丁 聰，畢 軍，張 俊

（1.北京交通大學(xué)城市交通復(fù)雜系統(tǒng)理論與技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100044；2.云南航信空港網(wǎng)絡(luò)有限公司，云南 昆明 650051）

0 引言

機(jī)位分配是指機(jī)場(chǎng)根據(jù)航班計(jì)劃表和停機(jī)位的利用狀況，為每個(gè)進(jìn)出港航班分配合適的停機(jī)位，是機(jī)場(chǎng)運(yùn)營(yíng)過程中的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)。然而惡劣天氣、機(jī)場(chǎng)流量控制以及地面保障工作等隨機(jī)因素會(huì)造成航班時(shí)刻擾動(dòng)，若計(jì)劃分配至同機(jī)位的航班因延誤導(dǎo)致機(jī)位占用時(shí)間沖突，分配方案必須進(jìn)行實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)調(diào)整。對(duì)于大型機(jī)場(chǎng)而言，有限的機(jī)位資源和高密度的航班起降使得停機(jī)位調(diào)度工作強(qiáng)度大、作業(yè)成本高，且依賴工作人員的經(jīng)驗(yàn)，影響機(jī)場(chǎng)的運(yùn)行效率。

既有研究中，吸收延誤的一般方法是通過增加某些約束條件或設(shè)置優(yōu)化目標(biāo)來控制航班的延誤傳播。國(guó)際上，Yan等[1]通過在分配至同一機(jī)位的連續(xù)航班之間設(shè)置一個(gè)固定的空閑時(shí)間來吸收航班的不確定延誤；Bolat等[2-4]以機(jī)位空閑時(shí)間均衡作為目標(biāo)函數(shù)建立機(jī)位分配模型。國(guó)內(nèi)，王巖華等[5]、高菁等[6]所建機(jī)位分配模型中也設(shè)置最小時(shí)間間隔為安全約束。然而這些方法實(shí)質(zhì)上只是為機(jī)位設(shè)置了定性的緩沖時(shí)間，針對(duì)性不強(qiáng)，并不能完全反映兩個(gè)航班可能實(shí)際面臨的機(jī)位沖突情況。Lim等[7]雖然對(duì)機(jī)位沖突概率進(jìn)行了量化研究，但缺點(diǎn)在于模型對(duì)機(jī)位沖突的處理采用假設(shè)方式，沒有基于實(shí)際運(yùn)行數(shù)據(jù)進(jìn)行深入分析。

本文將基于昆明長(zhǎng)水國(guó)際機(jī)場(chǎng)的實(shí)際航班數(shù)據(jù)，分析各航班延誤的規(guī)律，定量研究其對(duì)于沖突發(fā)生概率的影響。然后通過設(shè)置合理的間隔時(shí)間來吸收延誤，減少后期頻繁變更，以便保證機(jī)場(chǎng)的高效運(yùn)作。

1 航班延誤時(shí)長(zhǎng)的分布規(guī)律與檢驗(yàn)

本文數(shù)據(jù)來源于昆明長(zhǎng)水國(guó)際機(jī)場(chǎng)2016年4月1日—2016年12月31日3個(gè)季度的實(shí)際生產(chǎn)運(yùn)行數(shù)據(jù)，航班記錄14萬條左右。該機(jī)場(chǎng)日均航班量可達(dá)1 000架次以上，已基本呈現(xiàn)飽和狀態(tài)。

首先，利用航班的預(yù)計(jì)抵達(dá)時(shí)間、實(shí)際抵達(dá)時(shí)間、預(yù)計(jì)起飛時(shí)間、實(shí)際起飛時(shí)間計(jì)算出航班的到達(dá)與起飛延誤。然后，分別對(duì)機(jī)場(chǎng)航班到達(dá)延誤與起飛延誤時(shí)長(zhǎng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并繪制直方圖，發(fā)現(xiàn)航班到達(dá)延誤與起飛延誤的分布存在顯著差異。進(jìn)港航班到達(dá)延誤的直方圖呈正態(tài)分布，中部高，兩端低，且提前到達(dá)與延誤到達(dá)的航班數(shù)量大致相同；而離港航班起飛延誤直方圖則呈明顯的右偏規(guī)律和厚尾現(xiàn)象，延遲起飛的航班數(shù)量遠(yuǎn)大于提前起飛的航班數(shù)量。這主要是由于離港航班的起飛時(shí)間依賴前行進(jìn)港航班，進(jìn)港航班延遲到達(dá)目的機(jī)場(chǎng)并造成相應(yīng)離港航班起飛延誤的可能性增加。鑒于到達(dá)延誤與起飛延誤時(shí)長(zhǎng)明顯的分布差異，可以假定航班的到達(dá)延誤符合正態(tài)分布規(guī)律，而起飛延誤符合混合正態(tài)分布規(guī)律。

1.1 航班到達(dá)延誤規(guī)律檢驗(yàn)

若航班的到達(dá)延誤時(shí)長(zhǎng)符合正態(tài)分布規(guī)律，則其概率密度函數(shù)為：

式（1）中：x為到達(dá)延誤時(shí)長(zhǎng)（min）；f(x)為到達(dá)延誤x的概率；μ和σ分別為航班到達(dá)延誤時(shí)長(zhǎng)的均值（min）和標(biāo)準(zhǔn)差。

在檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)分布是否符合正態(tài)分布規(guī)律的眾多方法中，選取JB（Jarque-Bera）檢驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。它是利用正態(tài)分布的偏度和峰度，構(gòu)造出一個(gè)統(tǒng)計(jì)量JB，即：

式（2）中：n為樣本容量；S為樣本的偏度；K為樣本的峰度。

假設(shè)顯著性水平為α，則當(dāng)JB統(tǒng)計(jì)量小于自由度為2的卡方分布的1-α分位數(shù)時(shí)，接受原假設(shè)，認(rèn)為樣本符合正態(tài)分布規(guī)律；否則拒絕原假設(shè)。該方法應(yīng)用于大樣本數(shù)據(jù)時(shí)效果較好。如果樣本符合正態(tài)分布，則偏度為0，峰度為3，JB統(tǒng)計(jì)量為0。

因此，有關(guān)航班到達(dá)延誤時(shí)長(zhǎng)分布規(guī)律的研究分為以下三步：

（1）對(duì)航班延誤樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行JB檢驗(yàn)，結(jié)果正確，令H=0，轉(zhuǎn)下一步。

（2）使用極大似然估計(jì)法，基于航班延誤樣本數(shù)據(jù)對(duì)航班到達(dá)延誤的總體分布進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，計(jì)算出到達(dá)延誤分布概率密度函數(shù)中各參數(shù)的取值。

（3）采用χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。當(dāng)H0=0時(shí)，假設(shè)成立；當(dāng)H0=1時(shí)，拒絕原假設(shè)。顯著性水平α=0.05。

1.2 航班起飛延誤規(guī)律檢驗(yàn)

假定航班起飛延誤時(shí)長(zhǎng)服從混合正態(tài)分布：

式（3）中：ρ為0～1之間的實(shí)數(shù)；?i(x)(i=1,2)為以μi為均值，以σi2為方差的正態(tài)分布概率密度函數(shù)。該式表示x以ρ的概率服從以?1(x)為密度函數(shù)的正態(tài)分布，以1-ρ的概率服從以?2(x)為密度函數(shù)的正態(tài)分布。

估計(jì)混合正態(tài)分布中各參數(shù)的方法如下。

設(shè)X1,X2,…,Xn為來自同一分布的隨機(jī)樣本，x1,x2…,xn為對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值，則其似然函數(shù)為：

式（4）中：p(xi;θ)為單個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)。

或

為求式（5）的極大值，采取一種快捷且易于計(jì)算的期望最大化（Expectation Maximization，EM）算法通過迭代循環(huán)進(jìn)行逼近，每一次迭代由兩步組成：E步（求期望）和M步（極大化）。

E步：在給定t輪參數(shù)的條件下，計(jì)算每個(gè)xi屬于第j正態(tài)分布的條件概率：

M步：根據(jù)和xi，給出θt+1的極大似然估計(jì)：

在上述兩步反復(fù)迭代的過程中，lnL將逐漸收斂，直到達(dá)到設(shè)定的收斂標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，計(jì)算停止，此時(shí)所得有關(guān)參數(shù)θ即為極大似然估計(jì)。

由于一般正態(tài)分布的檢驗(yàn)方法并不適用于檢驗(yàn)混合正態(tài)分布，本文采用交叉驗(yàn)證法對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)：

2 同機(jī)位航班沖突概率計(jì)算方法

現(xiàn)計(jì)算分配至同一機(jī)位的前后兩航班的沖突概率。如圖1所示，在機(jī)位分配計(jì)劃中，航班1和航班2為分配至同一機(jī)位的航班，假定航班1先進(jìn)入機(jī)位，計(jì)劃于ETA1時(shí)刻抵達(dá)，進(jìn)行上下客和其他檢查后于ETD1時(shí)刻起飛，若用td1表示起飛延誤，則對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)為。機(jī)位空閑一段時(shí)間后航班2準(zhǔn)備進(jìn)入相同機(jī)位，計(jì)劃于ETA2時(shí)刻抵達(dá)，若用表示到達(dá)延誤，則對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)為。若航班1延誤后實(shí)際起飛時(shí)間大于航班2提前抵達(dá)后（也可能延誤）實(shí)際到達(dá)時(shí)間，即時(shí)，則認(rèn)為航班1與航班2發(fā)生沖突。

航班1和航班2發(fā)生沖突的概率Pconflict為：

圖1 同機(jī)位連續(xù)航班沖突示意圖

又由于航班1和航班2相互獨(dú)立，因此航班1的起飛延誤和航班2的到達(dá)延誤事件也相互獨(dú)立，則式（11）又可表述為：

以前文所得航班到達(dá)延誤和起飛延誤分布模型為例，有：

將式（13）及式（14）帶入式（12）得：

根據(jù)定理：對(duì)于n個(gè)獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量，若，且各變量間相互獨(dú)立，則差Z=X1-X2-…-Xn仍然服從正態(tài)分布，且有

對(duì)式（15）兩邊求導(dǎo)得：

因此：

由式（17）可得，指派至同一機(jī)位的兩連續(xù)航班間發(fā)生時(shí)間沖突的概率不僅與兩航班間的機(jī)位空閑時(shí)間有關(guān)，還取決于這兩個(gè)航班的延誤分布。前后兩航班發(fā)生機(jī)位沖突的概率可用下式計(jì)算：

式（18）中：ETD1-ETA2為兩航班間的空閑時(shí)間（min）；分別為起飛延誤的混合分布中兩正態(tài)分布的均值與方差；分別為抵達(dá)延誤分布的均值與方差。

3 實(shí)例分析

利用Matlab平臺(tái)對(duì)航班到達(dá)延誤與起飛延誤分布進(jìn)行檢驗(yàn)與參數(shù)估計(jì)。以某航班為例，首先對(duì)航班到達(dá)延誤的樣本數(shù)據(jù)作JB檢驗(yàn)，得H=0。因此判定航班到達(dá)延誤總體服從正態(tài)分布，并采用極大似然估計(jì)法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，得到其概率密度函數(shù)為：

式（19）中：x為航班到達(dá)延誤時(shí)長(zhǎng)（min）；f(x)為概率密度函數(shù)；

采用χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法對(duì)以上結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)，得到H0=0，證明航班到達(dá)延誤時(shí)長(zhǎng)服從正態(tài)分布。擬合結(jié)果如圖2所示，其中航班到達(dá)延誤若為負(fù)，表示相對(duì)于計(jì)劃到港時(shí)間提前到達(dá)；若為正，則表示相對(duì)于計(jì)劃到港時(shí)間延遲到達(dá)。

根據(jù)1.2節(jié)的方法對(duì)起飛延誤時(shí)長(zhǎng)的混合正態(tài)分布進(jìn)行檢驗(yàn)和估計(jì)，得到其概率密度分布函數(shù)為：

圖2 航班到達(dá)延誤時(shí)長(zhǎng)分布圖

式（20）中：x為航班的到達(dá)延誤時(shí)長(zhǎng)（min）；f(x)為概率密度函數(shù)。

本文取P=90%，以及兩種情況來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷姆夯芰ΓY(jié)果如表1所示。

表1 航班起飛延誤時(shí)長(zhǎng)概率密度模型泛化能力檢驗(yàn)結(jié)果

二階混合正態(tài)分布的擬合結(jié)果如圖3所示。

圖3 航班起飛延誤時(shí)長(zhǎng)分布圖

根據(jù)上述擬合所得航班到達(dá)延誤和起飛延誤分布規(guī)律，設(shè)置空閑時(shí)間間隔從0min增加至50min，帶入式（18）進(jìn)行計(jì)算，得到?jīng)_突概率隨空閑時(shí)間間隔的變化趨勢(shì)（如圖4所示）。沖突概率和空閑時(shí)間間隔的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表2所示。

圖4 同機(jī)位連續(xù)航班空閑時(shí)間與機(jī)位沖突概率關(guān)系曲線

表2 同機(jī)位連續(xù)航班空閑時(shí)間與機(jī)位沖突概率關(guān)系表

表2（續(xù)）

從表2可以看出，同機(jī)位連續(xù)航班的空閑時(shí)間間隔從1min增至15min時(shí)，沖突概率下降了0.343，變化較為顯著；從15min增至30min時(shí)，沖突概率僅下降了0.194，變化幅度變小；隨著空閑時(shí)間的繼續(xù)增加，同機(jī)位沖突概率變化的顯著程度進(jìn)一步降低。

4 結(jié)論

通過對(duì)大量實(shí)際航班數(shù)據(jù)的分析和驗(yàn)證，本文得出航班的到達(dá)延誤符合正態(tài)分布，起飛延誤符合混合正態(tài)分布的規(guī)律；推導(dǎo)出的同機(jī)位連續(xù)航班間沖突概率的計(jì)算公式能夠定量描述產(chǎn)生沖突的概率隨間隔時(shí)間的增大而降低的關(guān)系。不同的航班其延誤規(guī)律不同，在制訂分配方案時(shí)可利用航班間的沖突概率大小來定量決定是否將兩者安排至同機(jī)位或者為容易擴(kuò)散延誤的敏感航班合理分配航班時(shí)隙。但是，間隔時(shí)間過長(zhǎng)會(huì)影響機(jī)位使用效率，所以機(jī)位使用效率與沖突概率之間的多目標(biāo)優(yōu)化問題還有待進(jìn)一步研究。