陳鳳德，關(guān)心宇，鄧 行，黃小燕

(福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福州 福建 350016)

1 問(wèn)題引入

一段時(shí)間以來(lái)，具有Allee效應(yīng)的捕食-食餌模型動(dòng)力學(xué)行為研究引起了學(xué)者們的高度重視，見(jiàn)文[1-4]以及所引文獻(xiàn)。Hüseyin Merdan提出了如下食餌具有Allee效應(yīng)的Lotka-Volterra捕食-食餌模型[1]：

(1.1)

其中β是正常數(shù)，刻畫了Allee效應(yīng)的大小。Merdan的研究表明如果r-aβ>0成立，則系統(tǒng)具有唯一的局部漸近穩(wěn)定的正平衡點(diǎn)，作者的數(shù)值模擬表明Allee效應(yīng)會(huì)使得系統(tǒng)要用更多的時(shí)間達(dá)到它的穩(wěn)定態(tài)。

受Hüseyin Merdan啟發(fā)，Xinyu Guan等提出如下捕食者具有Allee效應(yīng)的Lotka-Volterra捕食-食餌系統(tǒng)[2]：

(1.2)

其中r,a和β均為正常數(shù)，β刻畫了Allee效應(yīng)的大小。作者證明了如果r>a，則系統(tǒng)是持久的，由此知兩個(gè)邊界平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的，借助這一事實(shí)和Dulac判別法，作者們最終證得了系統(tǒng)的唯一的正平衡點(diǎn)是全局穩(wěn)定的。然而，文[2]的分析手法并不能適用于r≤a的情形，而作者也沒(méi)對(duì)r≤a進(jìn)行任何的分析?，F(xiàn)考慮如下例子：

例1：

(1.3)

數(shù)值模擬(圖1)表明此時(shí)正平衡點(diǎn)A3是全局漸近穩(wěn)定的。

圖1 系統(tǒng)(1.3)的具有初值(x(0),y(0))=(0.1,0.5),(0.1,0.1),(1,0.3),(1,0.7)和(1,0.5)的解的動(dòng)力學(xué)行為

數(shù)值模擬啟發(fā)我們提出如下猜想：

猜想：對(duì)r≤a的情形，系統(tǒng)(1.2)也有唯一的全局吸引的正平衡點(diǎn)。

本文的目的在于給出上述猜想的嚴(yán)格證明，我們將會(huì)在下一節(jié)中證明這一猜想。

2 主要結(jié)果

系統(tǒng)(1.2)的平衡點(diǎn)由如下方程組所決定

(2.1)

計(jì)算易知系統(tǒng)(1.2)有如下三個(gè)平衡點(diǎn)：A0(0,0),A1(1,0)和A2(x*,y*),其中

(2.2)

有關(guān)上述三個(gè)平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性態(tài)，我們有如下結(jié)果：

定理2.1A0(0,0)是鞍點(diǎn)，A1(1,0)是鞍結(jié)點(diǎn)，相應(yīng)的，這2個(gè)平衡點(diǎn)都是不穩(wěn)定的；A2(x*,y*)是漸近穩(wěn)定的。

有關(guān)上述三個(gè)平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性態(tài)，我們有如下結(jié)果：

定理2.2系統(tǒng)(1.2)的唯一的正平衡點(diǎn)A2(x*,y*)是全局穩(wěn)定的。

定理2.1的證明：計(jì)算可知系統(tǒng)(1.2)的雅各比矩陣為

(2.3)

其中

由此可知在平衡點(diǎn)A0(0,0)處的雅各比矩陣為

(2.4)

這表明A0是非雙曲的，從而A0的穩(wěn)定性不能由雅各比矩陣直接進(jìn)行判斷。為了探討A0的穩(wěn)定性態(tài)，首先，做變換t=rτ，則系統(tǒng)(1.2)變?yōu)?/p>

(2.5)

其次，做變換X=y,Y=x,則系統(tǒng)(2.5)變?yōu)?/p>

(2.6)

對(duì)系統(tǒng)(2.6)在(0,0)點(diǎn)泰勒展開(kāi)，且為簡(jiǎn)便計(jì)，用x,y,t表示X,Y,τ，則有：

(2.7)

其中

這里P6(x,y)是形如xiyj的項(xiàng)組成的多項(xiàng)式，其中i+j≥6.由y+Q2(x,y)=0可解得隱函數(shù)y=0=φ(x),將其代入P2(x,y)可得

(2.10)

下面考慮平衡點(diǎn)A1(1,0)，系統(tǒng)(1.2)在平衡點(diǎn)A1(1,0)的雅各比矩陣為

(2.11)

(2.11)表明A1也是非雙曲的。相應(yīng)的，A1的穩(wěn)定性也無(wú)法從雅各比矩陣來(lái)判定。為了探討A1的穩(wěn)定性，我們首先做一變換，將A1移至原點(diǎn)(X,Y)=(x-1,y)，其后在原點(diǎn)按照泰勒展式展開(kāi)，則系統(tǒng)(1.2)變?yōu)椋?/p>

(2.12)

(2.13)

Guan等已經(jīng)證明了系統(tǒng)(1.2)的正平衡點(diǎn)A2(x*,y*)是局部漸近穩(wěn)定的[2]。

定理2.1證明完畢。

注：文[2]中作者已經(jīng)證明了在r>a時(shí)，邊界平衡點(diǎn)A0(0,0)和A1(1,0)是不穩(wěn)定的。本文中，我們借助新的分析手法，表明文[2]的限制r>a是多余的。

定理2.2的證明：注意到A0(0,0)和A1(1,0)都是不穩(wěn)定的，僅有A2(x*,y*)是局部穩(wěn)定的，完全類似于文[2]中定理3.1的證明，借助Dulac判別法，我們可證得系統(tǒng)(1.2)不存在極限環(huán)，由此，可知唯一的正平衡點(diǎn)是全局穩(wěn)定的，定理2.2證畢。

3 討論

Hüseyin Merdan提出了食餌具有Allee效應(yīng)的Lotka-Volterra捕食-食餌模型[1]，作者探討了模型正平衡點(diǎn)局部穩(wěn)定性。Guan等受文[1]影響[2]，提出了捕食者具有Allee效應(yīng)的Lotka-Volterra捕食-食餌模型，作者們?cè)跅l件r>a下證明了系統(tǒng)有唯一的全局穩(wěn)定的正平衡點(diǎn)，但是，對(duì)r≤a情形，作者們并未進(jìn)行探討。本文中，我們證明了對(duì)r≤a情形，系統(tǒng)(1.2)一樣有唯一的全局穩(wěn)定的正平衡點(diǎn)。我們的結(jié)果補(bǔ)充和完善了文[2]的結(jié)果。由定理2.2可知：在系統(tǒng)(1.2)中，捕食者種群的Allee效應(yīng)不會(huì)影響系統(tǒng)的最終平衡密度。