造成相應(yīng)離港航班起飛延誤的可能性增加。鑒于到達(dá)延誤與起飛延誤時(shí)長(zhǎng)明顯的分布差異,可以假定航班的到達(dá)延誤符合正態(tài)分布規(guī)律,而起飛延誤符合混合正態(tài)分布規(guī)律。
若航班的到達(dá)延誤時(shí)長(zhǎng)符合正態(tài)分布規(guī)律,則其概率密度函數(shù)為:
式(1)中:x為到達(dá)延誤時(shí)長(zhǎng)(min);f(x)為到達(dá)延誤x的概率;μ和σ分別為航班到達(dá)延誤時(shí)長(zhǎng)的均值(min)和標(biāo)準(zhǔn)差。
在檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)分布是否符合正態(tài)分布規(guī)律的眾多方法中,選取JB(Jarque-Bera)檢驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。它是利用正態(tài)分布的偏度和峰度,構(gòu)造出一個(gè)統(tǒng)計(jì)量JB,即:
式(2)中:n為樣本容量;S為樣本的偏度;K為樣本的峰度。
假設(shè)顯著性水平為α,則當(dāng)JB統(tǒng)計(jì)量小于自由度為2的卡方分布的1-α分位數(shù)時(shí),接受原假設(shè),認(rèn)為樣本符合正態(tài)分布規(guī)律;否則拒絕原假設(shè)。該方法應(yīng)用于大樣本數(shù)據(jù)時(shí)效果較好。如果樣本符合正態(tài)分布,則偏度為0,峰度為3,JB統(tǒng)計(jì)量為0。
因此,有關(guān)航班到達(dá)延誤時(shí)長(zhǎng)分布規(guī)律的研究分為以下三步:
(1)對(duì)航班延誤樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行JB檢驗(yàn),結(jié)果正確,令H=0,轉(zhuǎn)下一步。
(2)使用極大似然估計(jì)法,基于航班延誤樣本數(shù)據(jù)對(duì)航班到達(dá)延誤的總體分布進(jìn)行參數(shù)估計(jì),計(jì)算出到達(dá)延誤分布概率密度函數(shù)中各參數(shù)的取值。
(3)采用χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。當(dāng)H0=0時(shí),假設(shè)成立;當(dāng)H0=1時(shí),拒絕原假設(shè)。顯著性水平α=0.05。
假定航班起飛延誤時(shí)長(zhǎng)服從混合正態(tài)分布:
式(3)中:ρ為0~1之間的實(shí)數(shù);?i(x)(i=1,2)為以μi為均值,以σi2為方差的正態(tài)分布概率密度函數(shù)。該式表示x以ρ的概率服從以?1(x)為密度函數(shù)的正態(tài)分布,以1-ρ的概率服從以?2(x)為密度函數(shù)的正態(tài)分布。
估計(jì)混合正態(tài)分布中各參數(shù)的方法如下。
設(shè)X1,X2,…,Xn為來自同一分布的隨機(jī)樣本,x1,x2…,xn為對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值,則其似然函數(shù)為:
式(4)中:p(xi;θ)為單個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)。
或
為求式(5)的極大值,采取一種快捷且易于計(jì)算的期望最大化(Expectation Maximization,EM)算法通過迭代循環(huán)進(jìn)行逼近,每一次迭代由兩步組成:E步(求期望)和M步(極大化)。
E步:在給定t輪參數(shù)的條件下,計(jì)算每個(gè)xi屬于第j正態(tài)分布的條件概率:
M步:根據(jù)和xi,給出θt+1的極大似然估計(jì):
在上述兩步反復(fù)迭代的過程中,lnL將逐漸收斂,直到達(dá)到設(shè)定的收斂標(biāo)準(zhǔn)時(shí),計(jì)算停止,此時(shí)所得有關(guān)參數(shù)θ即為極大似然估計(jì)。
由于一般正態(tài)分布的檢驗(yàn)方法并不適用于檢驗(yàn)混合正態(tài)分布,本文采用交叉驗(yàn)證法對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn):
現(xiàn)計(jì)算分配至同一機(jī)位的前后兩航班的沖突概率。如圖1所示,在機(jī)位分配計(jì)劃中,航班1和航班2為分配至同一機(jī)位的航班,假定航班1先進(jìn)入機(jī)位,計(jì)劃于ETA1時(shí)刻抵達(dá),進(jìn)行上下客和其他檢查后于ETD1時(shí)刻起飛,若用td1表示起飛延誤,則對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)為。機(jī)位空閑一段時(shí)間后航班2準(zhǔn)備進(jìn)入相同機(jī)位,計(jì)劃于ETA2時(shí)刻抵達(dá),若用表示到達(dá)延誤,則對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)為。若航班1延誤后實(shí)際起飛時(shí)間大于航班2提前抵達(dá)后(也可能延誤)實(shí)際到達(dá)時(shí)間,即時(shí),則認(rèn)為航班1與航班2發(fā)生沖突。
航班1和航班2發(fā)生沖突的概率Pconflict為:
圖1 同機(jī)位連續(xù)航班沖突示意圖
又由于航班1和航班2相互獨(dú)立,因此航班1的起飛延誤和航班2的到達(dá)延誤事件也相互獨(dú)立,則式(11)又可表述為:
以前文所得航班到達(dá)延誤和起飛延誤分布模型為例,有:
將式(13)及式(14)帶入式(12)得:
根據(jù)定理:對(duì)于n個(gè)獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量,若,且各變量間相互獨(dú)立,則差Z=X1-X2-…-Xn仍然服從正態(tài)分布,且有
對(duì)式(15)兩邊求導(dǎo)得:
因此:
由式(17)可得,指派至同一機(jī)位的兩連續(xù)航班間發(fā)生時(shí)間沖突的概率不僅與兩航班間的機(jī)位空閑時(shí)間有關(guān),還取決于這兩個(gè)航班的延誤分布。前后兩航班發(fā)生機(jī)位沖突的概率可用下式計(jì)算:
式(18)中:ETD1-ETA2為兩航班間的空閑時(shí)間(min);分別為起飛延誤的混合分布中兩正態(tài)分布的均值與方差;分別為抵達(dá)延誤分布的均值與方差。
利用Matlab平臺(tái)對(duì)航班到達(dá)延誤與起飛延誤分布進(jìn)行檢驗(yàn)與參數(shù)估計(jì)。以某航班為例,首先對(duì)航班到達(dá)延誤的樣本數(shù)據(jù)作JB檢驗(yàn),得H=0。因此判定航班到達(dá)延誤總體服從正態(tài)分布,并采用極大似然估計(jì)法進(jìn)行參數(shù)估計(jì),得到其概率密度函數(shù)為:
式(19)中:x為航班到達(dá)延誤時(shí)長(zhǎng)(min);f(x)為概率密度函數(shù);
采用χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法對(duì)以上結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn),得到H0=0,證明航班到達(dá)延誤時(shí)長(zhǎng)服從正態(tài)分布。擬合結(jié)果如圖2所示,其中航班到達(dá)延誤若為負(fù),表示相對(duì)于計(jì)劃到港時(shí)間提前到達(dá);若為正,則表示相對(duì)于計(jì)劃到港時(shí)間延遲到達(dá)。
根據(jù)1.2節(jié)的方法對(duì)起飛延誤時(shí)長(zhǎng)的混合正態(tài)分布進(jìn)行檢驗(yàn)和估計(jì),得到其概率密度分布函數(shù)為:
圖2 航班到達(dá)延誤時(shí)長(zhǎng)分布圖
式(20)中:x為航班的到達(dá)延誤時(shí)長(zhǎng)(min);f(x)為概率密度函數(shù)。
本文取P=90%,以及兩種情況來檢驗(yàn)?zāi)P偷姆夯芰ΓY(jié)果如表1所示。
表1 航班起飛延誤時(shí)長(zhǎng)概率密度模型泛化能力檢驗(yàn)結(jié)果
二階混合正態(tài)分布的擬合結(jié)果如圖3所示。
圖3 航班起飛延誤時(shí)長(zhǎng)分布圖
根據(jù)上述擬合所得航班到達(dá)延誤和起飛延誤分布規(guī)律,設(shè)置空閑時(shí)間間隔從0min增加至50min,帶入式(18)進(jìn)行計(jì)算,得到?jīng)_突概率隨空閑時(shí)間間隔的變化趨勢(shì)(如圖4所示)。沖突概率和空閑時(shí)間間隔的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表2所示。
圖4 同機(jī)位連續(xù)航班空閑時(shí)間與機(jī)位沖突概率關(guān)系曲線
表2 同機(jī)位連續(xù)航班空閑時(shí)間與機(jī)位沖突概率關(guān)系表
表2(續(xù))
從表2可以看出,同機(jī)位連續(xù)航班的空閑時(shí)間間隔從1min增至15min時(shí),沖突概率下降了0.343,變化較為顯著;從15min增至30min時(shí),沖突概率僅下降了0.194,變化幅度變小;隨著空閑時(shí)間的繼續(xù)增加,同機(jī)位沖突概率變化的顯著程度進(jìn)一步降低。
通過對(duì)大量實(shí)際航班數(shù)據(jù)的分析和驗(yàn)證,本文得出航班的到達(dá)延誤符合正態(tài)分布,起飛延誤符合混合正態(tài)分布的規(guī)律;推導(dǎo)出的同機(jī)位連續(xù)航班間沖突概率的計(jì)算公式能夠定量描述產(chǎn)生沖突的概率隨間隔時(shí)間的增大而降低的關(guān)系。不同的航班其延誤規(guī)律不同,在制訂分配方案時(shí)可利用航班間的沖突概率大小來定量決定是否將兩者安排至同機(jī)位或者為容易擴(kuò)散延誤的敏感航班合理分配航班時(shí)隙。但是,間隔時(shí)間過長(zhǎng)會(huì)影響機(jī)位使用效率,所以機(jī)位使用效率與沖突概率之間的多目標(biāo)優(yōu)化問題還有待進(jìn)一步研究。