張登林 謝秀芳

計數(shù)問題是數(shù)學的重要研究對象之一，是組合數(shù)學的最初步知識，這種以計數(shù)為特征的內容在中學數(shù)學中較為獨特，它不僅應用廣泛，是學習統(tǒng)計、概率等分支的必要準備知識，也是發(fā)展我們抽象能力和邏輯思維能力的好素材.分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理作為本章的開篇，它是解決計數(shù)問題最基本、最重要的方法，為解決許多實際問題提供了思想和工具，可以這么說，理解并掌握了它，本章后面的學習就會顯得輕松許多.

喜歡電子游戲的同學們應該都看過網(wǎng)上相關第一視角的視頻，“第一視角”在游戲中的理解是：以游戲操作者本人的視角觀看整場游戲演示，相當于站在操作者身后看，自己所見即為操作者所見.“第一視角”更直觀，更具代人感，可以觀察到操作者每個細致入微的操作，洞悉操作者每一個戰(zhàn)術心理，特別在需要操作技巧、戰(zhàn)略技巧的游戲中更利于旁觀者跟蹤學習，因而受到許多玩家喜愛.那么我們在解決一些數(shù)學問題是不是也能從這個角度把題目中的“某人”想象成“本人”？在面對這個問題時“本人”你會怎么做呢？

例1 某校學生會由高一年級2人，高二年級3人，高三年級4人組成.

（1）任選其中1人為校學生會主席，有多少種不同的選法？

（2）每年級各選一人為校學生會常委，有多少種不同的選法？

現(xiàn)在我們把這個權利交給你，讓你隨機決定選取誰，9個同學名單已經(jīng)在你的手上，你手里拿著筆，對著名單在瀏覽…一

對于問題（1），你這個名額是給高一、高二還是高三呢？如果給了高一，你給高一的誰呢？這時你有幾種選擇？如果給了高二、高三又是怎樣的情況呢？當你填上一個人名后，這件事你完成了嗎？如果你想修改，你得把你填上的擦去，填完后回想一下，你可以有幾種填法？

對于問題（2），你依次選擇三個年級的人選，對于高一的人選，你有幾種選擇？填完高一人選后，你這件事完成了嗎？顯然沒有，你繼續(xù)填高二的人選，又面臨幾種選擇？填完后仍然沒有完成任務，還得繼續(xù)選出高三的人選.之后你的任務終于完成了，再回想一下，你可以有多少種填法？

問題（1）就是分類計數(shù)的方法，一共有2+3+4=9種不同的結果；問題（2）就是分步計數(shù)的方法，一共有2×3×4=24種不同的結果.

分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理是研究“完成一件事”方法的重要工具，兩個原理的區(qū)別可以從以下三點進行理解.

1.從“完成一件事”的含義看，分類完成一件事指做這件事可分為若干類方法，每類方法都能獨立完成這件事，各類方法相互獨立；而分步完成一件事指完成這件事要分成幾個步驟完成，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成，哪一步驟都不能獨立地完成這件事.

2.從分類與分步的角度看，分類計數(shù)原理的各類具有并列性、獨立性；分步計數(shù)原理的各步具有必須性.

3.從特殊字詞看，如從兩組元素中“任取一個”和“各取一個”，雖一字之差，但“任取一個”是分類，“各取一個”是分步.

正所謂：兩大原理顯神通，類類獨立不重漏，步步相依不缺步，類類相加步步乘，遇事三思而后行，

例2 從甲、乙、丙、丁四位同學中隨機選擇兩名同學參加學校A，B兩個會議，每人參加一項，一共有____種選擇.

讓你來解決這個問題，你是分類還是分步？分幾類？分幾步？你的一個結果完成任務了嗎？顯然本題要分成兩步完成，第一步給A會議選擇人選，第二步給B會議選擇人選，腦海里想象成你來填這樣一個表格：

第一步有4種選擇，第二步有3種選擇，所以一共就是4×3 =12種.

通過以上兩題我們再總結一下利用兩個計數(shù)原理解題的思考順序：

分類計數(shù)：確定任務、一步到位、分類、各類方法相互獨立、種數(shù)相加；

分步計數(shù)：確定任務、分步完成、分步、各個步驟相互依存、種數(shù)相乘.

但有的時候可能完成一件事的過程中既要分類又要分步.

例3 盒中共有9個不同的小球，其中有4個紅球、3個黃球和2個綠球，現(xiàn)從中取兩個球，放入兩個不同的杯子，要求兩球顏色相同，一共有多少種放法？

現(xiàn)在9個球擺在你的面前，你的任務是什么？要完成任務你可以分成幾類？每一類又可以分成幾步？

任務是在兩個杯子中分別放人顏色相同的一個球，按照顏色可以分成三類，如果都放紅色的球，那我們義要分兩步放，第一個杯子有4種選擇，第二個杯子有3種選擇，那么紅色的就有4×3 =12種放法.那選其他兩種顏色又是什么情況呢？自己動手嘗試解決吧.（4×3+3×2+2×1= 20種）

在解決計數(shù)相關問題時，明確任務是很關鍵的第一步，有時可能會因為任務選定產(chǎn)生錯解.

例4 甲、乙、丙、丁4名同學分別報名參加學校的足球隊、籃球隊、乒乓球隊，每人限報其中的1個運動隊，不同的報名方法種數(shù)是多少？

有同學是這么想的，要想完成這件事分成三步，第一步給足球隊選人有4種選擇，第二步給籃球隊選人有3種選擇，第三步乒乓球隊有2種選擇，所以一共是4×3×2=24種，你認為對嗎？

我們檢驗一下他結論中的一個結果能不能完成任務，比如足球隊選了甲，籃球隊選了乙，乒乓球隊選了丁，那他的一個結果就是甲、乙、丁各選了一個項目，丙沒有項目，顯然沒有完成題目要求的任務.正確的一個結果應該是四個人都報了一個項目，所以完成這件事應該是以人為研究對象，分成四步，想象成填這樣一個表格：

在應用計數(shù)原理解題時我們不要慌亂，把自己想象成解決問題的人，冷靜分析任務，把你的解決方案抽象后對應于兩個原理.分類計數(shù)原理要求分類的每一種方法都能把事件獨立完成；應用分步計數(shù)原理則要求各步均是完成事件必須經(jīng)過的若干彼此獨立的步驟.一般是先分類后分步，分類要設計好標準，設計分類方案，防止重復或遺漏，分步時要注意步與步之間的連續(xù)性.