向祖鵬，董正宏，楊帆

（航天工程大學(xué)航天信息學(xué)院，北京 101400）

0 引言

隨著現(xiàn)代戰(zhàn)斗機(jī)飛行性能、攻擊能力、隱身性能及計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷提高，現(xiàn)代化的空中目標(biāo)對(duì)抗越來(lái)越表現(xiàn)出快節(jié)奏、小規(guī)模、難以預(yù)測(cè)等特點(diǎn)。傳統(tǒng)的空中作戰(zhàn)樣式中，飛行員主要依靠自身經(jīng)驗(yàn)對(duì)敵方目標(biāo)未來(lái)時(shí)刻位置和狀態(tài)信息進(jìn)行預(yù)測(cè)，這種方式明顯不滿足現(xiàn)代化空戰(zhàn)的需求。而計(jì)算機(jī)技術(shù)及仿真軟件為我們研究現(xiàn)代空戰(zhàn)提供了方便的途徑。對(duì)目標(biāo)航跡的分析、模擬與仿真是研究目標(biāo)飛行特性、進(jìn)行目標(biāo)信息預(yù)測(cè)的第一步。目前國(guó)內(nèi)外對(duì)目標(biāo)航跡進(jìn)行分析與模擬時(shí)，多數(shù)將其看成簡(jiǎn)單的直線運(yùn)動(dòng)或圓周運(yùn)動(dòng)及其組合[2-8]，沒有考慮其他復(fù)雜情況，也很少將速度納入航跡分析中，而有些只研究了個(gè)別典型航跡[9]，都未能充分描述戰(zhàn)機(jī)的一些實(shí)際情況。根據(jù)空中飛行目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的實(shí)際情況，考慮將橢圓弧航跡引入航跡模擬中，并將航跡歸為四類：直線航跡、水平面內(nèi)弧線航跡、鉛垂面內(nèi)弧線航跡和復(fù)雜航跡。通過對(duì)四類航跡進(jìn)行分析，建立各類航跡的數(shù)學(xué)模型，并設(shè)置相應(yīng)參數(shù)值對(duì)模型進(jìn)行仿真。

1 空中飛行目標(biāo)的航跡分析

隨著戰(zhàn)機(jī)性能尤其是機(jī)動(dòng)性的提升，對(duì)其整個(gè)航跡的分析與模擬難度較大，但可以通過對(duì)整個(gè)航跡進(jìn)行分段，分為短途航跡，再將每一段航跡進(jìn)行分解，最后合成為總的航跡。筆者按照航跡的復(fù)雜程度，考慮將目標(biāo)的飛行航跡歸為四類：空中直線航跡、水平面內(nèi)弧線航跡、鉛垂面內(nèi)弧線航跡和復(fù)雜及不規(guī)則航跡，其中前面三種為基本航跡?？紤]空戰(zhàn)實(shí)際范圍和研究的方便，首先假定前提條件如下：①大地坐標(biāo)系，且向上為正；②簡(jiǎn)化戰(zhàn)機(jī)模型為質(zhì)點(diǎn)，且質(zhì)量恒定；③忽略地球曲率，將其看成平面。從以上假定出發(fā)，下面將分別對(duì)目標(biāo)的航跡進(jìn)行分析，為目標(biāo)航跡仿真數(shù)學(xué)模型的建立提供依據(jù)。

1.1 空中直線飛行

空中直線飛行是目標(biāo)飛行時(shí)最常用的航跡，也是目標(biāo)巡航最常用的飛行方式。按照加速度是否發(fā)生變化，直線航跡可以分為等加速度直線飛行和變加速度直線飛行；按照飛行時(shí)目標(biāo)高度是否變化，可以將直線飛行分為水平面內(nèi)直線飛行和鉛垂面內(nèi)直線飛行。

1.2 水平面內(nèi)弧線飛行

水平面內(nèi)弧線飛行是戰(zhàn)機(jī)在執(zhí)行空中巡邏和偵察等任務(wù)時(shí)常用的飛行方式。在水平面內(nèi)進(jìn)行弧線飛行時(shí)其高度保持不變，其軌跡為圓弧或者橢圓弧一部分。

1.3 鉛垂面內(nèi)弧線飛行

鉛垂面內(nèi)弧線飛行是戰(zhàn)機(jī)實(shí)施俯沖攻擊及迅速躍升等動(dòng)作時(shí)常用的飛行方式。鉛垂面內(nèi)弧線飛行時(shí)其航跡在一個(gè)平面內(nèi)且此平面垂直于水平面。

1.4 復(fù)雜航跡飛行

以上三種基本飛行方式組合而成的復(fù)雜飛行航跡AC如圖1所示，可分解為AB與BC段。其中AB段水平面內(nèi)直線飛行，BC段為弧線飛行，BC段又可分解為水平面內(nèi)的弧線BC2與直線C2C合成或鉛垂面內(nèi)的弧線BC1與直線C1C合成。另外，常見的還有螺旋式上升航跡，可以分解為水平面內(nèi)勻速圓周運(yùn)動(dòng)與沿鉛垂軸的勻速直線運(yùn)動(dòng)。

2 四種飛行航跡數(shù)學(xué)模型的建立

通過以上對(duì)四種航跡的分析，分別建立了四類飛行航跡的數(shù)學(xué)模型。

2.1 空中直線飛行

空中直線飛行允許多次變速飛行，只需保持加速度與速度沿同一條直線即可。所以對(duì)于多段變加速度直線飛行，可以采用分段描述運(yùn)動(dòng)過程的方法。

直線飛行段可以通過平移處理將A點(diǎn)移至原點(diǎn)處，AB與H軸夾角為γ(0≤γ≤π)，AB在水平面的投影與X軸夾角為?(0≤?≤2π)，如圖2所示。

圖1 復(fù)雜飛行航跡示意圖

圖2 空中直線飛行示意圖

另外，假設(shè)直線飛行AB段經(jīng)過n次加速，加速度分別為aB1,aB2,...,aBn-1,aB，下面以第一段為例，進(jìn)行建模運(yùn)算。

結(jié)合圖6，設(shè)初始點(diǎn)A(xA,yA,HA)，速度為vA，加速度為aB1，第一段運(yùn)動(dòng)時(shí)間為tB1，則：

公式（1）即直線航跡飛行坐標(biāo)的基本公式。后面的計(jì)算以此類推，直至計(jì)算到B點(diǎn)位置坐標(biāo)及速度。

2.2 水平面內(nèi)弧線飛行

水平面內(nèi)弧線飛行指的是目標(biāo)保持一定高度上其航跡為圓周及圓的一部分或橢圓及橢圓的一部分。

（1）航跡為圓周或其一部分

如圖3所示，AB和CD段為直線航跡，AB為平行于坐標(biāo)軸的水平航跡，飛行到B點(diǎn)后假設(shè)目標(biāo)以B點(diǎn)速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知B(xB,yB,HB)，速度為vB，圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R（R大于目標(biāo)最小轉(zhuǎn)彎半徑），轉(zhuǎn)角為α(0≤α≤2π)，則可先求得P點(diǎn)坐標(biāo)：

其中，加減分別表示沿y軸正向和負(fù)向。角速度ω=vBR，則α=ωtC=vBtCR此時(shí)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)。圓周BC的運(yùn)動(dòng)方程為：

C的坐標(biāo)由公式（3）求得，其中公式（3）中減號(hào)與加號(hào)分別表示B點(diǎn)出加速度沿y軸正向和負(fù)向，且vC=vB。

（2）航跡為橢圓弧或其一部分

如圖4所示，AB和CD段為直線航跡，AB為平行于坐標(biāo)軸的水平航跡，飛行到B點(diǎn)后假設(shè)目標(biāo)均勻的角速度ω沿橢圓弧運(yùn)動(dòng)到C，橢圓長(zhǎng)軸和短軸分別為2a和 2b（a>b），轉(zhuǎn)過角度為 α(0≤α≤2π)，α=ωtC。則P點(diǎn)位置坐標(biāo)為：

圖3 航跡為圓周及其一部分

圖4 航跡為橢圓弧及其一部分

公式中加減分別表示沿y軸正向和負(fù)向。根據(jù)橢圓參數(shù)公式可得橢圓弧BC的運(yùn)動(dòng)方程為：

公式y(tǒng)=yP?bcos(ωt)中減號(hào)與加號(hào)分別表示沿y軸正向和負(fù)向。且在任意時(shí)刻其速度可由微積分：

則速度大小為：

可得C點(diǎn)速度為：

2.3 鉛垂面內(nèi)弧線飛行

鉛垂面內(nèi)弧線飛行指的是目標(biāo)航跡在垂直于水平面的一個(gè)面內(nèi)，其航跡為圓周及圓的一部分或橢圓及橢圓的一部分。鉛垂面內(nèi)弧線飛行與水平面的情況類似。

（1）航跡為圓弧或其一部分

鉛垂面內(nèi)航跡為圓弧的示意圖如5所示。AB與CD均為直線飛行段，BC為圓弧段，圓心位于P，半徑為R（大于目標(biāo)最小轉(zhuǎn)彎半徑），由B到C為等速飛行，沿X軸正向飛行，且兩段直線航跡均與圓相切。設(shè)目標(biāo)到達(dá) B(xB,yB,HB)，速度為 vB，轉(zhuǎn)角為 α(0<α≤2π)，俯沖角（速度方向與水平面夾角）為 β(0<β<π 2)。圓弧局部示意圖如圖6所示。

圖5 鉛垂面內(nèi)圓弧航跡示意

則可先求得P點(diǎn)坐標(biāo)為：

上述公式中加號(hào)與減號(hào)分別表示向下俯沖高度降低與向上拉起高度上升的情況。角速度ω=vBR，則α=ωtC=vBtCR此時(shí)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)。結(jié)合圖6，考慮圓部分任意點(diǎn)M，則圓弧BC的運(yùn)動(dòng)方程為：

上 述公式 H=HP?Rcos(β-ωt)=HP?Rcos(vBtR-β)中減號(hào)和加號(hào)分別表示向下俯沖高度降低與向上拉起高度上升的情況。C的坐標(biāo)由公式（10）求得，且vC=vB。

（2）航跡為橢圓弧或其一部分

如圖7所示為鉛垂面內(nèi)橢圓弧運(yùn)動(dòng)航跡。目標(biāo)在X軸方向上沿正向運(yùn)動(dòng)，先以直線AB飛行到B點(diǎn)后沿橢圓弧BC運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，再沿直線CD運(yùn)動(dòng)。為了方便起見，橢圓長(zhǎng)軸平行于X軸，假設(shè)目標(biāo)以均勻的角速度ω從B(xB,yB,HB)，沿橢圓弧運(yùn)動(dòng)到C，橢圓長(zhǎng)軸和短軸分別為 2a和 2b（a>b），在橢圓上經(jīng)過角度為α(0<α≤2π)，則 α=ωtC。在 B 點(diǎn)時(shí)速度為 vB，俯沖角（速度方向與水平面夾角）為β(0<β<π 2)。

圖6 圓弧局部示意圖

圖7 鉛垂面內(nèi)橢圓弧航跡示意圖

圖8 橢圓弧局部示意圖

橢圓弧局部示意圖如圖8所示。其中M為橢圓航跡中任一點(diǎn)，設(shè)B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橢圓參數(shù)角為，為未知參數(shù)。其中表示向上拉起高度上升的情況，而表示向下俯沖高度下降的情況。

首先需要求解P點(diǎn)位置坐標(biāo)，其求解過程如下：

根據(jù)橢圓參數(shù)公式：

而B點(diǎn)處橢圓切線斜率為tanβ。另外可通過橢圓方程：

兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得：

再結(jié)合圖8，根據(jù)橢圓參數(shù)意義，可得橢圓弧BC段的運(yùn)動(dòng)方程為：

公式H=HP+bsin(φ?ωt)中減法和加法分別表示向上拉起與向下俯沖的情況。且在任意時(shí)刻其速度可由微分得到：

速度大小為：

則C點(diǎn)速度為：

2.4 復(fù)雜航跡飛行

復(fù)雜航跡由以上三類基本航跡組合而成。這里以兩個(gè)常見復(fù)雜航跡為例。

航跡1：如圖1所示，將整個(gè)航跡分解成兩段AB、BC進(jìn)行研究。

AB段：AB段為直線飛行為勻速運(yùn)動(dòng)，速度為vA=vB=v0，AB段與 X軸正向夾角為 β(假設(shè)π2≤β<π)，初始坐標(biāo)A(xA,yA,HA)，以A點(diǎn)作為起始時(shí)刻，AB的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：

則在AB段任意時(shí)刻目標(biāo)的位置為：

B 點(diǎn)坐標(biāo) B(xA-yAcotβ,0,0)。

BC段：BC段為弧線飛行，將其分解為水平面內(nèi)的勻速圓弧運(yùn)動(dòng)BC2和沿H軸的初速為0的勻加速運(yùn)動(dòng)C2C，其中BC2所在圓弧示意圖如圖9所示。

先分析BC2段如下：

圖9 橢圓弧局部示意圖

由（1）的分析可知，P點(diǎn)坐標(biāo)：

再分析C2C段：加速度為a，則：

航跡2：目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)在X軸方向?yàn)閯蛩龠\(yùn)動(dòng)，在Y軸方向?yàn)閯蚣铀賏y=a0運(yùn)動(dòng)，在H軸方向?yàn)樽兗铀賏H=ksint運(yùn)動(dòng)。目標(biāo)進(jìn)行變速運(yùn)動(dòng)初始時(shí)刻為t0，目標(biāo)初速度為(vx0,vy0,vH0)，初始位置(x0,y0,H0)。則目標(biāo)任意時(shí)刻速度為：

速度：

坐標(biāo)為：

3 各類航跡的模擬與仿真

在對(duì)以上四類飛行航跡進(jìn)行數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)上，考慮目標(biāo)飛行實(shí)際情況，設(shè)定相應(yīng)的參數(shù)值，利用MATLAB對(duì)各類不同的航跡進(jìn)行模擬仿真。

3.1 直線航跡的仿真

設(shè) A（1000,500,3000），初速度 vA=200，n=2，aB1=2,aB=1，tB1=60,tB=30 ，?=30°,γ=80°，則仿真輸出航跡如圖10所示。

3.2 水平面內(nèi)弧線航跡的仿真

（1）水平面內(nèi)圓弧航跡的仿真

設(shè) B（1500,1000,4000）,R=1500,vB=250,α=4π3 。則目標(biāo)航跡仿真結(jié)果如圖11所示。

（2）水平面內(nèi)橢圓弧航跡的仿真

設(shè) B（1500,1000,4000），a=1500，b=800，ω=0.1，α=π。則目標(biāo)航跡仿真結(jié)果如圖12所示，速度仿真結(jié)果如圖13所示。

圖10 直線運(yùn)動(dòng)航跡變化曲線

圖11 水平面內(nèi)圓弧航跡的仿真

圖12 水平面內(nèi)橢圓弧航跡在xoy投影

圖13 水平面內(nèi)橢圓弧航跡速度曲線

3.3 鉛垂面內(nèi)弧線航跡的仿真

（1）鉛垂面內(nèi)圓弧航跡的仿真

設(shè) B（1500,1000,4000）,R=1200,vB=200,α=2π3 ，β=π6。則目標(biāo)航跡仿真結(jié)果如圖14所示。

圖14 鉛垂面內(nèi)圓弧航跡

（2）鉛垂面內(nèi)橢圓弧航跡的仿真

設(shè) B（1500,1000,4000），a=1800，b=1000，ω=0.1，α=2π3，β=π6。目標(biāo)航跡及速度仿真結(jié)果分別如圖15和16所示。

圖15 鉛垂面內(nèi)橢圓弧航跡

圖16 鉛垂面內(nèi)橢圓弧航跡速度變化

3.4 復(fù)雜航跡的仿真

航跡 1：設(shè) A（2000,-3000,0），v0=300，β=5π6，R=2000，a=8，t2=10，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)航跡仿真與速度仿真結(jié)果如圖17和18所示。

圖17 復(fù)雜航跡1的仿真

圖18 復(fù)雜航跡1速度變化

航跡 2：設(shè) A（0,0,0），v0=300，a=1，t=30，目標(biāo)航跡與速度的仿真結(jié)果如圖19-20所示。

圖19 復(fù)雜航跡2仿真

圖20 復(fù)雜航跡2速度變化曲線

4 結(jié)語(yǔ)

本文將橢圓弧航跡、復(fù)雜航跡和運(yùn)動(dòng)速度引入航跡分析中，并依據(jù)航跡的復(fù)雜程度，將航跡歸為直線航跡、水平面弧線航跡、鉛垂面弧線航跡、復(fù)雜航跡四類。并建立了大地坐標(biāo)系下四類航跡的數(shù)學(xué)模型，然后通過MATLAB對(duì)模型進(jìn)行仿真，得出了仿真結(jié)果，結(jié)果較為理想地反映了實(shí)際航跡。本文的工作為下一步進(jìn)行目標(biāo)航跡和狀態(tài)預(yù)測(cè)提供了支撐。