朱寶琳，崔世旭，戢守峰，邱若臻

(東北大學工商管理學院，遼寧 沈陽 110167)

1 引言

現(xiàn)代科技的快速發(fā)展在提高效率和縮短產(chǎn)品周期的同時，導致不確定性和風險的增加。如鋼鐵、石油等行業(yè)受經(jīng)濟和產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)等因素的影響，市場需求呈現(xiàn)隨機的特性。其供應(yīng)商(鐵礦石、原油)和制造商(煉鋼廠、煉油廠)受生產(chǎn)工藝等因素的影響，產(chǎn)出呈現(xiàn)不確定性。近年來，針對供應(yīng)鏈的產(chǎn)出和需求不確定性的研究受到相關(guān)學者的關(guān)注。如：Chung Wu Chenghan[1]研究了產(chǎn)出和需求不確定下由單一傳統(tǒng)設(shè)備制造商(OEM)、制造商和分銷商組成的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題。研究表明通過制造商與OEM的協(xié)調(diào)，使得制造商利潤增加，并能夠滿足分銷商的需求。Mehmet等[2]分析了供需不確定性對產(chǎn)出和成本的影響，表明供應(yīng)不確定下供應(yīng)鏈的成本更高，產(chǎn)量更少。Hu Fei[3]等研究了供需不確定下制造商和零售商之間的柔性訂貨策略，發(fā)現(xiàn)柔性訂貨策略下供應(yīng)鏈的總利潤更高，提出改進的收益共享契約實現(xiàn)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)。Keren[4]研究了基于報童模型的加法型和乘法型兩種產(chǎn)出不確定供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題，分析表明制造商可以通過設(shè)定最優(yōu)產(chǎn)量來實現(xiàn)利潤最大化，分銷商通過計算其最優(yōu)訂購量實現(xiàn)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)。Li Jian等[5]考慮了產(chǎn)需不確定下單一零售商和多個供應(yīng)商組成供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)問題，探討了零售商訂貨策略和供應(yīng)商定價決策的關(guān)系，通過供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)實現(xiàn)利潤最大化。Li Xiang等[6]研究了產(chǎn)需不確定的兩級供應(yīng)鏈模型，通過分析需求確定和不確定兩種情況，利用懲罰契約和批發(fā)價格契約實現(xiàn)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)。趙霞等[7]研究了產(chǎn)需不確定下制造商和零售商組成的兩級供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題，提出一種可協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈的收益和產(chǎn)出風險共享合同，實現(xiàn)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)。朱寶琳等[8]研究了基于供應(yīng)商、制造商隨機產(chǎn)出和零售商隨機需求的三級供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題，證明隨機產(chǎn)出和需求下運用風險共擔契約可以使分散期望利潤達到集中決策的水平。以上研究都是在假設(shè)供應(yīng)鏈成員風險中性下進行的，未能考慮風險偏好對決策者的影響。

現(xiàn)實中，決策者往往表現(xiàn)出風險偏好的特性。針對帶有風險偏好的供應(yīng)鏈的研究包括：楊磊等[9]研究了帶有兩種能力約束的零售商最優(yōu)訂購策略，分析了風險規(guī)避對訂購策略的影響。Ozgun等[10]研究了制造商數(shù)量折扣下零售商風險規(guī)避的價格問題，通過納什均衡理論分析了風險規(guī)避對決策的影響。Ma Lijun等[11]研究了零售商風險規(guī)避下兩級供應(yīng)鏈的討價還價問題，證明供應(yīng)鏈中存在基于批發(fā)價格和訂購量的納什均衡。Huynh等[12]研究了風險規(guī)避零售商的最優(yōu)價格策略，研究表明風險規(guī)避時零售商的最優(yōu)采購價格更低。Chen Xu等[13]研究了零售商風險規(guī)避下兩級供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)問題，分析了風險規(guī)避零售商最優(yōu)訂購量和零售價格之間的關(guān)系，通過期權(quán)契約實現(xiàn)了供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)。Chung和Lu Yuting[14]研究了兩個風險規(guī)避零售商和一個制造商組成的供應(yīng)鏈退貨策略問題，分析了風險規(guī)避等相關(guān)參數(shù)對制造商和零售商決策的影響。Xiao Tiaojun等[15]研究了風險規(guī)避制造商和零售商組成供應(yīng)鏈的定價和產(chǎn)品策略問題，分析了風險規(guī)避對定價和產(chǎn)品決策的影響。代建生和秦開大[16]研究了零售商風險規(guī)避下集中和分散情況的供應(yīng)鏈回購契約設(shè)計問題，分析零售商風險規(guī)避程度對契約設(shè)計和供應(yīng)鏈收益的影響。Hu Benyong等[17]研究了兩級和三級供應(yīng)鏈結(jié)構(gòu)下收益共享契約對供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)的影響，比較了風險中性和風險規(guī)避下零售商的訂貨策略和利潤。

契約機制是供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)的常用方法。針對供應(yīng)鏈的契約協(xié)調(diào)問題，學術(shù)界進行了大量研究[18-22]。相關(guān)研究表明單一契約不能解決多級供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)問題，如He Yong和Zhao Xuan[23]證明了單一批發(fā)價格契約不能協(xié)調(diào)三級供應(yīng)鏈，提出回購和批發(fā)價格組合契約可以實現(xiàn)供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)。上述研究一般采用單一契約進行供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)。本文針對不確定條件下零售商風險規(guī)避的三級供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題，分別建立了集中和分散的最優(yōu)決策模型，通過設(shè)計風險共擔和GL組合契約對三級供應(yīng)鏈進行協(xié)調(diào)。本文討論了風險規(guī)避對供應(yīng)鏈期望效用和訂購量的影響，分析了風險規(guī)避對供應(yīng)鏈期望效益的影響。探討并證明了組合契約協(xié)調(diào)問題及契約參數(shù)之間的關(guān)系。最后通過算例驗證了模型和契約協(xié)調(diào)的有效性。

2 問題描述與研究假設(shè)

2.1 問題定義與描述

本文考慮單一供應(yīng)商、制造商和零售商組成的三級供應(yīng)鏈，成員以自身利益最大化為目標?？紤]生產(chǎn)中受到不確定因素的影響，假設(shè)供應(yīng)商和制造商的產(chǎn)出不確定。如圖1所示：

圖1 零售商風險規(guī)避情況下產(chǎn)需不確定三級供應(yīng)鏈結(jié)構(gòu)圖

供應(yīng)商的原材料的投入量為L，實際產(chǎn)出量為αL，α為非負隨機變量，分布函數(shù)是H(z)，概率密度函數(shù)是h(z)，假設(shè)h(z)分布在區(qū)間[A,B]，0

(1)

其中，π是零售商的利潤，π0是初始點。λ是風險規(guī)避系數(shù)，λ>1代表零售商為風險規(guī)避，并且λ值越大，風險規(guī)避程度越高。λ=1代表零售商為風險中性。

2.2 符號與參數(shù)說明

參數(shù)含義P零售商銷售價格wm制造商單位產(chǎn)品的批發(fā)價格ws供應(yīng)商單位產(chǎn)品的批發(fā)價格Sp制造商二級市場購買價格Cp供應(yīng)商二級市場購買價格D市場需求F(x)市場需求的分布函數(shù),F(x)=1-F(x)f(x)市場需求的概率密度函數(shù)μ3市場需求的均值σ市場需求的標準差α供應(yīng)商隨機產(chǎn)出因子(α≥0)H(z)α的分布函數(shù)h(z)α的概率密度函數(shù)μ1α的均值v制造商隨機產(chǎn)出因子G(y)v的分布函數(shù)g(y)v的概率密度函數(shù)μ2v的均值β制造商的收益共享比例γ制造商的損失分擔比例L供應(yīng)商的原材料投入量R制造商的投入量Q零售商的訂購量Cr零售商的銷售成本Cm制造商的制造成本Cs供應(yīng)商的生產(chǎn)成本Vr零售商剩余產(chǎn)品的殘值Vs供應(yīng)商剩余產(chǎn)品的殘值g零售商的缺貨成本πT供應(yīng)鏈整體利潤πs供應(yīng)商的利潤πm制造商的利潤πr零售商的利潤a供應(yīng)商現(xiàn)貨市場購買單位補償b供應(yīng)商對制造商剩余產(chǎn)品的單位補償c制造商現(xiàn)貨市場購買單位補償d制造商剩余原材料單位補償Δ缺貨成本和過量成本差

3 分散供應(yīng)鏈最優(yōu)決策模型

3.1 風險規(guī)避零售商決策模型

零售商的利潤函數(shù)表示為：

Πr=Pmin(Q,D)+Vr(Q-D)+-g(D-Q)+-Q(wm+Cr)

(2)

第一項代表零售商的銷售收入，第二項代表殘值收入，第三項代表缺貨成本，第四項代表購買成本和銷售成本。零售商期望利潤函數(shù)為：

E(πr)=PS(Q)+Vr[Q-S(Q)]-g[μ3-S(Q)]-(Cr+Wm)Q=(P+g-Vr)S(Q)+(Vr-Wm-Cr)Q-gμ3

(3)

E(πr)=

令π1π2為零，可以得到市場需求D的臨界值：

當D≤D1或D>D2時，E(πr)<0；D10。零售商的期望利潤函數(shù)可表示為：

(4)

定理1分散情況下存在唯一的Q使零售商的期望利潤最大，且滿足：

(5)

證明 在(4)式中對Q分別求一階和二階偏導可得：

由一階偏導為零可得式(5)。由二階偏導小于零可知，存在唯一的Q使零售商的期望利潤最大。定理1得證。

定理2Δ>0時，Q隨著λ的增大而增大，零售商風險規(guī)避時的最優(yōu)訂購量大于風險中性時的最優(yōu)訂購量；Δ<0時，Q隨著λ的增大而減小，零售商風險規(guī)避時的最優(yōu)訂購量小于風險中性時的最優(yōu)訂購量。

3.2 制造商決策模型

制造商的利潤函數(shù)表示為：

Πm=WmQ+Vm(vR-Q)+-Sp(Q-vR)+-CmR-WsR

(6)

第一項表示制造商的銷售收入，第二項表示殘值收入，第三項表示從現(xiàn)貨市場購買產(chǎn)品的成本，第四項表示制造成本，第五項表示從供應(yīng)商的采購成本。制造商期望利潤函數(shù)為：

E(πm)=(Wm-Sp)Q+(Sp-Vm)S(R,Q)-(Ws+Cm-Vmμ2)R

(7)

其中：

定理3在分散情況下存在唯一的R使制造商的期望利潤最大化。并且R滿足條件：

(8)

證明 對其分別求一階和二階偏導可得：

由二階偏導小于零，可知存在唯一的R使制造商的期望利潤最大。令一階導為零，可得式(8)。定理3得證。

3.3 供應(yīng)商決策模型

供應(yīng)商的利潤函數(shù)表示為：

Πs=WsR+Vs(αL-R)+-Cp(R-αL)+-CsL

(9)

第一項表示供應(yīng)商的銷售收入，第二項表示殘值收入，第三項表示從現(xiàn)貨市場購買原材料的成本，第四項表示生產(chǎn)成本。供應(yīng)商期望利潤函數(shù)為：

E(πs)=(Ws-Cp)R-(Cs-Vsμ1)L+(Cp-Vs)S(L,R)

(10)

其中：

定理4在分散情況下存在唯一的L使供應(yīng)商的期望利潤最大。并且L滿足條件：

(11)

證明 對其分別求一階和二階偏導可得：

由二階偏導小于零，可知存在唯一的L使供應(yīng)商的期望利潤最大。令一階偏導為零，得到式(11)。定理4得證。

4 集中供應(yīng)鏈最優(yōu)決策模型

集中情況下，供應(yīng)鏈中各成員是一個整體，以實現(xiàn)供應(yīng)鏈的整體利潤最大化為目標。集中情況下的供應(yīng)鏈利潤函數(shù)可表示為：

∏T=pmin(Q,D)+Vr(Q-D)++Vm(vR-Q)++Vs(αL-R)+-g(D-Q)+-Sp(Q-vR)+-Cp(R-αL)+-CrQ-CmR-CsL

(12)

式(12)表示零售商的銷售收入、零售商的殘值收入、制造商的殘值收入、供應(yīng)商的殘值收入、零售商的缺貨成本、制造商在現(xiàn)貨市場購買產(chǎn)品的成本、供應(yīng)商在現(xiàn)貨市場購買原材料的成本、零售商的銷售成本、制造商的制造成本、供應(yīng)商的生產(chǎn)成本之和。集中情況下供應(yīng)鏈的期望利潤函數(shù)為：

E(πT)=PS(Q)+Vr[Q-S(Q)]+Vm[μ2R-S(R,Q)]+Vs[μ1L-S(L,R)]-g[μ3-S(Q)]-Sp[Q-S(R,Q)]-Cp[R-S(L,R)]-CrQ-CmR-CsL=(P+g-Vr)S(Q)-(Vm-Sp)S(R,Q)-(Vs-Cp)

S(L,R)+(Vr-Sp-Cr)Q+(Vmμ2-Cm-Cp)R+(Vsμ1-Cs)L-gμ3

(13)

定理5集中情況下存在唯一的Q、R、L使供應(yīng)鏈的期望利潤最大。且滿足條件：

(14)

證明 分別對Q、R、L求一階和二階偏導可得海賽矩陣如下：

|H3(L,R,Q)|<0

5 零售商風險規(guī)避的供應(yīng)鏈組合契約模型

針對單一契約協(xié)調(diào)三級供應(yīng)鏈存在的不足，本文引入風險共擔和GL組合契約對供應(yīng)鏈進行協(xié)調(diào)。風險共擔契約采用單位價格補貼的方式，使供應(yīng)鏈成員互相分擔產(chǎn)出和需求的風險。GL(Gain/Loss)契約是改進后的收益共享契約，考慮供應(yīng)鏈成員的收益和損失兩種情況，具有較好的協(xié)調(diào)特性[24-25]。本文的契約機制具體描述為：①制造商和零售商之間運用GL契約，參數(shù)為(β,γ)。β為制造商對零售商的收益共享比例，γ為制造商對零售商損失的分擔比例。零售商的收益比例為(1-β)，承擔的損失比例為(1-γ)。②供應(yīng)商和制造商之間運用風險共擔契約。若制造商生產(chǎn)的數(shù)量vRQ，制造商因為生產(chǎn)過多而產(chǎn)生額外的成本，供應(yīng)商給予每單位b的補償。③若供應(yīng)商的生產(chǎn)數(shù)量αLR，供應(yīng)商因為生產(chǎn)過多而產(chǎn)生額外的成本，制造商給予每單位d的補償。

5.1 契約協(xié)調(diào)下零售商風險規(guī)避決策模型

契約協(xié)調(diào)下零售商的收益函數(shù)為：

(15)

契約協(xié)調(diào)下零售商損失函數(shù)為：

(16)

契約協(xié)調(diào)下零售商的期望收益函數(shù)為：

E[U(πr)]=(1-β)G(x,Q)+λ(1-γ)L(x,Q)=(1-β)E(πr)+[λ(1-γ)-(1-β)]L(x,Q)

(17)

定理6契約協(xié)調(diào)下的零售商最優(yōu)訂購量滿足：

( 18)

證明 在式(17)中分別對Q求一階和二階偏導可得：

對于Q來說，E[U(Πr)]是凹函數(shù)。令一階導數(shù)為零，可得式(18)。定理6得證。

5.2 契約協(xié)調(diào)下制造商決策模型

契約協(xié)調(diào)下制造商的利潤函數(shù)可表示為：

Πm=WmQ+Vm(vR-Q)+-Sp(Q-vR)++a(Q-vR)++b(vR-Q)++βG(x,Q)+γL(x,Q)-c(R-αL)+-d(αL-R)+-(Cm+Ws)R

(19)

契約協(xié)調(diào)下制造商的期望利潤函數(shù)為：

E(πm)=WmQ+Vm[μ2R-S(R,Q)]-Sp[Q-S(R,Q)]+a[Q-S(R,Q)]+b[μ2R-S(R,Q)]+βG(x,Q)+γL(x,Q)-c[R-S(L,R)]-d[μ1L-S(L,R)]-(Cm+Ws)R=(Wm-Sp+a)Q+(Vmμ2+bμ2-c-Cm-Ws)R-(Vm-Sp+a+b)S(R,Q)+(c+d)S(L,R)+βG(x,Q)+γL(x,Q)-dμ1L

(20)

分別對R求一階和二階偏導可得：

5.3 契約協(xié)調(diào)下供應(yīng)商決策模型

契約協(xié)調(diào)下供應(yīng)商的利潤函數(shù)可表示為：

Πs=WsR+Vs(αL-R)+-Cp(R-αL)++c(R-αL)++d(αL-R)+-a(Q-vR)+-b(vR-Q)+-CsL

(21)

契約協(xié)調(diào)下供應(yīng)商的期望利潤函數(shù)為：

E(πs)=WsR+Vs[μ1L-S(L,R)]-Cp[R-S(L,R)]+c[R-S(L,R)]+d[μ1L-S(L,R)]-a[Q-S(R,Q)]-b[μ2R-S(R,Q)]-CsL=(Ws-Cp+c-bμ2)R+(Vsμ1+dμ1-Cs)L-(Vs-Cp+c+d)S(L,R)+(a+b)S(R,Q)-aQ

(22)

分別對L求一階和二階偏導可得：

(23)

(24)

定理7滿足下式的GL和風險共擔組合契約可以實現(xiàn)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)：

(25)

證明 當供應(yīng)鏈各成員的期望利潤函數(shù)是集中情況下供應(yīng)鏈利潤函數(shù)的仿射函數(shù)時，即契約協(xié)調(diào)下各成員的決策變量系數(shù)和集中情況下的決策變量系數(shù)成比例，供應(yīng)鏈能夠?qū)崿F(xiàn)協(xié)調(diào)。可以得出以下條件：

(26)

6 數(shù)值與算例分析

假設(shè)供應(yīng)商和制造商的隨機產(chǎn)出服從均勻分布，市場需求服從正態(tài)分布。參數(shù)值為：P=17，g=5，cs=3，cm=2，cr=2.5，vs=2.8，vr=4，vm=4，μ3=1000，σ=200，μ1=0.8，μ2=0.8，Sp=8.5，Cp=4，Wm=8，Ws=4。契約參數(shù)如表1所示：

表1 契約參數(shù)

表2 不同情況下的期望利潤

通過計算可以得出集中、分散和契約協(xié)調(diào)下的供應(yīng)鏈利潤(如表2所示)，從表2中可以看出，集中情況下的供應(yīng)鏈總利潤大于分散情況下的供應(yīng)商、制造商和零售商的利潤之和，契約協(xié)調(diào)后的供應(yīng)鏈總利潤和集中情況下的利潤基本相同。算例證明了契約協(xié)調(diào)的有效性。

圖2和圖3表示風險規(guī)避程度對零售商的訂購量和期望利潤的影響。圖2顯示Δ>0時，零售商的訂購量隨著λ的增大而增大，這是由于零售商為了減少缺貨成本增加訂購量；圖3顯示Δ<0時，零售商的訂購量隨著λ的增大而減小，這是由于零售商為了減少過量成本減少訂購量。兩種情況下零售商的期望利潤都隨著λ的增大而減小，表明零售商的期望利潤隨著風險規(guī)避程度的增加而減小，且小于風險中性時的期望利潤。

圖4顯示Δ>0時，零售商的最優(yōu)訂購量隨著風險規(guī)避程度的增加而增加。圖5顯示Δ<0時，零售商的最優(yōu)訂購量隨著風險規(guī)避程度的增加而減少。從圖4和圖5中可以看出：①隨著風險規(guī)避程度的增加，零售商期望利潤的下降趨勢加快。②風險規(guī)避的期望利潤小于風險中性的期望利潤，存在最優(yōu)的訂購量使得零售商的利潤最大化。

圖2 Δ>0,λ 對零售商訂購量和利潤的影響

圖3 Δ<0,λ 對零售商訂購量和利潤的影響

圖4 Δ>0, Q和期望利潤之間的關(guān)系

圖5 Δ<0, Q和期望利潤之間的關(guān)系

圖6顯示其他參數(shù)不變的情況下，分散和集中情況下的供應(yīng)鏈成員的訂購量隨著σ值的增大而增大，即隨著市場需求不確定性的增加而增加。圖7顯示分散和集中情況下供應(yīng)鏈的總利潤隨著σ的增大而減小。

圖6 市場需求不確定對供應(yīng)鏈決策的影響

圖7 市場需求不確定對期望利潤的影響

圖8顯示分散情況下供應(yīng)商和制造商的生產(chǎn)投入量隨著μ2的增加而增加，集中情況下供應(yīng)鏈各成員的訂購量也隨著μ2的增加而增加。圖9顯示分散和集中兩種情況下制造商的利潤和供應(yīng)鏈的期望利潤隨著的增加而增加。

圖8 制造商生產(chǎn)不確定對供應(yīng)鏈決策的影響

圖9 制造商生產(chǎn)不確定對期望利潤的影響

圖10顯示分散情況下供應(yīng)商的最優(yōu)投入量和集中情況下供應(yīng)鏈各成員的訂購量隨著μ1的增加而增加。圖11顯示分散和集中兩種情況下供應(yīng)鏈的期望利潤隨著μ1的增加而增加。

圖10 供應(yīng)商生產(chǎn)不確定對供應(yīng)鏈決策的影響

圖11 供應(yīng)商生產(chǎn)不確定對期望利潤的影響

7 結(jié)語

本文研究了零售商風險規(guī)避下三級產(chǎn)需不確定供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題。建立了分散、集中和契約協(xié)調(diào)下的最優(yōu)決策模型。運用GL和風險共擔組合契約對供應(yīng)鏈進行協(xié)調(diào)，最終實現(xiàn)了帕累托改進。通過數(shù)值和算例分析，得出以下結(jié)論：①供應(yīng)鏈的期望利潤隨著市場需求不確定性的增加而減少。②供應(yīng)鏈的期望利潤隨著制造商和供應(yīng)商隨機產(chǎn)出因子的增加而增加。③零售商的期望利潤隨著風險規(guī)避程度的增加而減少。零售商訂購量隨著風險規(guī)避的增加而變化。其中Δ>0時，零售商的最優(yōu)訂購量隨著風險規(guī)避程度的增加而增加；Δ<0時，零售商的最優(yōu)訂購量隨著風險規(guī)避程度的增加而減小。

本文僅研究了產(chǎn)需不確定下單一零售商風險規(guī)避的供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)問題。針對供應(yīng)商和制造商均帶有風險偏好的多風險多級供應(yīng)鏈契約協(xié)調(diào)問題有待進一步研究。