（江西理工大學 機電工程學院，贛州 341000）

0 引言

隨著現(xiàn)代科學技術的不斷發(fā)展和進步，控制理論和控制算法被廣泛的應用在軍事、航空航天和民用等眾多研究領域，且控制系統(tǒng)變得越來越復雜。強耦合、多變量、時變參數(shù)和高精度等性質(zhì)的控制問題已經(jīng)不再適合使用經(jīng)典控制方法來實現(xiàn)，它的局限性在于只適合單輸入輸出的線性定常系統(tǒng)，很難實現(xiàn)對多輸入輸出線性定常系統(tǒng)的控制，更不適合于時變的非線性系統(tǒng)。四旋翼飛行器[1]是一個典型的強耦合和多變量的非線性系統(tǒng)，其控制系統(tǒng)是無人機[2,3]研究領域的重點，吸引了國內(nèi)外大量的研究人員對四旋翼飛行器的建模和控制算法研究。常用的控制算法有PID[4,5]控制、線性二次型調(diào)節(jié)（LQR）控制[6,7]、反步法控制[8]、滑膜變結(jié)構(gòu)控制[9]、模糊控制[10]和神經(jīng)網(wǎng)絡控制[11]等。PID控制因為不需要精確的模型和控制規(guī)律，易于實現(xiàn)等原因被廣泛的運用，但是其存在抗干擾差、魯棒性弱等問題。LQR控制具有穩(wěn)態(tài)誤差小和較好的魯棒性，但是其有一定的延遲性。而反步法控制和神經(jīng)網(wǎng)絡控制需要使用具有較高性能的微控制器進行對其進行大量的計算。

本文在上述研究的控制算法的基礎上，將PID控制和LQR控制相結(jié)合，設計了一種雙回路的四旋翼飛行姿態(tài)控制系統(tǒng)，實現(xiàn)了對四旋翼飛行仿真器的姿態(tài)控制，并通過實時控制實驗分析驗證了控制系統(tǒng)的有效性。

1 建立數(shù)學模型

四旋翼飛行仿真器是一個適用于自動控制理論研究和航空航天系統(tǒng)研究的實驗系統(tǒng)仿真平臺，其可以模擬飛行器在空中的飛行姿態(tài)，是一個具有多變量、強耦合、非線性等特性的系統(tǒng)研究平臺。其安裝在萬向節(jié)軸上的四個帶螺旋槳的電機為四旋翼飛行仿真器提供了上升或下降的動力，來實現(xiàn)仿真器平臺的姿態(tài)運動。前向、左側(cè)、右側(cè)三個電機驅(qū)動其對應的螺旋槳來實現(xiàn)仿真器平臺的俯仰（pitch繞y軸旋轉(zhuǎn)）運動；左側(cè)、右側(cè)兩個電機驅(qū)動其對應的螺旋槳來實現(xiàn)仿真器平臺的橫滾（roll繞x軸旋轉(zhuǎn)）運動；后向電機驅(qū)動其對應的螺旋槳來實現(xiàn)仿真器平臺的偏航（yaw繞z軸旋轉(zhuǎn)）運動。由安裝在仿真器平臺上的三個編碼器來檢測姿態(tài)角形成反饋構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)，以此來實現(xiàn)對四旋翼飛行仿真器的俯仰角、橫滾角和偏航角三種姿態(tài)角的精準定位。

1.1 動力學分析

圖1 四旋翼飛行仿真器實物圖及原理

依據(jù)四旋翼飛行仿真器建立其三維坐標系，建立的坐標系如圖1所示。其中，坐標的原點為支撐點，X軸為對應的指向前向電機的軸，Y軸為對應的指向右側(cè)電機的軸，Z軸的正方向則利用左手定則確立。并定義前向、左側(cè)、右側(cè)電機產(chǎn)生的驅(qū)動力與Z軸同向為正，后向電機產(chǎn)生的驅(qū)動力與Y軸同向為正。Ff、Fl、Fr、Fb前向、左側(cè)、右側(cè)、后向電機的驅(qū)動力。

為了便于數(shù)學建模和運動分析，根據(jù)四旋翼飛行仿真器的系統(tǒng)特點，簡化過程將其近似為一個線性系統(tǒng)并做下述假設：

1）假設仿真器是剛體，且重心位置和幾何中心重合；

2）假設仿真器處于靜平衡狀態(tài)時，重心的位置在偏航軸上且三個姿態(tài)角為零，并忽略摩擦力和旋翼阻尼力矩；

3）假設旋翼旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的升力為一個線性系統(tǒng)，正反轉(zhuǎn)產(chǎn)生同樣的力，并忽略旋翼達到指定轉(zhuǎn)速的時間；

下面根據(jù)四旋翼飛行仿真器，建立其笛卡爾坐標下俯仰角、橫滾角和偏航角的三個姿態(tài)角的力矩平衡模型：

（1）俯仰角力矩平衡方程：

對飛行仿真器的俯仰角做靜平衡受力分析如圖2所示。

圖2 俯仰角受力分析圖

飛行仿真器進行俯仰運動時，左右側(cè)電機力力為正，前向電機力為負，選取前向電機向下的運動夾角為俯仰角的正方向，并建立方程：

其中：Lc=Lfcosθ；F=KfcV，則得到：

（2）橫滾角力矩平衡方程：

對飛行仿真器的橫滾角做靜平衡受力分析如圖3所示。

圖3 橫滾角受力分析圖

飛行仿真器進行橫滾運動時，左側(cè)電機力力為正，右側(cè)電機力為負，選取右側(cè)電機向下運動夾角為橫滾角的正方向，并建立方程：

其中：La=Lfsinθ，則得到：

（3）偏航角力矩平衡方程：

飛行仿真器進行偏航運動時，動作比較簡單，只有后向電機控制其繞Z軸轉(zhuǎn)動來影響偏航角。因此以其初始狀態(tài)為平衡狀態(tài)，繞Z軸逆時針轉(zhuǎn)動的方向則為橫滾角的正方向，并建立方程：

化簡為：

為保證飛行仿真器懸停時系統(tǒng)靜平衡，在前向臂上增加配重，并設各部分質(zhì)量近似為一質(zhì)點，得到三個姿態(tài)角的轉(zhuǎn)動慣量為：

綜合上述式(1)、式(2)、式(3)，則三個姿態(tài)角力矩平衡方程為：

1.2 建立狀態(tài)方程

根據(jù)式(5)姿態(tài)角力矩平衡方程，從中可以看出四旋翼飛行仿真器有三個姿態(tài)角輸出和四個電機電壓控制輸入，其中俯仰角和橫滾角具有相互耦合的關系。對其進行解耦處理，定義三個輸入向量u=[u1，u2，u3]T，且按照如下關系式進行控制量分配：

為了簡化控制模型，達到跟蹤期望值的目的，選定六個系統(tǒng)狀態(tài)變量，狀態(tài)變量系統(tǒng)輸入為輸入量u=[u1，u2，u3]T，系統(tǒng)的輸出量為三個姿態(tài)角，則輸出y=[p，r，y]T。建立四旋翼飛行仿真器模型的六狀態(tài)空間表達式：

其中系數(shù)矩陣為：

根據(jù)四旋翼飛行仿真器的具體材料特性和實際測量結(jié)果，飛行仿真器的相關物理參數(shù)如表1所示。

表1 四旋翼飛行仿真器參數(shù)

2 系統(tǒng)控制器設計

本文設計了一種由PID控制姿態(tài)角外回路和LQR（線性二次型）控制姿態(tài)角速率內(nèi)回路，兩個控制器共同組成雙回路的姿態(tài)控制器，來實現(xiàn)對四旋翼飛行仿真器的姿態(tài)穩(wěn)定控制。

2.1 內(nèi)回路控制設計

LQR即線性二次型，是一種線性的最優(yōu)控制。系統(tǒng)的狀態(tài)方程是線性的，則選取由狀態(tài)變量和控制變量組成的二次型積分函數(shù)作為指標函數(shù)。通過確定最佳的控制輸入，使得性能指標函數(shù)達到極小值來實現(xiàn)對控制系統(tǒng)的最優(yōu)化控制器設計。

本文運用LQR控制方法分別設計三個姿態(tài)角速率內(nèi)回路控制器，將狀態(tài)變量的誤差作為一個新的狀態(tài)變量加入到系統(tǒng)中，通過對控制器的設計使誤差變?yōu)榱?，使控制系統(tǒng)達到準確跟蹤參考輸入量。根據(jù)四旋翼飛行仿真器的狀態(tài)空間表達式(6)，設系統(tǒng)的參考輸入量為i，系統(tǒng)的待跟蹤輸出為q，且q=Ccx，則誤差e=i-q。將誤差e作為一個狀態(tài)變量添加到系統(tǒng)中，則擴展得到的新系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為：

控制性能泛函J最小，則構(gòu)造一個Hamilton函數(shù)。

當輸入量不受約束時，則對Hamilton函數(shù)求導并令其函數(shù)的值為0：

求得最小值，因此得到最優(yōu)控制信號：

λ可由下式求出：

P可由Riccati方程求出：

圖4 姿態(tài)角速率內(nèi)回路LQR控制框圖

進行LQR控制器設計時，系統(tǒng)的整體控制性能受加權(quán)矩陣Q各主對角系數(shù)的影響很大。當偏重于輸出時，增大Q的參數(shù)；當需減小控制輸出時，則增大R的參數(shù)。在調(diào)試過程中，為實現(xiàn)對系統(tǒng)的最優(yōu)控制，在輸出和控制輸出之間找到一個最佳平衡點后，運用Matlab軟件提供的函數(shù)lqr（），并輸入狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣A和控制矩陣B，以及加權(quán)矩陣Q和R，求出最優(yōu)反饋增益矩陣K陣。

2.2 外回路控制設計

在控制算法研究領域中，PID控制是一種基礎的控制算法，因其具有易于操作，原理結(jié)構(gòu)簡單，適應性強，響應速度快，對模型要求不精確等特點，一直被廣泛地使用。為了系統(tǒng)的實際控制要求，使用一些經(jīng)驗法則：把PID控制當作是PI控制和PD控制的組合，PI控制能夠抑制系統(tǒng)的高頻噪聲，并改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差；PD控制可以改善過高的超調(diào)量，同時適當?shù)脑黾禹憫俣取?/p>

本文在運用LQR控制飛行仿真器的三個姿態(tài)角速率內(nèi)回路的基礎上，使用PID控制中的PI控制其三個姿態(tài)角的外回路，兩個控制器組成雙回路姿態(tài)控制系統(tǒng)。PI控制能夠包裹住系統(tǒng)中的未知干擾，從而進行高精度的姿態(tài)角控制。則四旋翼飛行仿真器三個姿態(tài)角整體的控制回路框圖如圖5所示。

圖5 姿態(tài)角整體回路控制框圖

姿態(tài)角的控制表達式為：

經(jīng)過Lapalce變化得傳遞函數(shù)為：

在進行實時控制實驗時，根據(jù)其二階系統(tǒng)最優(yōu)阻尼比原則，可以確定姿態(tài)角外回路PI控制的Kp（比例系數(shù)）和Ki（積分系數(shù)）。

3 實時控制分析

四旋翼飛行仿真器實時控制使用的軟件為Matlab/Simlink，采用軟件中的實時工具箱RTW（Real-Time Workshop）來實現(xiàn)對其控制任務，其中的Real time control模塊就是系統(tǒng)實時控制子模塊，其中包含了控制信號輸出模塊和編碼器采樣模塊。根據(jù)式(6)四旋翼飛行仿真器的狀態(tài)空間模型，從中提取有關參數(shù)，取增益矩陣Kp=[1.56，2.60]，Kr=[0.77，1.27]，Ky=[0.58，1.05]，取PI控制器參數(shù)為Kp1=3.500，Ki1=0.200；Kp2=3.200，Ki2=0.150；Kp3=3.400，Ki3=0.258；在Matlab/Simlink中搭建飛行仿真器的姿態(tài)角實時控制模型如圖6所示。

圖6 姿態(tài)實時控制模型

圖7 姿態(tài)角速率階躍響應

圖8 兩種控制階躍響應

當對四旋翼飛行仿真器采用姿態(tài)角外回路PID控制和姿態(tài)角速率內(nèi)回路LQR雙回路控制系統(tǒng)時，三個姿態(tài)角的角速率回路階躍響應曲線如圖7所示，姿態(tài)角速率的內(nèi)回路控制超調(diào)量很小，而且能夠很快跟上輸入量，達到控制效果。根據(jù)LQR控制率，對于姿態(tài)角內(nèi)回路的干擾，系統(tǒng)增加誤差為狀態(tài)變量，使得姿態(tài)角速率響應會快速達到目標位置。圖8為分別對四旋翼飛行仿真器采用LQR控制和PID與LQR結(jié)合的雙回路控制時，系統(tǒng)平臺的階躍響應曲線。由此曲線可以看出，PID與LQR結(jié)合的雙回路控制系統(tǒng)響應速度快，且相對具有很明顯的提高。三個姿態(tài)角的穩(wěn)定時間短，調(diào)節(jié)時間均為2S左右，且系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度高，具有較好的魯棒性且超調(diào)量相對較小，控制性能優(yōu)于LQR控制。

4 結(jié)束語

本文基于四旋翼飛行仿真器，設計了PID控制姿態(tài)角外回路和LQR控制姿態(tài)角速率內(nèi)回路的雙回路控制器系統(tǒng)。姿態(tài)角速率內(nèi)回路LQR控制充分利用了其穩(wěn)態(tài)誤差小和魯棒性較好的優(yōu)點；姿態(tài)角外回路PID控制引入PI控制，充分發(fā)揮了其不需要精確模型的特性；通過實時控制分析，本文設計的控制系統(tǒng)解決了單一控制回路的抗干擾差、魯棒性弱和具有延遲性的問題，具有品質(zhì)良好的控制性能。