吳廣國 鄒 斌

(1. 北京景山學(xué)校,北京 100006; 2. 中央民族大學(xué)理學(xué)院,北京 100081)

在普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)中提出的物理課程基本理念,特別強調(diào)要注重體現(xiàn)物理學(xué)科本質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生物理核心素養(yǎng).并且新課程標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為高中物理教學(xué)需要格外注重課程的時代性,關(guān)注科技進步和社會發(fā)展需求.反映當(dāng)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的重要成果和科學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生的社會參與意識和社會責(zé)任感.[1]2018年北京高考第24題以“中國天眼”世界上最大的單口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡FAST為背景素材,[2]通過對相關(guān)知識的介紹,考查考生通過新情境獲取信息,思考并解決問題的能力.

點電荷的電場強度與對應(yīng)球面面積矢量的點積稱為電場強度通量(簡稱電通量).在無源的球面上,電通量是一個守恒量.在此基礎(chǔ)上,延伸到同一球面單位面積接收的來自天體電磁波功率與望遠(yuǎn)鏡正對球面大小有關(guān)的思想,引導(dǎo)考生理解地球上不同口徑的望遠(yuǎn)鏡觀測同一天體其接收的功率應(yīng)該與它的接收面積成正比.最后與100m望遠(yuǎn)鏡相比,其靈敏度大大提高,引導(dǎo)學(xué)生建立空間電磁輻射的物理模型,并從理論上大致預(yù)測FAST能觀測到的目標(biāo)天體的數(shù)目.試題設(shè)計巧妙,逐步引導(dǎo)考生領(lǐng)悟場和通量等基本物理概念.

1 2018年高考理綜卷(北京卷)物理第24題原題

第24題原題如下.

(1) 靜電場可以用電場線和等勢面形象描述.

(a) 請根據(jù)電場強度的定義和庫侖定律推導(dǎo)出點電荷Q的場強表達(dá)式;

圖1 正點電荷Q的電場線和等勢面

(2) 觀測宇宙中輻射電磁波的天體,距離越遠(yuǎn)單位面積接收的電磁波功率越小,觀測越困難.為了收集足夠強的來自天體的電磁波,增大望遠(yuǎn)鏡口徑是提高天文觀測能力的一條重要途徑.2016年9月25日,世界上最大的單口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡FAST在我國貴州落成啟用,被譽為“中國天眼”.FAST直徑為500 m,有效提高了人類觀測宇宙的精度和范圍.

(a) 設(shè)直徑為100 m的望遠(yuǎn)鏡能夠接收到的來自某天體的電磁波功率為P1,計算FAST能夠接收到的來自該天體的電磁波功率P2;

(b) 在宇宙大尺度上,天體的空間分布是均勻的.僅以輻射功率為P的同類天體為觀測對象,設(shè)直徑為100 m望遠(yuǎn)鏡能夠觀測到的此類天體數(shù)目是N0,計算FAST能夠觀測到的此類天體數(shù)目N.

2 對2018年高考理綜卷(北京卷)物理第24題的解析和評述

(1) (a) 在距Q為r的位置放一電荷量為q的檢驗電荷.根據(jù)庫侖定律檢驗電荷受到的電場力

(1)

由電場強度的定義

(2)

得

(3)

(b) 直觀的解答方法:因為球?qū)ΨQ,所以穿過兩球面的電場線的條數(shù)相等,設(shè)為N0,則穿過兩等勢面單位面積上的電場線條數(shù)之比

(4)

深究本小問的物理科學(xué)本質(zhì),該小問十分巧妙地考查了電場強度通量(以下簡稱電通量)這一物理概念.

首先,高中物理教學(xué)一般會向?qū)W生介紹磁通量這一概念,并且考生也應(yīng)該知道通過某一平面的磁通量的大小,可以用通過這個平面的磁感線的條數(shù)的多少來形象地說明.高中所講的面積是平面的面積,磁場也是勻強磁場.類比于磁通量的概念,我們同樣也可以用通過某個平面的電場線的條數(shù)多少來形象地描述通過該平面的電通量的大小.

其次,雖然本題的電場強度不是勻強電場,并且面積還是球面面積,但是題目巧妙設(shè)定了正點電荷激發(fā)的電場,由球?qū)ΨQ性可知這種電通量正好等于電場強度大小乘以相應(yīng)位置球面的面積.注意電場強度和面積都是矢量,電通量為這兩個矢量的點乘,考慮球?qū)ΨQ性,矢量點乘可以變成標(biāo)量乘積的形式.則單位面積上通過的電場線條數(shù)與該點對應(yīng)的電場強度大小成正比.所以利用第(3)式,該小問又可以解答為

(5)

需要說明的是,利用真空中靜電場的高斯定理

(6)

可以計算閉合曲面電通量.由該定理可以很明顯地看出,(4)式中穿過閉合球面的電場線條數(shù)正比于球心處的點電荷Q大小除以真空中的介電常數(shù),即

(7)

所以教師可以從高斯定理入手,深刻理解(4)式的計算過程,挖掘其物理學(xué)科的本質(zhì).

(2) (a) 設(shè)直徑為d=100 m望遠(yuǎn)鏡,FAST望遠(yuǎn)鏡的直徑D=500 m.設(shè)該天體輻射功率為P0,該天體到地球望遠(yuǎn)鏡的距離為L.一般可以認(rèn)為天體輻射的波前為球面,來自某天體的電磁波到達(dá)地球時單位面積上的輻射功率乘以望遠(yuǎn)鏡的“物鏡”面積,就是望遠(yuǎn)鏡能夠接收到的功率,即

(8)

(9)

所以

(10)

即P2=25P.

(b) 探測器在探測信號時都有一個測量閾值,即單位時間內(nèi)接受到的能量為Pt,望遠(yuǎn)鏡接收到的功率小于該閾值Pt將不會被探測到.2018年高考理綜卷(北京卷)的考題提到,“為了收集足夠強的來自天體的電磁波,增大望遠(yuǎn)鏡口徑是提高天文觀測能力的一條重要途徑”,也就是說題目主要考慮增大望遠(yuǎn)鏡口徑這種單一因素來提高儀器的觀測能力,默認(rèn)兩種望遠(yuǎn)鏡的測量閾值相同.

圖2 正入射的天體A和斜入射的天體B示意圖

題干設(shè)宇宙大尺度,天體的空間分布均勻,并僅考慮輻射功率為P的同類天體.這樣的理想化描述意味著在計算第(2)問全過程中都需要假設(shè),在宇宙大尺度上天體輻射能量不會衰減,且不考慮廣義相對論的影響.

設(shè)d=100 m的望遠(yuǎn)鏡面積為S0,直徑D=500 m的FAST望遠(yuǎn)鏡的面積為S,設(shè)能夠剛好探測到的天體A(正對于望遠(yuǎn)鏡“物鏡”的天體,如圖2所示)到兩個望遠(yuǎn)鏡的最大距離分別為L0和L. 對于直徑為d=100 m的望遠(yuǎn)鏡的測量閾值為

(11)

同樣,對于直徑D=500 m的望遠(yuǎn)鏡,其測量閾值為

(12)

由題意分析知,兩種望遠(yuǎn)鏡的測量閾值相同,有

(13)

所以

(14)

考慮望遠(yuǎn)鏡可以適當(dāng)轉(zhuǎn)向所要觀測的空域,并且地球是在不斷的自轉(zhuǎn).這樣,即使原本不正對望遠(yuǎn)鏡的天體B可以通過適當(dāng)?shù)霓k法讓它正對望遠(yuǎn)鏡.在一定的時間范圍內(nèi)(比如說1天),我們可能實現(xiàn)對宇宙全空間的探測(以望遠(yuǎn)鏡為球心,立體角為4π).此時,一個望遠(yuǎn)鏡能觀測到的此類天體數(shù)目正比于以望遠(yuǎn)鏡為球心、以最遠(yuǎn)觀測距離為半徑的球體體積(這是非常理想的情況).即能夠探測到的宇宙空間體積之比為

(15)

考慮在宇宙大尺度上天體的空間分布是均勻的,有

(16)

得N=125N0.

對上述結(jié)果我們可以作如下兩個方面的進一步探討.

① 南仁東教授在“FAST 的進展”一文中提到位于北半球的FAST的天頂角為40°.[2]即使考慮地球自轉(zhuǎn)的運動,實際上FAST也很難做到對全空域進行觀測.在這種情況下,FAST觀測的空域體積與其所能觀測的最大距離L是什么關(guān)系呢?

我們暫時僅考慮地球自轉(zhuǎn)的情況.考慮到地球自身的半徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于L,所以可以把地球看成一個質(zhì)點,作為球坐標(biāo)系的原點.這里我們以地球赤道平面為球坐標(biāo)系的xOy面,以指向北極星的地軸為z軸正方向,如圖3所示.考慮到望遠(yuǎn)鏡可以在地球經(jīng)線方向上作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整,以利于觀測,所以在剖面圖上望遠(yuǎn)鏡的測量范圍可以認(rèn)為是一個扇形,如圖3中陰影部分所示.我們不妨假設(shè)FAST能探測到的同類天體位于球函數(shù)坐標(biāo)β≤θ≤γ范圍內(nèi),用Matlab軟件可以畫出立體示意圖,如圖4所示.在圖4中,各坐標(biāo)軸上的數(shù)值均以L為單位.

在球坐標(biāo)系下很容易計算出,這種情況下FAST觀測的空域體積為

(17)

由上式可以看出,β≤θ≤γ范圍基本不變的情況下,觀測的空域體積與最大距離L3次方成正比.

圖3 地球自轉(zhuǎn)使得FAST能探測到的空域剖面圖

圖4 地球自轉(zhuǎn)使得FAST能探測到的空域立體示意圖

即使進一步考慮地球公轉(zhuǎn)的因素,因為地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑依然遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于FAST觀測的最大距離L,所以還是可以把繞太陽公轉(zhuǎn)的地球看成質(zhì)點,上述推導(dǎo)過程和結(jié)論保持不變.

② 如果認(rèn)為望遠(yuǎn)鏡是靜止的,即不考慮望遠(yuǎn)鏡適當(dāng)可以轉(zhuǎn)向和地球的運動,或者考慮在很短的觀測時間內(nèi)(如1min內(nèi)),望遠(yuǎn)鏡還沒有調(diào)整觀測方向,此時望遠(yuǎn)鏡能觀測到的同類天體的范圍是什么樣的,其對應(yīng)的體積還與L3或者L03成正比嗎?

為此我們以FAST觀測為例,假設(shè)有一輻射功率也為P的天體B相對FAST不是正對的. 同樣不考慮廣義相對論的影響,相對于輻射天體B的望遠(yuǎn)鏡“物鏡”平面的有效平面面積為Scosα,如圖2所示.則在同樣距離下,FAST接收到的來自于天體B和天體A輻射功率是不相同的.可以大致判斷出來,隨著α角的增大,望遠(yuǎn)鏡能夠觀測到的輻射功率均為P的最遠(yuǎn)天體的距離在減小.

以下簡略地給出這種理想情況下FAST可以觀測到的天體范圍和數(shù)目.考慮到天體A在FAST的正上方,距離設(shè)為L,天體B在其斜上方,到FAST的距離設(shè)為l.天體A和天體B均為FAST所能探測到的最遠(yuǎn)同類天體.則有

(18)

整理得

L2cosα=l2.

(19)

設(shè)FAST所在的位置為坐標(biāo)原點,其正上方為z軸正方向,望遠(yuǎn)鏡“物鏡”平面為xOy面,在圖2中設(shè)向右為y軸正方向.我們不妨先在yOz平面討論問題,由幾何關(guān)系可以看出,當(dāng)y>0,z>0時B的坐標(biāo)與距離l的三角函數(shù)關(guān)系為

y=lcosα,z=lsinα.

(20)

且有

(21)

將(20)式中的兩式平方并相加,然后與(21)式一起代入(19)式中,整理得到

(22)

利用Matlab軟件畫出(22)式的函數(shù)曲線,如圖5所示.

圖5 靜止的FAST所能探測到最遠(yuǎn)天體范圍的二維剖面圖

假設(shè)FAST靜止,其探測的同類天體相對于z軸為旋轉(zhuǎn)對稱的.所以靜止的望遠(yuǎn)鏡能觀測到的輻射功率P的同類天體最遠(yuǎn)范圍為類似一個雞蛋形狀的立體圖形,如圖6所示(利用Matlab軟件繪制).在圖6中,FAST處于坐標(biāo)原點處,各坐標(biāo)軸上的數(shù)值均以L為單位.

圖6 靜止的FAST看到的具有相同輻射功率的最遠(yuǎn)天體范圍示意圖

考慮對稱性,圖6的立體圖形在某個z高度的切面為圓形,圓的半徑r可以由(22)式給出

(23)

則最遠(yuǎn)天體范圍的體積可以通過積分得到

(24)

即該體積依然與L3成正比,(16)式中N=125N0的結(jié)論依然是成立的.

由以上的討論中可以看出,如果孤立的、靜止的看待望遠(yuǎn)鏡探測問題,將使第(2)題(b)的解答過程陷入困境,相關(guān)數(shù)學(xué)工具可能也是高中學(xué)生并不掌握的.只有考慮望遠(yuǎn)鏡可適當(dāng)進行調(diào)節(jié),并且假設(shè)望遠(yuǎn)鏡可以進行全空域的觀測這種理想情況存在,將第(2)題(a)小問中以天體為幾何中心轉(zhuǎn)變?yōu)?b)小問中以望遠(yuǎn)鏡為幾何中心,轉(zhuǎn)換解題思路,才能比較快速地解答2018年北京高考壓軸題的最后一問.

3 教學(xué)啟示和總結(jié)

本題第1問根據(jù)基本物理規(guī)律庫侖定律和電場強度的定義來求解空間點電荷電場強度的表達(dá)式,題目較為簡單.而電場線條數(shù)背后隱含著電場強度通量這一概念,這里更是用靜電場的問題在隱含考查靜磁場的相關(guān)概念.在教學(xué)過程中,特別要注意基本物理概念和規(guī)律的學(xué)習(xí),引導(dǎo)學(xué)生多思考電場和磁場的異同點,深刻理解“場”這一重要的物理概念.

第2問(a)中,其實已經(jīng)引導(dǎo)著我們得出,望遠(yuǎn)鏡的面積變大,會使同一個天體輻射到達(dá)望遠(yuǎn)鏡的功率變大.而作者認(rèn)為(b)中最核心的信息為① 在宇宙大尺度上,天體的空間分布是均勻的,這就告訴我們天體個數(shù)與體積成正比; ② 望遠(yuǎn)鏡等探測儀器探測到天體是有一個測量閾值,原來能有輻射到達(dá)小面積的望遠(yuǎn)鏡而無法被探測到,面積大了以后,接收到的能量達(dá)到閾值后就能夠被探測到,從而增加探測到的天體數(shù)目.

閾值的思想和概念在考試題目中并沒有給出,對考生來說,這也是本題需要格外注意的地方.在日常的教學(xué)過程中,如何使學(xué)生能夠理解并掌握這種物理本質(zhì)?這不是通過做了多少題目能夠訓(xùn)練出來的.比如我們在學(xué)電流時,知道有安培、毫安、微安、納安甚至皮安等電流的單位,那如果我們用普通實驗室的電流表能否測出1 nA的電流呢?顯然對于任何測量儀器來說,有一個測量閾值的概念存在.再比如我們用歐姆表的×10 k擋位來測量電阻值約是10.0 Ω的電阻,顯然該擋位的測量閾值偏高,所以我們才需要去換較小檔位進行測量.

總之,在學(xué)生獲得知識的過程中,特別要注重基本物理概念和物理規(guī)律的形成和建立的過程,深刻理解引入物理概念和規(guī)律的必要性.對于基本的物理實驗器材和設(shè)備,要切實理清其根本原理和物理本質(zhì),這也是注重物理學(xué)科的時代性,關(guān)注科學(xué)前沿與科技進步的基礎(chǔ)和前提.

4 致謝

作者感謝與中央民族大學(xué)學(xué)科教學(xué)(物理)專業(yè)2017級胡禔臻同學(xué)的有益探討,感謝中央民族大學(xué)應(yīng)用物理學(xué)專業(yè)2015級廖琨同學(xué)繪制了最遠(yuǎn)天體范圍的二維剖面圖和立體示意圖.