趙曉蘇，錢椿林

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州，215104)

設(shè)(0,1)∈R是一個(gè)有界開(kāi)區(qū)間，考慮如下的特征值問(wèn)題：

(1)

0≤pi(x)≤μ2,i=t+1,t+2,…,s-1，pt+1(x)>0，μ1≤ps(x)≤μ2，

(2)

q1(x)=q2(x)=…=qτ-1(x)=0，1≤τ≤t，ν1≤qj(x)≤ν2，j=τ,τ+1,…,t，

(3)

其中，0<μ1≤μ2，且0<ν1≤ν2。

當(dāng)s>t≥2時(shí)，問(wèn)題(1)特征值的上界估計(jì)已有一些結(jié)果①。 在本文中，考慮微分算子帶一般權(quán)并且左端的最低導(dǎo)數(shù)階數(shù)比右端的最高導(dǎo)數(shù)階數(shù)恰好高二階的問(wèn)題(1)，且s>t≥1，這個(gè)問(wèn)題是微分算子第二特征值的上界不等式②的推廣。 運(yùn)用文獻(xiàn)[5]中的方法，對(duì)于任意整數(shù)s>t≥1的微分算子，得到了問(wèn)題(1)的用第一特征值來(lái)估計(jì)第二特征值的上界估計(jì)，其估計(jì)在微分方程的理論研究和力學(xué)的應(yīng)用中起著重要的作用[6]。

定理1 設(shè)λ1,λ2是問(wèn)題(1)的兩個(gè)第一、第二特征值，且0<λ1≤λ2，s>t≥1，則有：

(4)

定理2 設(shè)λ1,λ2是問(wèn)題(1)的兩個(gè)第一、第二特征值，且0<λ1≤λ2，s>t≥1，τ=t, 則有：

(5)

2 定理的證明

設(shè)λ1是問(wèn)題(1)的第一特征值，相應(yīng)于λ1的特征函數(shù)為y1，簡(jiǎn)記y=y1，且滿足：

(6)

利用t次分部積分和式(6)，得：

(7)

利用s次分部積分和式(7)，有：

(8)

利用(2)和(8)，得：

(9)

利用(3)和(7)，有：

(10)

利用分部積分，直接計(jì)算得：

(11)

從(11)式知，φ與y帶權(quán)正交，且滿足Dkφ(0)=Dkφ(1)=0，k=0,1,2,…,s-1。

利用Rayleigh定理，有：

(12)

計(jì)算得：

(13)

利用分部積分和φ(x)=(x-d)y，有：

(14)

結(jié)合式(13)和(14)，得：

(15)

利用式(15)，有：

(16)

利用式(12)和(16)，得：

(17)

引理1 設(shè)y是問(wèn)題(1)所對(duì)應(yīng)第一特征值λ1的特征函數(shù)，則：

證明 對(duì)于(a) 參考現(xiàn)代應(yīng)用分析卷。

對(duì)于(b)，反復(fù)運(yùn)用引理1(a)和(10)，得引理1(b)。

引理2 設(shè)y是問(wèn)題(1)所對(duì)應(yīng)第一特征值λ1的特征函數(shù)， 則：

證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明(a). 反復(fù)運(yùn)用引理2(a)和(9)，即得 (b), 參考文獻(xiàn)[1]。

引理3 設(shè)y是問(wèn)題(1)所對(duì)應(yīng)第一特征值λ1的特征函數(shù), 則：

證明 對(duì)于(a)，利用Schwarz 不等式、引理2(b)、式(3)和(7), 當(dāng)τ=t時(shí)，得：

當(dāng)τ

整理后即得 (a)。

對(duì)于(b)，利用(7) 、Schwarz 不等式和引理2(b)，有：

對(duì)于(c)，在引理2(b)中，取r=i-1，利用式(2)，得：

對(duì)于(d)，利用Schwarz 不等式、引理1(b)和引理2(b)，得：

對(duì)于(e)，利用Schwarz 不等式、(2)、引理2(b)和引理3(d)，得：

引理4 設(shè)λ1是問(wèn)題(1)的第一特征值,則：

當(dāng)τ=t時(shí)，

當(dāng)τ

證明 利用分部積分和φ(x)=(x-d)y，得：

(18)

(19)

(20)

(21)

利用式(18)、(19)、(20)和(21)，有：

(22)

利用式(22)和引理3，當(dāng)τ=t時(shí)，得：

當(dāng)τ

引理5 對(duì)于φ(x)與λ1, 則：

證明 利用分部積分和φ(x)=(x-d)y，得：

(23)

利用式(23)，有：

(24)

利用式(10)和(24)，得：

(25)

在引理2(b)中，取r=t+1，利用式(10)、(25)和Schwarz 不等式，當(dāng)τ=t時(shí)，有：

當(dāng)τ

整理上式即可得引理5。

證明 利用引理4和引理5，從(17)，當(dāng)τ

(26)

由式(26)即可得到定理1的(4)；

當(dāng)τ=t時(shí)，有：

(27)

由式(27)即可得到定理2的(5)。