嚴(yán) 凱，謝燕青，黃雨夢，郝 翔

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

量子Fisher信息（QFI）表示的是對量子態(tài)含有的未知參數(shù)進(jìn)行估算時，參數(shù)估計精度所能達(dá)到下界極限值，這個關(guān)系可以由量子克拉美羅方程[1-4]表示，其中θ為待估算的參數(shù)，為參數(shù)θ的一個無偏估算，F(xiàn)θ為量子Fisher信息量。顯然Fθ越大，量子參數(shù)估計精度越高。量子Fisher信息作為量子度量學(xué)中的關(guān)鍵量，在超精密測量、量子計算和量子成像[5]中具有重要作用。從信息論的角度，量子Fisher信息可以看成量子態(tài)含有特定參數(shù)的信息量大小的度量，在研究環(huán)境非馬爾科夫性[6]、非慣性系的加速度[7]方面也有重要的應(yīng)用。同時，根據(jù)早期的研究，量子Fisher信息與不確定原理[1，8]、Bures度規(guī)[9]之間存在本質(zhì)聯(lián)系。在實際物理系統(tǒng)中，系統(tǒng)總會不可避免地受到環(huán)境噪聲影響。人們發(fā)現(xiàn)在噪聲環(huán)境中，量子Fisher信息會隨時間衰減。于是，迫切希望通過一些方法保護(hù)量子Fisher信息、抑制其衰減，這是開放系統(tǒng)參數(shù)估計[10]需要解決的關(guān)鍵問題之一。

研究具體噪聲環(huán)境中量子Fisher信息演化是尋找抑制參數(shù)估計精度降低方法的基礎(chǔ)。筆者從兩能級系統(tǒng)的量子Fisher信息一般定義出發(fā)[11]，推導(dǎo)出量子Fisher信息在Bloch空間中的一般幾何表示，并以相位參數(shù)估計為例，分析了量子Fisher信息的具體幾何表示。討論了原子與腔耦合的量子動力學(xué)系統(tǒng)，用Bloch矢量表示研究了在退振幅通道中量子Fisher信息的演化，考慮了多體量子糾纏態(tài)對量子參數(shù)估計精度的影響。

1 量子Fisher信息的幾何表示

量子 Fisher信息可以通過對稱對數(shù)導(dǎo)數(shù)[1，3-4]（SLD）方法計算，F(xiàn)θ=Tr（ρL2），其中 L 稱為對稱對數(shù)導(dǎo)數(shù)算子，滿足 2?θρ=ρL+Lρ。 這里，?θρ是對的簡寫。 如果 ρ為純態(tài)，則有很容易得到L=2?θρ，F(xiàn)pure=2Tr（?θρ）2。 兩能級系統(tǒng) ρ借助 Bloch 矢量B=（Bx，By，Bz）表示為[12-14]

可以得到純態(tài)量子Fisher信息的Bloch矢量表示

一般把 Fcτ=（?θp1）2/[p1（1-p1）]稱為量子 Fisher的經(jīng)典項，F(xiàn)qτ=（1-2p1）2Fpure（｜ψ1〉）稱為量子項。 用 Bloch 矢量表示成，

如果量子態(tài)的本征值中不含參數(shù) ?θp±=0??θ｜B｜=0，

與純態(tài)的情形一致。

3) 判斷是否達(dá)到測量點數(shù)，如果沒有則發(fā)出控制脈沖信號，通過步進(jìn)電機(jī)4和撥盤輪機(jī)構(gòu)帶動塞規(guī)旋轉(zhuǎn)到下一測量位置，記錄步進(jìn)電機(jī)的旋轉(zhuǎn)角度，重復(fù)2)；

注意到 B·?θB=｜B｜·?θB，最終得到

公式（8）與文獻(xiàn)[15]中通過 Brues度規(guī)給出的公式一致。可以用柯西不等式（B·?θB）2≤｜B｜2（?θ｜B｜）2給出 F 的一個范圍

最小值當(dāng) B⊥?θB（等價于 ?θB=0）時取得，最大值當(dāng) B｜｜?θB 時取得。

在典型的量子退相干通道[12]中，密度矩陣的動力學(xué)演化都滿足?？梢越柚鶥loch矢量表示這些噪聲通道中的量子態(tài)。 ρφ的 Bloch 矢量為 B=（2｜b｜cos（φ-α），2｜b｜sin（φ-α），a-d），其中 b=｜b｜eiα。顯然不含參數(shù)φ?？梢缘玫?/p>

即上述特殊的密度算子對相位的量子Fisher信息為Bloch矢量在XY平面上投影長度的平方。

在下面內(nèi)容中，將研究原子與腔耦合的量子動力學(xué)系統(tǒng)，考慮退振幅噪聲阻尼對QFI的影響。

2 應(yīng)用：退振幅通道中的量子Fisher信息

2.1 單原子系統(tǒng)

退振幅通道中，兩能級原子與零溫環(huán)境耦合，哈密頓量可以寫成[16]

其中ω0為躍遷頻率，σ±表示上（下）跳變算子，k表示環(huán)境不同的場模式，為對應(yīng)的產(chǎn)生湮滅算子，gk（gk*）表示系統(tǒng)與環(huán)境耦合的系數(shù)。經(jīng)過嚴(yán)格求解，可以得到兩能級原子的動力學(xué)演化，其中 ρ11，ρ10，ρ01，ρ00為初始密度算子ρ（0）的矩陣元

假設(shè)環(huán)境的頻譜函數(shù)滿足洛倫茲函數(shù)[17]

其中γ0是馬爾科夫極限下的衰減系數(shù)，λ是頻譜寬度，Δ=ω0-ωc表示原子頻率ω0與頻譜中心頻率ωc的失諧。利用拉普拉斯變換可以得到洛倫茲頻譜所對應(yīng)的h（t）表達(dá)式

圖1 在不同的耦合系數(shù)下 Δ=0.5γ0，0.8γ0，0.01γ0，QFI隨時間 γ0t的變化曲線

為了表示不同的耦合強(qiáng)度下失諧對QFI的保護(hù)作用，在圖2中繪制了系統(tǒng)與環(huán)境不同耦合強(qiáng)度時λ=0.01γ0，0.1γ0，在相同失諧下 Δ=0.5γ0，量子態(tài) Bloch 矢量的演化（如圖 2（a）），和 QFI隨時間的演化（如圖 2（b））。 由圖2（a）可見，強(qiáng)耦合條件下，Bloch矢量幾乎在球表面上振蕩，并且靠近球體赤道，在XY平面上的投影大小在一段時間內(nèi)幾乎不變；然而，弱耦合時，Bloch矢量很快從球表面向球體南極底部移動，這表示Bloch矢量在XY平面上的投影大小迅速減小，且逐漸消失。這種幾何表示的動力學(xué)演化，可以對應(yīng)圖2（b）中的QFI數(shù)值變化，可以很明顯地看出，當(dāng)系統(tǒng)與環(huán)境耦合很強(qiáng)時，在一段時間內(nèi)，失諧條件下的QFI可以保持在一個較大數(shù)值，即代表其參數(shù)估計精度較高。然而，當(dāng)耦合較弱時，失諧對QFI就沒用這樣顯著的保護(hù)效應(yīng)。對比圖2（a）和2（b），發(fā)現(xiàn)QFI的幾何表示可以方便形象地展示量子參數(shù)估計精度的動力學(xué)演化。

圖2 在不同的耦合系數(shù)下 λ＝0.01γ0，0.1γ0，（a）Bloch 矢量和（b） QFI隨時間 γ0t的變化曲線

2.2 N個糾纏原子的開放系統(tǒng)

現(xiàn)在考慮糾纏的情形，假設(shè)有 N 個初始為糾纏態(tài)｜ψ〉＝cos（θ/2）｜1〉?N+sin（θ/2）eiNφ｜0〉?N的原子[18]，每個原子都與上述玻色環(huán)境耦合。原子與原子之間，每個原子所處的環(huán)境也相互獨立。這樣N個原子的密度算子由單個原子的動力學(xué)演化決定[19]

ε（t）為單個原子演化的超算子，cii'，jj'…為初始密度算子 ρtot（0）處在位置｜ij…〉〈i'j'…｜的矩陣元。 代入初態(tài)，

ε（t）對基矢的作用從單原子的密度算子公式（12）很容易寫出

最終得到N個原子的密度算子

注意到〈ψm|?φψn〉+〈?φψm|ψn〉＝0，L 算子在本征表象中對角元都為 0，即 Lk，k＝0。很容易得到，ρ的第 2 到 2N－1 個本征態(tài)為|ψ2〉＝（0，1，0，…，0）T，|ψ3〉＝（0，0，1，…，0）T，…，|ψ2N－1〉＝（0，0，…，1，0）T，這樣?φ|ψk〉＝0，?φ〈ψk|＝0，k=2，3，…，2N-1。 L 算子在本征態(tài)表象中只有兩項不為將密度算子 ρ寫成

可以發(fā)現(xiàn)N個初始糾纏原子ρ的QFI和形如

N＝1 時公式（26）可以退化成單 Qubit的公式（10）。 N2表示初始最大的表示 QFI的衰減系數(shù)。在圖3（a）中繪制了不同數(shù)目N的糾纏態(tài)的等效ρ～在Bloch空間中的演化，圖3（b）繪制了QFI的衰減系數(shù)在不同的糾纏數(shù)目下隨時間的變化曲線。可以發(fā)現(xiàn)在退振幅通道中，糾纏的Qubits數(shù)目越多，QFI衰減的越快，相應(yīng)Bloch矢量會很快從球表面向南極底部振蕩移動。越靠近赤道表面的Bloch矢量對應(yīng)QFI衰減越慢，越向球體南極底部移動的Bloch矢量對應(yīng)QFI衰減越快。

圖3 在不同糾纏粒子數(shù)目下，（a）的 Bloch矢量和（b）QFI的衰減率 F（ρ）/N2隨時間 γ0t的變化曲線

3 結(jié)語

筆者發(fā)現(xiàn)一類特殊多體混合態(tài)的等效Bloch矢量，其表示和單體純態(tài)類似。利用這個結(jié)論計算了典型噪聲環(huán)境中相位參數(shù)估計精度的QFI。相位估計QFI可以用它的Bloch矢量在XY平面投影長度來刻畫。以原子與腔耦合系統(tǒng)為例，研究了退振幅通道中QFI的動力學(xué)演化，及其Bloch矢量的變化。發(fā)現(xiàn)原子中心頻率和環(huán)境頻譜中心頻率的失諧量可以抑制QFI的衰減，其Bloch矢量幾乎在球體表面振蕩移動，并且越靠近赤道運動就表示其QFI數(shù)值越大。但是，隨著時間演化，Bloch矢量將逐漸向球體南極底部運動，當(dāng)回落到南極點時，其QFI數(shù)值減小至最小。耦合系數(shù)越大，失諧對QFI的保護(hù)越顯著。對于多粒子糾纏態(tài)情形，初始處于廣義GHZ態(tài)在噪聲通道中的QFI可以等效為一個兩能級混合態(tài)。廣義GHZ態(tài)糾纏數(shù)目的增加會提高量子Fisher信息，但是同時量子Fisher信息也會衰減地越快。