（蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

對(duì)于正常的金屬環(huán)，當(dāng)電子的平均散射自由程大于系統(tǒng)的尺寸時(shí)，量子干涉效應(yīng)會(huì)存在于其中。當(dāng)金屬環(huán)置于外磁場(chǎng)中，通過環(huán)中心的磁通會(huì)導(dǎo)致Aharonov-Bohm類型的振蕩，其基本周期為Φ0=?c/e。對(duì)于一個(gè)孤立的介觀環(huán)，當(dāng)它受到外磁場(chǎng)驅(qū)動(dòng)時(shí)，其表現(xiàn)類似于帶有Josephson結(jié)的超導(dǎo)環(huán)[1]，而對(duì)于開放的介觀環(huán)系統(tǒng)，其電阻隨著磁通周期性地變化[2]。Büttiker，Imry和Azbel的工作給出了這兩種現(xiàn)象之間的一個(gè)聯(lián)系[3]。同時(shí)注意到一個(gè)關(guān)于介觀系統(tǒng)的波導(dǎo)理論被提出，考慮了波函數(shù)以及波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的連續(xù)性條件[4]?；谶@個(gè)理論，J.Yi等人研究了對(duì)稱性單環(huán)和雙環(huán)結(jié)構(gòu)的透射幾率和持續(xù)電流[5]。

盡管關(guān)于AB環(huán)直流電導(dǎo)的理論研究已經(jīng)十分詳細(xì)，筆者認(rèn)為有必要進(jìn)一步探討類似系統(tǒng)在交流響應(yīng)下的性質(zhì)。實(shí)驗(yàn)方面，90年代中期，Pieper和Price在介觀尺度的銀環(huán)中觀察到了交流電導(dǎo)的實(shí)部和虛部在寬頻尺度范圍下的振蕩[6]。Chen等人測(cè)量了二維電子氣系統(tǒng)的電容系數(shù)在磁場(chǎng)翻轉(zhuǎn)下的對(duì)稱性[7]。理論方面，Büttiker已經(jīng)建立了在低頻范圍下的線性交流輸運(yùn)理論[8-9]，他指出為了滿足流守恒和規(guī)范不變性，載流子之間的相互作用必須考慮。電子之間的長(zhǎng)程庫(kù)侖相互作用導(dǎo)致系統(tǒng)內(nèi)部存在一個(gè)隨時(shí)間變化的內(nèi)勢(shì)，在AB環(huán)系統(tǒng)中，這個(gè)內(nèi)勢(shì)是入射粒子能量、外加磁通以及其他參數(shù)的響應(yīng)函數(shù)，該內(nèi)勢(shì)隨著端口處電化學(xué)勢(shì)的變化導(dǎo)致了電化學(xué)交流發(fā)射率，而它隨著外加磁通的變化又產(chǎn)生了磁通交流發(fā)射率[10]。這兩種不同類型的交流發(fā)射率都可以用對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)來表示。這里的特征函數(shù)描述的是內(nèi)部的靜電勢(shì)相對(duì)于外部參數(shù)變化的響應(yīng)。而最近又有一些基于非平衡格林函數(shù)，滿足流守恒和規(guī)范不變性的交流輸運(yùn)理論被提出[11-13]。

筆者注意到，已經(jīng)有一些理論方面的計(jì)算工作，應(yīng)用Büttiker的交流輸運(yùn)理論去處理不同介觀結(jié)構(gòu)中的交流響應(yīng)問題[14-15]。這些工作基本上都只考慮了電化學(xué)交流發(fā)射率和它對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)。筆者主要研究的是單環(huán)和雙環(huán)系統(tǒng)中的交流輸運(yùn)問題。首先，推導(dǎo)了這兩種系統(tǒng)的散射矩陣，然后計(jì)算了一些重要的物理量，例如透射幾率、特征函數(shù)和交流發(fā)射率。與前面所提到的那些工作[14-15]不同的是，筆者不僅考慮了電化學(xué)交流發(fā)射率，還仔細(xì)研究了磁通交流發(fā)射率。對(duì)于介觀環(huán)的交流輸運(yùn)性質(zhì)，Büttiker已經(jīng)給出了一些預(yù)測(cè)。筆者的計(jì)算結(jié)果和Büttiker的預(yù)測(cè)完全一致，并且得到了許多有意義的新的物理現(xiàn)象。

1 物理模型及推導(dǎo)

Büttiker及其合作者建立了關(guān)于介觀系統(tǒng)的交流輸運(yùn)理論。通常情況下對(duì)于一個(gè)介觀導(dǎo)體，當(dāng)它處在隨著時(shí)間變化的外擾動(dòng)（比如樣品端口處所加的振蕩電壓和環(huán)中心所加的振蕩磁通）下，會(huì)偏離它的平衡態(tài)。一個(gè)介觀結(jié)構(gòu)有若干端口，分別標(biāo)記為k，l，… 。在端口l處加一個(gè)振蕩電壓δVl時(shí)，在端口k處會(huì)有一個(gè)振蕩電流 δIk（ω）

電流守恒要求電導(dǎo)矩陣的行和列相加均為零

Büttiker對(duì)于介觀系統(tǒng)的交流輸運(yùn)有著深入的理解。他指出如果不考慮電子間的相互作用，系統(tǒng)各個(gè)端口上的電流響應(yīng)不會(huì)存在關(guān)聯(lián)，同時(shí)電流守恒不會(huì)被滿足。要建立一個(gè)滿足電流守恒的交流輸運(yùn)理論，電子之間的長(zhǎng)程庫(kù)侖相互作用必須考慮。這樣，在系統(tǒng)內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生一個(gè)隨時(shí)間變化的靜電勢(shì)，電荷在樣品內(nèi)部累積并帶來位移電場(chǎng)和位移電流。

一般情況下，為了得到交流條件下的電流響應(yīng)，需要有三個(gè)步驟：第一步，不考慮電子之間的相互作用，只是根據(jù)散射理論給出隨外部電化學(xué)勢(shì)變化的電流響應(yīng)；第二步，考慮由電子間的庫(kù)侖關(guān)聯(lián)所導(dǎo)致的新的注入系統(tǒng)的粒子數(shù)；第三步，計(jì)算出由這部分粒子所產(chǎn)生的內(nèi)勢(shì)而帶來的電流響應(yīng)。由此可知，交流電導(dǎo)有兩部分貢獻(xiàn)：一部分是相對(duì)于外部微擾的外部響應(yīng)；另一部分是相對(duì)于內(nèi)勢(shì)的內(nèi)部響應(yīng)。

如果改變端口k處的電化學(xué)勢(shì)，在端口l處由于外部響應(yīng)所導(dǎo)致的交流電導(dǎo)是

其中dnkl（r）/dE被稱為是局域部分態(tài)密度。它描述的是在位置r處，從端口l進(jìn)入系統(tǒng)并從端口k離開系統(tǒng)的載流子的態(tài)密度。

交流電導(dǎo)的內(nèi)部響應(yīng)是由導(dǎo)體內(nèi)部的靜電勢(shì)所生成的。此處研究的是受Aharonov-Bohm磁通驅(qū)動(dòng)的介觀環(huán)系統(tǒng)。因此，靜電勢(shì)是樣品端口處的電化學(xué)勢(shì)以及所加AB磁通的函數(shù)。筆者引入了特征函數(shù)u（r），該函數(shù)描述了導(dǎo)體內(nèi)部的靜電勢(shì)隨著外加電化學(xué)勢(shì)的變化。這個(gè)電化學(xué)特征函數(shù)u（r）可以對(duì)比于磁通導(dǎo)致的特征函數(shù)v（r），后者描述的是內(nèi)勢(shì)相對(duì)于磁通的變化。在低頻極限下，靜電勢(shì)的擾動(dòng)可以展開成電化學(xué)勢(shì)和AB磁通的微擾，對(duì)于線性項(xiàng)得到[16]

電化學(xué)特征函數(shù)u（r）和磁通導(dǎo)致的特征函數(shù)v（r）都可以利用解泊松方程得到

如果只考慮加在端口處的振蕩電壓的作用，不考慮磁通。內(nèi)勢(shì)U也只隨dμk展開，內(nèi)部響應(yīng)所造成的交流電導(dǎo)可以表示為

這樣綜合公式（4）和（8），得到了在線性條件下體系總的交流電導(dǎo)

在公式（9）中，Gkl（0）是系統(tǒng)的直流電導(dǎo)，乘以頻率ω的那一項(xiàng)稱為交流發(fā)射率。交流發(fā)射率實(shí)際上表示了外加微擾下系統(tǒng)的交流響應(yīng)特征，是交流輸運(yùn)理論中最重要的量。結(jié)合公式（4）、（8）和（9），得到了關(guān)于交流發(fā)射率的表達(dá)式

以上定義的交流發(fā)射率表示了系統(tǒng)內(nèi)部的電荷隨著外部電化學(xué)勢(shì)擾動(dòng)而產(chǎn)生的變化，稱為電化學(xué)交流發(fā)射率。下面討論磁通導(dǎo)致的交流發(fā)射率，它定義為導(dǎo)體k中積累的電荷相對(duì)于磁通Φ增量的比值。磁通交流發(fā)射率可以表示為

因?yàn)檎袷幍拇磐ú粫?huì)產(chǎn)生直流的電導(dǎo)，所以對(duì)于上面所討論的交流發(fā)射率，它的各個(gè)元素相加必須為零[16]

以上定義的兩種類型的交流發(fā)射率都是由局域部分態(tài)密度和特征函數(shù)來表示的。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，下面的討論采用中性近似條件下的特征函數(shù)。這意味著特征函數(shù)u（r）和v（r）都是用部分態(tài)密度來表示

同時(shí)對(duì)局域部分態(tài)密度進(jìn)行空間的積分，這樣電化學(xué)交流發(fā)射率和磁通交流發(fā)射率可以簡(jiǎn)化為

式（17）、（18）是部分態(tài)密度描述的是從端口l進(jìn)入導(dǎo)體并從端口k離開導(dǎo)體的電子數(shù)。部分態(tài)密度是由系統(tǒng)的散射矩陣來表示的，散射矩陣元Skl定義為端口k中出射波函數(shù)的振幅相對(duì)于端口l中入射波函數(shù)振幅的比值。

筆者研究的是正常的金屬環(huán)系統(tǒng)，圖1中的（a）和（b）分別代表一維的單環(huán)和雙環(huán)結(jié)構(gòu)。每個(gè)環(huán)都受到外加的AB磁通Φ的驅(qū)動(dòng)。整個(gè)結(jié)構(gòu)通過導(dǎo)線連接到外部的電子庫(kù)，電子從庫(kù)中發(fā)射出來進(jìn)入系統(tǒng)并最后返回到庫(kù)中。在庫(kù)里面，電子之間的散射是非彈性的，所以庫(kù)吸收的電子和發(fā)射的電子之間沒有相位方面的聯(lián)系。而在環(huán)結(jié)構(gòu)里面，電子只受到彈性的散射?？梢詫⒄麄€(gè)環(huán)和導(dǎo)線看作是理想的一維導(dǎo)線，電子的波函數(shù)可以用自由平面波來描述。

下面先推導(dǎo)單環(huán)結(jié)構(gòu)的散射矩陣。

假設(shè)電子在導(dǎo)線和環(huán)的節(jié)點(diǎn)處受到彈性散射。這個(gè)節(jié)點(diǎn)可以用一個(gè)三維的散射矩陣S0來描寫，該矩陣給出了三端出射波函數(shù)的振幅（α'，β'，γ'）和入射波函數(shù)的振幅（α，β，γ）之間的聯(lián)系。 流守恒要求 S0是幺正的，同時(shí)時(shí)間反演不變性要求， 因此，S0也是對(duì)稱的。筆者采用在參考文獻(xiàn)[3]中給出的模型

流守恒要求

這樣系數(shù)a和b都可以表示為?的函數(shù)

圖1 一維單環(huán)（a）和雙環(huán)（b）結(jié)構(gòu)示意圖

參數(shù)?表示環(huán)和導(dǎo)線之間的耦合強(qiáng)度，其變化范圍是從0到1/2。當(dāng)?處于強(qiáng)耦合極限1/2時(shí)，節(jié)點(diǎn)對(duì)于入射的粒子完全透射。另一方面，當(dāng)?等于0時(shí)，入射的電子在節(jié)點(diǎn)處完全反射，這樣環(huán)和導(dǎo)線實(shí)際上是沒有耦合，環(huán)可以看成是孤立的系統(tǒng)。

先看圖1（a）中單環(huán)左邊的節(jié)點(diǎn)，散射矩陣S0給出了下面的方程組

由于環(huán)是受到磁通Φ驅(qū)動(dòng)的，磁場(chǎng)會(huì)導(dǎo)致環(huán)上臂和下臂中波函數(shù)的相位分別改變?chǔ)蘸?φ，其中φ=πΦ/Φ0。同時(shí)由于布洛赫定理，電子波函數(shù)在環(huán)中的傳播會(huì)產(chǎn)生另外的相位變化θ=k0L，式中k0代表的是波矢，L表示環(huán)的半周長(zhǎng)。這樣可以得到環(huán)上臂左右節(jié)點(diǎn)處的電子波函數(shù)之間的聯(lián)系

同樣類似得，對(duì)于環(huán)的下臂有

對(duì)于環(huán)右邊的節(jié)點(diǎn)，同樣用前面所定義的散射矩陣S0來描述

通過解方程組（24）-（27），推導(dǎo)出了整個(gè)單環(huán)結(jié)構(gòu)的散射矩陣

矩陣中的r是反射振幅，而t是透射振幅，它們的形式是

最后還可以由透射振幅t得到單環(huán)結(jié)構(gòu)的透射幾率Ts

前面推導(dǎo)了單環(huán)結(jié)構(gòu)的散射矩陣。對(duì)一個(gè)散射系統(tǒng)來說，當(dāng)?shù)弥怂纳⑸渚仃嚂r(shí)，可以很自然地求出它的轉(zhuǎn)移矩陣。下面給出二維系統(tǒng)中散射矩陣和轉(zhuǎn)移矩陣的表達(dá)形式

通過比較散射矩陣和轉(zhuǎn)移矩陣各個(gè)矩陣元之間的關(guān)系，可以求得單環(huán)結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)移矩陣

下面采用傳輸矩陣的方法來求解雙環(huán)結(jié)構(gòu)的散射矩陣。先從普遍情況出發(fā)，考慮非對(duì)稱的雙環(huán)結(jié)構(gòu)，如圖1（b）所示。左邊的環(huán)和右邊的環(huán)大小不等，但所加的磁通相同。定義左邊環(huán)的散射矩陣為S1，轉(zhuǎn)移矩陣是T1。右邊環(huán)的散射矩陣和轉(zhuǎn)移矩陣分別為S2和T2。這樣整個(gè)雙環(huán)結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)移矩陣可以通過相乘T1和T2求得

根據(jù)方程（32）和（33），可以反過來求得雙環(huán)結(jié)構(gòu)的散射矩陣

每個(gè)矩陣元都可以用單環(huán)的反射和透射振幅來表示

現(xiàn)在研究對(duì)稱的雙環(huán)結(jié)構(gòu)，左邊和右邊的環(huán)大小完全相等，所加磁通也一樣，這樣兩個(gè)環(huán)的轉(zhuǎn)移矩陣完全相同。

參照前面已經(jīng)推出的單環(huán)的反射和透射振幅，方程（39）現(xiàn)在可以寫為

還推導(dǎo)出雙環(huán)的透射幾率

由以上表達(dá)式可以計(jì)算單環(huán)和雙環(huán)系統(tǒng)中的直流電導(dǎo)和交流響應(yīng)，在計(jì)算交流發(fā)射率時(shí)，用到的最重要的量是部分態(tài)密度。就像在處理平衡態(tài)物理系統(tǒng)時(shí)需要用到態(tài)密度一樣，在處理非平衡態(tài)問題時(shí)，部分態(tài)密度會(huì)非常有用。實(shí)際上部分態(tài)密度矩陣的非對(duì)角元對(duì)于描述交流輸運(yùn)中電子的漲落和關(guān)聯(lián)起決定作用。在下一部分，給出單環(huán)和雙環(huán)系統(tǒng)的透射幾率、特征函數(shù)以及交流發(fā)射率的數(shù)值計(jì)算結(jié)果。

2 結(jié)果和討論

眾所周知，一個(gè)介觀體系的直流電導(dǎo)可以通過Landauer-Büttiker公式和體系的透射幾率直接聯(lián)系起來g（0）=2e2T/h。 圖2給出了單環(huán)結(jié)構(gòu)和對(duì)稱雙環(huán)結(jié)構(gòu)的透射幾率T隨著入射粒子能量的變化圖。

圖2 單環(huán)（實(shí)線）和雙環(huán)（虛線）結(jié)構(gòu)的T，E12和E11相對(duì)θ的變化

入射粒子的能量可以用 θ來簡(jiǎn)化表示，θ=k0L=（2mE/?2）1/2L。環(huán)和導(dǎo)線之間的耦合強(qiáng)度?固定在1/6，每個(gè)環(huán)的半周長(zhǎng)都取為100 nm。從圖2中可以看出單環(huán)和雙環(huán)的透射幾率都是θ的周期函數(shù)，環(huán)中心所加的磁通決定了共振峰的位置。這里的物理圖象可以理解為，環(huán)和導(dǎo)線的節(jié)點(diǎn)可以看成一個(gè)勢(shì)壘，所以單環(huán)結(jié)構(gòu)類比于雙勢(shì)壘系統(tǒng)，磁通改變了兩個(gè)勢(shì)壘之間的距離從而直接改變了共振峰的位置。

圖3 單環(huán)和雙環(huán)的T的極點(diǎn)隨著?的變化

Büttiker已經(jīng)在參考文獻(xiàn)[3]中指出，單環(huán)結(jié)構(gòu)中透射幾率的共振峰可以表達(dá)成Breit-Wigner公式的形式，他證明了當(dāng)耦合參數(shù)?變大時(shí)，透射幾率共振峰的峰寬會(huì)增加，而幅度會(huì)減弱?？梢詮膱D3中更好地理解這種性質(zhì)。圖3給出了透射系數(shù)的極點(diǎn)在復(fù)能量空間中隨著耦合參數(shù)?變化的曲線。圖中實(shí)線代表的是單環(huán)，虛線代表的是雙環(huán)，加在環(huán)中心的磁通取φ=π/3。相位θ的實(shí)部θr代表共振峰的位置，虛部θi則意味著共振峰的峰寬。在?=0時(shí)，極點(diǎn)是在實(shí)軸上面，所在的位置對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的本征能級(jí)。筆者注意到雙環(huán)結(jié)構(gòu)的三個(gè)本征能級(jí)有兩個(gè)和單環(huán)一樣，另一個(gè)則在θr=（2n+1）π/2處，其中n為整數(shù)。此處討論的本征能級(jí)對(duì)應(yīng)于圖3中共振峰的位置，另外發(fā)現(xiàn)雙環(huán)結(jié)構(gòu)的共振峰要比單環(huán)結(jié)構(gòu)來得窄。Büttiker指出共振峰的峰寬正比于耦合參數(shù)?，在圖3中當(dāng)極點(diǎn)偏離實(shí)軸時(shí)，單環(huán)?的增加的比雙環(huán)要快。

現(xiàn)在討論電化學(xué)交流發(fā)射率的性質(zhì)。從前面推導(dǎo)的公式可以得知，交流發(fā)射率實(shí)際上代表了交流電導(dǎo)的虛部。交流發(fā)射率矩陣的每個(gè)元素都是由電容效應(yīng)或電感效應(yīng)所主導(dǎo)。為了有助于理解它的含義，可以對(duì)比參照經(jīng)典電路中的組件，比如電容C和電感L。與這些經(jīng)典電路元件一樣，交流發(fā)射率出現(xiàn)在介觀系統(tǒng)交流電導(dǎo)g=g0+iωX的虛部，X代表電荷之間的相互作用而產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)阻抗。在圖2中，給出了電化學(xué)交流發(fā)射率E11和E12相對(duì)于入射粒子能量的變化函數(shù)，并且給出了這兩種交流發(fā)射率和系統(tǒng)透射幾率的對(duì)比。從數(shù)值計(jì)算結(jié)果不難看出，電化學(xué)交流發(fā)射率在系統(tǒng)的共振能量附近有著非常劇烈的變化。計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)入射粒子的能量非常接近系統(tǒng)的共振能量時(shí)，對(duì)角元交流發(fā)射率E11為負(fù)值。這是一種類似于電容的效應(yīng)。而非對(duì)角元交流發(fā)射率E12為正值，這代表的是電感的效應(yīng)。E11和E12曲線的形狀完全相反，這是流守恒和規(guī)范不變性所要求的ΣkEkl=ΣlEkl=0。對(duì)應(yīng)于透射幾率的每個(gè)共振峰，交流發(fā)射率表現(xiàn)出一種有趣的性質(zhì)。以圖2中的E12為例，在系統(tǒng)的共振能量處，交流發(fā)射率都顯示出了一個(gè)正的尖峰。但當(dāng)入射粒子的能量逐漸偏離共振能量時(shí)，交流發(fā)射率的數(shù)值會(huì)迅速減小，并且由正值轉(zhuǎn)變?yōu)樨?fù)值。在每個(gè)共振能級(jí)的兩邊，E12都會(huì)達(dá)到一個(gè)負(fù)的極大值，然后漸進(jìn)趨向于零。

下面討論交流發(fā)射率電容和電感特性產(chǎn)生的物理機(jī)制。當(dāng)入射粒子的能量等于系統(tǒng)的共振能量時(shí)，透射幾率會(huì)最大。在直流的情況下，電子會(huì)直接穿過系統(tǒng)，但在交流的環(huán)境下，電子會(huì)在系統(tǒng)內(nèi)部駐留，波函數(shù)的相位也會(huì)被延遲。實(shí)際上，非對(duì)角元交流發(fā)射率E12和E21反映了兩種因素的競(jìng)爭(zhēng)。從方程（10）和（15）可以看出交流發(fā)射率由兩項(xiàng)組成：第一項(xiàng)部分態(tài)密度是正的，它反映的是電子在系統(tǒng)的兩個(gè)端口之間直接輸運(yùn)所帶來的電感效應(yīng)；第二項(xiàng)明顯是負(fù)的，它反映的電荷在系統(tǒng)內(nèi)部累積所產(chǎn)生的電容效應(yīng)。正是這兩種因素之間的相互競(jìng)爭(zhēng)導(dǎo)致了交流發(fā)射率在共振能量附近出現(xiàn)了特殊的變化。

從圖2中還可以看出交流發(fā)射率每個(gè)共振峰的振幅會(huì)隨著入射粒子能量的增加而減弱。這個(gè)性質(zhì)是可以理解的，由于交流發(fā)射率反映了系統(tǒng)的交流振蕩效應(yīng)，當(dāng)整個(gè)體系的能量增加時(shí)，外部的擾動(dòng)則會(huì)相應(yīng)地減弱。同時(shí)注意到，雙環(huán)結(jié)構(gòu)交流發(fā)射率的振幅幾乎就是單環(huán)結(jié)構(gòu)的兩倍，這說明了當(dāng)環(huán)的數(shù)目增加時(shí)，系統(tǒng)的交流響應(yīng)會(huì)成倍地放大。

圖4 T和E12作為磁通φ變化的函數(shù)

圖4給出了電化學(xué)交流發(fā)射率E12和透射幾率T隨磁通變化的曲線?？紤]了不同入射粒子能量的情況，θ=0.1π和θ=0.4π。很明顯交流發(fā)射率和透射幾率T一樣，都是隨φ變化的周期函數(shù)，基本周期為Φ0=?c/e。這個(gè)性質(zhì)Büttiker已經(jīng)給出了預(yù)言，因?yàn)殡娮又g的長(zhǎng)程庫(kù)侖相互作用會(huì)使系統(tǒng)的態(tài)密度隨磁通 φ周期變化。圖4表明了交流發(fā)射率的大小主要由入射粒子的能量而不是外加磁通決定，因?yàn)閷?duì)應(yīng)于θ=0.1π的曲線的振幅遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于對(duì)應(yīng)于θ=0.4π的曲線的振幅。

最后討論磁通導(dǎo)致的交流發(fā)射率。磁通交流發(fā)射率主要是由樣品內(nèi)部的態(tài)密度對(duì)于磁通的敏感響應(yīng)引起的。Büttiker指出，這種響應(yīng)只會(huì)存在于不具有空間旋轉(zhuǎn)不變性的結(jié)構(gòu)中[10]。在此，完全對(duì)稱的單環(huán)和雙環(huán)結(jié)構(gòu)中不存在磁通交流發(fā)射率，它只存在于非對(duì)稱的雙環(huán)結(jié)構(gòu)中。首先考慮一種特殊的情況，入射粒子的能量保持不變，兩個(gè)環(huán)大小的不等導(dǎo)致了相位因子θ的不同，設(shè)θ1=0.4π并且θ2=0.41π，下標(biāo)1和2代表左邊和右邊的環(huán)。在圖5中先畫出了對(duì)應(yīng)于磁通的特征函數(shù)v在不同的耦合強(qiáng)度?下隨φ變化的曲線。很明顯v是φ的周期函數(shù)，這意味著系統(tǒng)內(nèi)的靜電勢(shì)同樣是磁通的周期函數(shù)?？梢钥吹诫S著耦合參數(shù)?的變大，v的最大值減弱。這種性質(zhì)也類似地出現(xiàn)在連接到單一庫(kù)的單環(huán)的持續(xù)電流中[17]。 Büttiker也曾經(jīng)指出磁通導(dǎo)致的電容和持續(xù)電流之間會(huì)存在某種聯(lián)系[10]。

圖5 特征函數(shù)v在不同的?下隨φ的變化

圖6 T（a）、E12（b）、E1Φ（c） 和 E2Φ（d）相對(duì)于 φ 的變化

圖6給出了非對(duì)稱雙環(huán)結(jié)構(gòu)的透射幾率T、電化學(xué)交流發(fā)射率E12、磁通交流發(fā)射率E1Φ和E2Φ相對(duì)于φ變化的函數(shù)。由圖6可見，磁通交流發(fā)射率E1Φ和E2Φ同樣在共振能量附近作劇烈的變化。與電化學(xué)交流發(fā)射率E12所不同的是，E1Φ和E2Φ都是磁通φ的周期奇函數(shù)，而前者是磁通φ的周期偶函數(shù)。這個(gè)性質(zhì)的物理本質(zhì)是在計(jì)算這兩種不同的交流發(fā)射率時(shí)所用到的Lindhard函數(shù)相對(duì)于磁通翻轉(zhuǎn)時(shí)所具有的不同對(duì)稱性。E1Φ和E2Φ曲線的形狀完全相反，這個(gè)性質(zhì)在前面的推導(dǎo)中已經(jīng)討論過。

圖7 E1Φ在兩個(gè)環(huán)大小差異不同時(shí)的分布

最后考慮兩個(gè)環(huán)大小差異的程度對(duì)交流發(fā)射率E1Φ和E2Φ的影響。圖7給出了清晰的說明，在此用Δθ標(biāo)志兩個(gè)環(huán)的差異。由圖7可見，當(dāng)兩個(gè)環(huán)大小的差別不是很大時(shí)，交流發(fā)射率E1Φ曲線的形狀基本上一樣。只是共振峰的最大值隨著Δθ的增大而線性地增大。當(dāng)Δθ取負(fù)值，也就是兩個(gè)一大一小的環(huán)左右調(diào)換位置時(shí)，E1Φ的取值完全翻轉(zhuǎn)過來，和原來的E2Φ一樣。這些都是關(guān)于磁通導(dǎo)致的交流發(fā)射率的特殊性質(zhì)。

3 結(jié)語

利用Büttiker的交流輸運(yùn)理論，仔細(xì)研究了介觀尺度下一維單環(huán)和雙環(huán)結(jié)構(gòu)中的交流電導(dǎo)。通過數(shù)值計(jì)算，得到了系統(tǒng)的透射幾率、電化學(xué)交流發(fā)射率和磁通交流發(fā)射率等一些物理量的計(jì)算結(jié)果和物理性質(zhì)。發(fā)現(xiàn)交流發(fā)射率在系統(tǒng)的共振能量附近發(fā)生劇烈的變化，并且呈現(xiàn)出電感和電容的物理效應(yīng)。透射幾率和交流發(fā)射率矩陣的系數(shù)都是所加磁通的周期函數(shù)，并且交流發(fā)射率的大小主要由入射粒子能量決定，而不是受磁通影響。發(fā)現(xiàn)了電化學(xué)交流發(fā)射率和磁通交流發(fā)射率相對(duì)于磁通呈現(xiàn)出不同的對(duì)稱性，數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，磁通交流發(fā)射率是隨磁場(chǎng)變化的奇函數(shù)，而電化學(xué)交流發(fā)射率是隨磁場(chǎng)變化的偶函數(shù)。關(guān)于這個(gè)性質(zhì)Büttiker曾經(jīng)在以前的工作中做出了預(yù)測(cè)，筆者的計(jì)算結(jié)果很好地驗(yàn)證了他的觀點(diǎn)。