高 偉，郭思圻，鄭佳偉

（西安財經(jīng)學院 統(tǒng)計學院，西安 710100）

0 引言

傳統(tǒng)的Granger因果性檢驗方法基于時間不變模型，不能捕捉時間序列的動態(tài)行為。近年來，時變Granger因果性的研究得到了發(fā)展，Ding等（2000）[1]假設序列在短期時間段是平穩(wěn)的，研究了模型擬合算法得到時變Granger因果性。Hesse等（2003）[2]基于自適應遞歸擬合帶有時變參數(shù)的VAR模型，用遞歸最小二乘算法，研究了Granger因果性的線性遞歸時變估計。Li等（2012）[3]提出的時變Granger因果性線性估計方法允許檢測瞬時因果聯(lián)系，推廣了Granger因果性的非線性參數(shù)方法，研究多維時間序列時變因果聯(lián)系。Zhao等（2013）[4]引入基于參數(shù)的建模方法描述時變線性和非線性Granger影響，追蹤其隨時間的變化，進行模型選擇和預測。Lu等（2014）[5]提出了時變Granger因果性檢驗統(tǒng)計量，檢驗單向、雙向和同期因果影響，用于檢測全球原油市場的時變信息流動，但僅是關于兩個序列之間的檢驗，沒有考慮到其他變量的影響。而國內關于動態(tài)因果關系研究較少，本文主要研究動態(tài)直接Granger因果性的檢驗方法，將兩個序列間的Granger因果性推廣到多維時間序列情形，檢驗給定其他序列條件下序列間的直接Granger因果關系。

1 時變偏Granger因果關系

1.1 時變偏Granger因果關系定義

定義1：設p維時間序列Xt= （X1，t，X2，t，…Xp，t）′，t=1，2，…，T?？紤]分量序列Xi，t和Xj，t，i，j∈{1 ，2，…p}之間的偏Granger因果關系，假設：

其中為 在t-1時刻 ，序 列{Xm，t}，m=1，…，j-1，j+1，…，p所包含的的信息集是給定t-1時刻的信息條件下Xi，t的條件期望；ui，t為殘差序列。

定義t時刻uj，t對ui，t,ui，t對uj，t的滯后k∈{0，1，2，…}（非負整數(shù)）階偏相關系數(shù)如下：

（1）如果 ?k，使得ρij，t（k）≠0 ，則在t時刻Xj是Xi的偏Granger原因，稱Xj和Xi之間存在單向偏Granger因果關系，記為Xj→Xi。

（2）如果 ?k，使得ρji，t（k）≠0 ，則在t時刻Xi是Xj的偏Granger原因，稱Xi和Xj之間存在單向偏Granger因果關系，記為Xi→Xj。

（3）如果 ?k，l，使得ρij，t（k）≠0 ，ρji，t（l）≠ 0,則在t時刻Xj與Xi有雙向時變偏Granger因果關系記為Xi?Xj。

由定義1的式（1）和式（2），對于考慮Xi，t和Xj，t之間的偏Granger因果關系，殘差ui，t為去掉除Xj，t外其他變量過去值的影響后，序列Xi，t的殘差；殘差uj，t為去掉除Xi，t外其他變量過去值的影響后，序列Xj，t的殘差。如果給定所有其他變量條件下，Xj，t的過去對Xi，t有影響，則這部分信息將包含在殘差ui，t中，導致殘差序列ui，t和uj，t之間存在相關關系。如果給定所有其他變量條件下，Xi，t的過去對Xj，t有影響，則這部分信息將包含在殘差uj，t中，導致殘差序列uj，t和ui，t之間存在相關關系。

1.2 時變偏Granger因果關系檢驗

考慮Xi，t和Xj，t，i，j∈{1 ， 2，…p}之間的時變偏Granger因果關系，根據(jù)定義1，需要計算t時刻隨機變量ui，t和uj，t之間的相關系數(shù)。由于時間序列數(shù)據(jù)的特殊性，在一個時刻只有一個觀測值，對于平穩(wěn)時間序列，t時刻隨機變量的統(tǒng)計量常結合t時刻前后觀測值來進行估計，即選擇合適的時間區(qū)間[t-S+1，t]內的觀測值，計算樣本統(tǒng)計量。

另外一個需要考慮的問題是滯后值k∈{0，1，2，…}（非負整數(shù)）的選擇，由于觀測時間的影響，不可能得到所有滯后階數(shù)上的樣本相關系數(shù)，只能根據(jù)一部分滯后階數(shù)的結果進行判斷。一般考慮構造一段滯后值（如k=1，2，…S-1階）上的相關系數(shù)的函數(shù)作為檢驗統(tǒng)計量推斷Granger因果關系[6]。下面介紹具體方法和步驟。

不失一般性，假設要檢驗分量序列X1，t和X2，t之間的時變偏Granger因果關系，由定義1，首先建立VAR（q）模型，其中q為給定的最大滯后值：

分別得到X1，t和X2，t給定其他分量序列（分別為除X2，t和X1，t外）滯后影響下的標準化殘差序列u1，t和u2，t，t=1，2，…，T。

為判斷時變Granger因果性，Hong（2001）[6]提出Rolling子樣本上的Hong檢驗方法，本文將的方法應用到時變偏Granger因果性的檢驗。

對于選定的子樣大小參數(shù)S，S＜T，計算抽樣區(qū)間[t-S+1，t] 內u1，t和u2，t的滯后k階樣本互協(xié)方差：

計算u2，t對u1，t的滯后k階樣本互相關系數(shù)：

u1，t對u2，t的滯后k階樣本互相關系數(shù)：

其中C11，t（0，S），C22，t（0，S）為u1，t和u2，t的子樣本方差，r12，t（k，S），r21，t（k，S）稱為Rolling偏相關系數(shù)。

Hong（2001）[6]證明，如果序列u1，t和u2，t是相互獨立的且存在2階矩，則：

基于以 上定義的 Rolling 偏相關系數(shù)r12，t（k，S）和r21，t（k，S），構造 Rolling Hong 檢驗統(tǒng)計量，定義t時刻X2→X1的單向Rolling Hong檢驗，判斷單向時變偏Granger因果關系：

定義t時刻X1→X2的單向rolling Hong檢驗統(tǒng)計量：

定義t時刻X2?X1的雙向Rolling Hong檢驗，判斷雙向時變偏Granger因果關系：

其中K（x）是核函數(shù)，M是一個正整數(shù),C1S（K），D1S（K），C2S（K）和D2S（K）按下面方法估計[7]：

Hong（2001）[6]證明，在合適的正則化條件下，如果序列X1，t和X2，t相互獨立，則Rolling Hong檢驗統(tǒng)計量服從漸近正態(tài)分布。可以證明，類似的結果對于本文的偏相關統(tǒng)計量仍然成立，即：

根據(jù)文獻[7]，本文實證研究中核函數(shù)選擇Barttlett內核：

Hong（2001）[6]指出,Rolling樣本S的大小影響檢驗的有效性，并提出用Belle（2008）[7]的方法計算S，本文采用同樣的方法選擇S=100。

綜合上述結果，時變偏Granger因果關系的檢驗步驟如下：

步驟1:建立VAR模型，計算模型的標準化殘差；

步驟2:計算ui，t的滯后k階相關系數(shù)ri，t，i=1，2 ；

步驟3:根據(jù)確定的子樣大小參數(shù)S，核函數(shù)K（x）和參數(shù)M，計算時變偏Granger因果關系檢驗統(tǒng)計量和的值；

步驟4:判斷t時刻因果關系的存在性，顯著性水平α=0.01，若（S）＞ 2.33，i=1，2;（S）＞2.33，則稱t時刻對應的單向（雙向）偏Granger因果關系是顯著的。

2 實證

2.1 數(shù)據(jù)來源及預處理

本文選取2010年1月5日至2015年7月23日上證指數(shù)、深證指數(shù)、恒生指數(shù)的日收盤價數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)，共1345組數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來自于搜狐財經(jīng)。

用Pt表示第t天股票市場的收盤價格，計算每日對數(shù)收益率Rt：

圖1 上證股市、深證股市和香港股市日收益率數(shù)據(jù)圖

從三個股市的日對數(shù)收益率序列圖1可以看出，上證股市、深證股市和香港股市的日收益率波動整體上不是太大，在2015年之后有一段時間的大幅度波動。

2.2 時變偏Granger因果關系檢驗

用提出的偏Granger因果關系檢驗方法對上證股市、深證股市、香港股市的日收益率進行分析。并且和Rolling Hong基于兩個序列的檢驗結果進行比較。結果見圖2。

圖2 時變Granger因果關系檢驗結果

觀察圖2中數(shù)據(jù)的結果，可以發(fā)現(xiàn)：

（1）上證綜指與恒生指數(shù)的Roling Hong檢驗的結果與時變偏Granger因果關系檢驗的結果相比，由圖2（a）可以發(fā)現(xiàn)運用時變偏Granger因果關系檢驗方法檢驗的上證綜指對恒生指數(shù)的單向因果關系比運用Rolling Hong檢驗方法所檢驗出的結果要小很多。圖2（b）和（c）表明恒生指數(shù)對上證綜指的單向因果關系、兩指數(shù)的雙向因果關系都沒有明顯的不同。結合圖2（f），上證綜指和深證成指有著顯著的雙向因果關系，所以，當在研究上證綜指與恒生指數(shù)之間的因果關系時，深證成指是一個很大的影響因素。當剔除掉深證成指的影響之后，上證綜指對恒生指數(shù)的單向因果關系不再顯著，表明兩個序列的因果關系檢驗結果收到第三個變量的影響，而時變偏Granger因果檢驗可以剔除其他變量的影響，更客觀反映兩個變量之間的直接關系。

（2）圖2（d）、（e）、（f）表明上證綜指與深證成指的Rolling Hong檢驗的結果與時變偏Granger因果關系檢驗的結果基本相同，沒有特別明顯的變化，說明滬深股市的變化受香港股市等外來因素的影響很小，和朱宏泉等（2001）[8]的研究結果一致。

（3）深證成指與恒生指數(shù)的Roling Hong檢驗的結果與時變偏Granger因果關系檢驗的結果相比和上證綜指與恒生指數(shù)的結果相似，此處略去。

3 結論

本文引入了偏相關的方法，將Lu等（2014）[5]提出的兩個序列間時變Granger因果關系的rolling Hong檢驗方法進行推廣，研究兩個時間序列給定所有其他分量序列條件下的動態(tài)Granger因果關系。應用到中國股市的結果表明，時變偏相關Granger因果關系檢驗得到的結果均比Rolling Hong檢驗研究出的結果要穩(wěn)定，時變偏Granger因果關系檢驗方法相對于傳統(tǒng)原始的Granger因果關系檢驗，剔除了其他變量的影響，研究兩個序列之間直接的動態(tài)Granger因果關系。