馮永杰

（甘肅省隴南市兩當(dāng)縣第一中學(xué)，甘肅 隴南）

函數(shù)的零點(diǎn)本質(zhì)上是函數(shù)圖像與橫軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，但在應(yīng)用中，橫坐標(biāo)的這種“跨界性”更具有意義，因此函數(shù)的零點(diǎn)就簡化為用橫坐標(biāo)的值來表示了。關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)，常見的問題有：（1）連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)存在性的確立；（2）連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷；（3）用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值。近幾年高考中，（1）（2）類問題比較常見，其中又涉及參數(shù)范圍的求解，是近幾年高考的熱點(diǎn)。由于函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，問題的解決途徑可以轉(zhuǎn)化為方程來解決。下面通過近兩年的高考試題中函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)問題的創(chuàng)新解析，展現(xiàn)數(shù)學(xué)中的劃歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，感受數(shù)學(xué)思想方法的魅力.

一、（2017全國3理11）已知函數(shù)f（x）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1）有唯一零點(diǎn)，則a=（ ）

【解析】由條件得：f（2-x）=（2-x）2-2（2-x）+a（e2-x-1+e-（2-x）+1）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1）=f（x）

即x=1為f（x）的對稱軸，由題意得，f（x）有唯一零點(diǎn)，

∴f（x）的零點(diǎn)只能為x=1，由f（1）=12-2·1+a（e1-1+e-1+1）=0

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的概念以及利用函數(shù)的對稱性確立零點(diǎn)的方法。

二、（2017全國1理21）已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x．

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍．

【解析】（1）由于f（x）=ae2x+（a-2）ex-x

f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1=（aex-1）（2ex+1）

①當(dāng)時a≤0，aex-1<0，2ex+1>0．從而f′（x）<0恒成立．則f（x）在 R 上單調(diào)遞減；②當(dāng)時 a>0，令 f′（x）=0，從而 aex-1=0，得x=-lna．x∈（-∞，-lna）時，f′（x）<0，x∈（-lna，+∞）時，f′（x）>0.綜上可知，當(dāng)a≤0時，f（x）在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時，f（x）在（-∞，-lna）上單調(diào)遞減，在（-lna，+∞）上單調(diào)遞增.

（2）由（1）知，

當(dāng)a≤0時，f（x）在R上單調(diào)遞減，故f（x）在R上至多一個零點(diǎn)，不滿足條件．

點(diǎn)評：本題考查用分類討論思想確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍時，靈活運(yùn)用放縮法、數(shù)形結(jié)合解決問題.

三、（2018全國2理21）已知函數(shù)f（x）=ex-ax2．

（1）若a=1，證明：當(dāng)x≥0時，f（x）≥1；

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一個零點(diǎn)，求a．

【解析】（1）當(dāng)a=1時，f（x）=ex-x2，則f′（x）=ex-2x

令g（x）=ex-2x，得g′（x）=ex-2由g′（x）=0得x=ln2，易知g（x）在（0，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）單調(diào)遞增，g（x）在［0，+∞）內(nèi)有最小值g（ln2），g（ln2）=2-2ln2=2（1-ln2）>0，從而f′（x）≥g（ln2）>0恒成立，故f（x）在［0，+∞）上遞增∴f（x）≥f（0）=1.

點(diǎn)評：本題（2）考查利用劃歸思想、數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)的值.

通過以上分析可看出，零點(diǎn)及其相關(guān)問題的考查是近幾年高考的熱點(diǎn)，在掌握零點(diǎn)判定定理的條件下，合理選擇數(shù)學(xué)方法，能有效地解決函數(shù)零點(diǎn)問題中的參數(shù)范圍問題.