喬惠嬌， 王洪雁， 裴炳南

(大連大學(xué)遼寧省北斗高精度位置服務(wù)技術(shù)工程實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116622)

0 引言

近年來，隨著多輸入多輸出(Multi-Input Multi-Output,MIMO)通信的蓬勃發(fā)展，以及雷達(dá)為突破自身限制對新理論、新技術(shù)的需求，MIMO雷達(dá)概念應(yīng)運(yùn)而生[1]。與只能發(fā)射相干波形的相控陣?yán)走_(dá)相比，MIMO雷達(dá)可利用多個發(fā)射單元發(fā)射幾乎任意波形。按照天線距離的不同，MIMO雷達(dá)可分為分布式MIMO雷達(dá)和集中式MIMO雷達(dá)[2]。分布式MIMO雷達(dá)相鄰陣元間有較大間距，可從不同角度對目標(biāo)進(jìn)行檢測，從而可利用空間分集提高目標(biāo)檢測性能[3-4]；相反地，集中式MIMO雷達(dá)相鄰接收陣元之間間距較近，因此只能從某個角度對目標(biāo)進(jìn)行觀測，以獲得更多系統(tǒng)自由度，進(jìn)而可改善角度分辨力、參數(shù)辨識能力、參數(shù)估計(jì)精度，以及干擾抑制性能[5]。

MIMO雷達(dá)研究領(lǐng)域中，波形優(yōu)化一直是非?；钴S的方向之一。MIMO雷達(dá)波形優(yōu)化問題通?？蓺w納為如下兩種類型：只考慮發(fā)射端波形優(yōu)化，以及聯(lián)合優(yōu)化發(fā)射波形及接收權(quán)。FRIEDIANDER首先通過設(shè)計(jì)發(fā)射波形以最大化輸出信干噪比(SINR)進(jìn)而改善MIMO雷達(dá)檢測性能[6]。然而，其基于梯度算法求解所得優(yōu)化問題，不能保證SINR在每次迭代中不減，進(jìn)而不能確保收斂。針對此問題，CHEN提出一種接收權(quán)及發(fā)射波形聯(lián)合優(yōu)化的迭代算法，所提算法可保證迭代中每一步不減，進(jìn)而可確保迭代收斂[7]。

為了提高M(jìn)IMO雷達(dá)檢測性能，眾多基于空時自適應(yīng)處理(Space-Time Adaptive Processing,STAP)技術(shù)的MIMO雷達(dá)檢測算法相繼被提出[8-9]。STAP技術(shù)具有同時抑制雜波和干擾的特性，既可實(shí)現(xiàn)與復(fù)雜外界環(huán)境的有效匹配，又可在一定程度上補(bǔ)償系統(tǒng)誤差造成的影響，因而可顯著改善雷達(dá)系統(tǒng)性能[10]?；诖耍琖ANG等深入研究了MIMO-STAP雜波秩與發(fā)射波形的關(guān)系，并給出確定雜波秩的準(zhǔn)則[11];此外，WANG等通過設(shè)計(jì)發(fā)射波形以改善MIMO-STAP檢測性能[12];然而，上述文獻(xiàn)僅考慮通過優(yōu)化發(fā)射端以改善MIMO-STAP檢測性能。眾所周知，在傳統(tǒng)相控陣系統(tǒng)中可通過設(shè)計(jì)接收權(quán)改善STAP檢測性能[13];因此，可以綜合發(fā)射波形及接收權(quán)的優(yōu)勢以改善MIMO-STAP檢測性能，文獻(xiàn)[14-15]只討論了理想環(huán)境下發(fā)射波形和接收權(quán)聯(lián)合優(yōu)化問題，而未同時考慮抑制雜波、降低旁瓣等問題。

針對上述問題，本文考慮通過聯(lián)合優(yōu)化發(fā)射波形及接收權(quán)值以改善MIMO-STAP檢測性能?？梢宰C明，高斯噪聲條件下最大化檢測概率等價于最大化輸出SINR[16]。因此，基于最大化輸出SINR準(zhǔn)則，本文在發(fā)射波形恒模特性、抑制雜波及降低旁瓣等約束下構(gòu)建發(fā)射波形及接收權(quán)聯(lián)合優(yōu)化問題以最大化輸出SINR進(jìn)而改善MIMO-STAP檢測性能。為求解所得復(fù)雜非線性問題，本文提出一種基于迭代的方法以交替優(yōu)化發(fā)射波形及接收權(quán)。需要注意的是，所提方法中的每一步都可轉(zhuǎn)化為半定規(guī)劃(SDP)問題，從而可以獲得高效求解。

1 問題提出

MIMO-STAP雷達(dá)可建模如下：收發(fā)陣列均是均勻線陣，接收陣元和發(fā)射陣元個數(shù)分別為N和M，收發(fā)間距分別為dR和dT，且均平行分布。雷達(dá)平臺沿收發(fā)陣列方向勻速直線飛行，且脈沖間隔為T。在此場景下，本節(jié)將首先分別對目標(biāo)、雜波及噪聲進(jìn)行建模。

考慮目標(biāo)信號模型。記發(fā)射信號矩陣為S=(s1>s2>…>sM)T，其中，sm∈CK×1表示第m個發(fā)射單元的波形樣本，K為樣本數(shù)，則第l個脈沖下的目標(biāo)接收信號可表示為[17]

Yl=αtej 2 π fD labTS

(1)

式中：fD=2(vsinθt+vt)T/λ為目標(biāo)多普勒頻率,v和vt分別表示該雷達(dá)站和目標(biāo)相對于MIMO雷達(dá)的速度；αt和θt分別表示目標(biāo)信號的復(fù)振幅和位置；a=(1ej 2π fs…ej2 π(N-1)fs)T為目標(biāo)接收導(dǎo)向矢量;b=(1ej 2 π γ fs…ej 2π(M-1)γ fs)T為目標(biāo)發(fā)射導(dǎo)向矢量,γ=dT/dR,fs=dR·sinθt/λ為目標(biāo)空間頻率,λ為載波波長。

基于矢量化公式vec(ABC)=(CT?A)vec(B)，且若x，y為向量，則vec(xyT)=y?x，可得目標(biāo)信號矢量化輸出為

yl=αtej 2π fDl(ST?IN)(b?a)

(2)

式中：yl=vec(Yl)；?表示Kronecker積；IN表示N×N單位矩陣。

χt=αtd?(ST?IN)(b?a)

(3)

式中,d=(1ej 2 π fD>…ej 2 π(L-1) fD)T為目標(biāo)多普勒導(dǎo)向矢量。

根據(jù)Kronecker積性質(zhì)(A?B)(C?D)=(AC)?(BD)，式(3)可改寫為

χt=α0(IL?ST?IN)(d?b?a)=α0Xut(θt)

(4)

式中：X=IL?ST?IN;ut(θt)=d?b?a為目標(biāo)空時頻導(dǎo)向矢量。

在接收端需要對接收信號進(jìn)行濾波處理以得到目標(biāo)檢測充分統(tǒng)計(jì)量。則基于式(4)，可得濾波器輸出為

Υ=αtwHXut(θt)

(5)

式中,w∈CNKL×1為濾波系數(shù)。

由式(5)可知，目標(biāo)信號輸出功率可表示為

(6)

與目標(biāo)信號類似，本文考慮系統(tǒng)接收雜波信號建模，雜波可建模為NC個雜波塊的疊加，則L個CPI脈沖條件下雜波可表示為[18]

(7)

式中：αc和θc分別表示雜波信號的復(fù)振幅和位置;uc(θc)=dc?bc?ac為雜波空時頻導(dǎo)向矢量;ac=(1ej 2 π fs,c…ej 2 π(N-1)fs,c)T為雜波接收導(dǎo)向矢量，bc=(1ej 2 π γ fs,c…ej 2 π(M-1) γ fs,c)T為雜波發(fā)射導(dǎo)向矢量，fs,c=dRsinθc/λ為雜波空間頻率，dc=(1ej 2 π fD,c…ej 2 π(L-1) fD,c)T為雜波多普勒導(dǎo)向矢量,fD,c=2vTsinθc/λ為雜波多普勒頻率；Γ(l)∈CLKN×LKN為雜波延遲矩陣[18]。

類似地，接收端對雜波進(jìn)行濾波處理可得

(8)

式中,w∈CNKL×1為濾波系數(shù)。

由式(8)可知，位于θc的雜波輸出功率為

(9)

下面考慮系統(tǒng)噪聲建模，噪聲可建模為高斯白噪聲[16]，則L個CPI脈沖條件下的噪聲可表示為

z=(vecT(Z1)>vecT(Z2)>…>vecT(ZL))T

(10)

可以證明，高斯噪聲條件下最大化檢測概率等價于最大化輸出SINR[16]。則基于上述目標(biāo)、雜波及噪聲模型，MIMO-STAP輸出SINR可表示為[19]

(11)

工程實(shí)際中，雷達(dá)射頻放大器通常工作在過飽和狀態(tài),使得發(fā)射波形呈現(xiàn)恒模特性從而避免非線性效應(yīng)[20]。恒模約束為：將波形S每個元素模數(shù)約束為常數(shù)，通?？赏ㄟ^相位編碼實(shí)現(xiàn)，即

(12)

式中,φi表示發(fā)射波形s(i)的相位。

需要注意的是，實(shí)際應(yīng)用中，為改善系統(tǒng)檢測性能，不僅要考慮降低雜波功率，還需考慮旁瓣抑制問題[21]。若旁瓣較高，會掩蓋附近弱小目標(biāo)，從而造成檢測概率下降。因此，本文需要通過收發(fā)聯(lián)合設(shè)計(jì)將旁瓣與雜波均限定在給定閾值內(nèi)。

基于以上討論可知，在恒模約束、旁瓣及雜波抑制條件下，最大化輸出SINR以提高M(jìn)IMO-STAP檢測概率的發(fā)射波形及接收權(quán)值聯(lián)合優(yōu)化問題可表示為[22]

(13)

式中：Θc為雜波范圍；Θs為旁瓣范圍；μ和σ分別為旁瓣水平和雜波水平閾值。

由于發(fā)射波形S為恒模約束，因而上述聯(lián)合優(yōu)化問題為NP問題[23]。此問題難以利用凸優(yōu)化等傳統(tǒng)優(yōu)化方法求解，如若采用基于梯度的方法，則收斂性不能保證。

2 所提迭代算法

為求解式(13)的復(fù)雜非線性聯(lián)合優(yōu)化問題，本文將采用迭代算法對S和w進(jìn)行交替優(yōu)化，即首先固定S以求解w；其次，固定w以求解S。首先考慮固定S求解w，則僅考慮接收權(quán)設(shè)計(jì)的優(yōu)化問題可表示為

(14)

>。

(15)

s.t.wHQtw≤t1;wHQsw≤μ,θs∈Θs,
wHQcw≤σ,θc∈Θc

>。

考慮固定w以求解S的波形設(shè)計(jì)問題?；谑?15)求得接收權(quán)條件下，波形設(shè)計(jì)問題可表示為

(16)

(17)

由Kronecker積矢量化性質(zhì)：vec(A?B)=(Im?Kqp?In)(vec(A)?vec(B))，Kqp為置換矩陣，A∈Rp×m，B∈Rn×q，可得

>vec(X)=vec(IL?ST?IN)=(IL?KMN×L?IKN)·

>(vec(IL)?vec(ST?IN))=(IL?KMN×L?IKN)·

(vec(IL)?IM?KN×K?IN)(vec(ST)?vec(IN))=gJ

(18)

式中：g=(IL?KMN×L?IKN)(vec(IL)?IM?KN×K?IN);J=(vec(ST)?vec(IN))。

基于式(18)，式(17)可重新表示為

(19)

由(A?B)(C?D)=(AC)?(BD)及tr(AB)=tr(BA)可知，式(19)可松弛為如下SDP問題[24]，即

(20)

式中：Λ=vec(IN)vecH(IN);Ξ=vec(ST)vecH(ST)。式(15)、式(20)的SDP問題可通過凸優(yōu)化工具包(比如CVX[25])實(shí)現(xiàn)高效求解。

由上述分析可得最優(yōu)發(fā)射波形ST的矢量化形式，即

(21)

3 數(shù)值仿真與分析

(22)

式中：k=1,…,M;n=1,…,K。

圖1給出了SNR為-10 dB，CNR為30 dB條件下所提算法得到的最優(yōu)發(fā)射方向圖。從圖1可看出，所提算法在目標(biāo)θt=0°處放置了一高峰，表明所提算法得到的優(yōu)化波形可將發(fā)射功率集中于目標(biāo)位置，從而可提高目標(biāo)檢測概率。此外，可看到圖1b中有柵瓣出現(xiàn)，這是由于MIMO雷達(dá)(1.5,0.5)發(fā)射陣元稀疏布置引起的。

圖1 SNR為-10 dB、CNR為30 dB條件下所提算法得到的最優(yōu)發(fā)射方向圖Fig.1 Optimal transmission beampatterns obtained by the pro-posed algorithm with SNR as -10 dB and CNR as 30 dB

圖2為所提算法、僅考慮旁瓣抑制的算法以及發(fā)射不相關(guān)波形所得到的輸出SINR隨SNR或者CNR的變化曲線。從圖2可看出，3種方法得到的輸出SINR均隨SNR的增加而增加，隨CNR的增加而降低。然而，需要注意的是，無論SNR或CNR為何值，僅考慮旁瓣抑制方法輸出的SINR均高于不相關(guān)波形，表明僅考慮旁瓣抑制方法可以改善系統(tǒng)檢測概率，且所提算法輸出的SINR明顯高于旁瓣抑制算法，進(jìn)一步表明所提算法可以明顯提高系統(tǒng)檢測性能。此外，由圖2可知，雷達(dá)(1.5,0.5)輸出的SINR略大于雷達(dá)(0.5,0.5),這可歸因于雷達(dá)(1.5,0.5)形成的虛擬孔徑大于雷達(dá)(0.5,0.5)，因此其可獲得更大的分集增益。

圖2 所提算法、旁瓣抑制以及發(fā)射不相關(guān)波形得到的輸出SINR隨SNR和CNR的變化曲線Fig.2 The output SINR of three methods vs SNR and CNR

圖3為所提算法、僅考慮雜波抑制以及發(fā)射不相關(guān)波形所得到的輸出SINR隨SNR或者CNR的變化曲線。

圖3 所提算法、雜波抑制以及發(fā)射不相關(guān)波形得到的輸出SINR隨SNR和CNR的變化曲線Fig.3 The output SINR of three methods vs SNR and CNR

由圖3可知，3種方法得到的輸出SINR均隨著SNR的增加而增加，隨著CNR的增加而降低，且相對于雜波抑制及不相關(guān)波形，無論SNR或CNR為何值，所提算法得到的輸出SINR均優(yōu)于雜波抑制及不相關(guān)波形。圖3表明，與僅考慮雜波抑制以及不相關(guān)波形相比，所提算法可以顯著提高系統(tǒng)的檢測性能。此外，由圖3可得與圖2類似結(jié)論，即雷達(dá)(1.5,0.5)的輸出SINR略大于雷達(dá)(0.5,0.5)。

為驗(yàn)證所提算法的收斂性，圖4給出了SNR為-20 dB、CNR為30 dB條件下所提算法得到的輸出SINR隨迭代次數(shù)變化的曲線圖。從圖4可看出，隨著迭代次數(shù)增加，所提算法得到的輸出SINR波動逐漸變小，且無論哪種雷達(dá)配置，皆僅需6步左右迭代就趨于穩(wěn)定，表明所提算法具有較好的收斂性。需要注意的是，由圖4還可得到與圖2、圖3類似結(jié)論：雷達(dá)(1.5,0.5)得到的輸出SINR略高于雷達(dá)(0.5,0.5)。

圖4 SNR為-20 dB，CNR為30 dB條件下所提算法得到的輸出SINR隨迭代次數(shù)變化曲線圖Fig.4 The output SINR obtained by the proposed algorithm vs the iteration numbers with SNR as -20 dB and CNR as 30 dB

4 結(jié)束語

本文研究了復(fù)雜環(huán)境下提高M(jìn)IMO-STAP雷達(dá)系統(tǒng)檢測概率的發(fā)射波形及接收權(quán)值聯(lián)合優(yōu)化問題。首先建立了MIMO-STAP系統(tǒng)模型，并基于最大化輸出SINR準(zhǔn)則，在發(fā)射波形恒模特性、抑制雜波以及降低旁瓣等約束下構(gòu)建發(fā)射波形及接收權(quán)聯(lián)合優(yōu)化問題以最大化輸出SINR從而改善MIMO-STAP檢測性能。為求解所得復(fù)雜非線性問題，本文提出一種發(fā)射波形和接收權(quán)值聯(lián)合交替優(yōu)化的迭代算法，所提算法中每一步都可轉(zhuǎn)化為SDP問題，因而可獲得高效求解，且保證了算法的收斂性；數(shù)值仿真表明，與僅考慮雜波抑制、旁瓣抑制算法以及不相關(guān)波形相比，所提算法可顯著改善MIMO雷達(dá)的檢測性能。