劉戰(zhàn)合, 全金樓, 楊靜媛, 蘇丹, 張偉偉

在葉輪機械設計研制過程中,葉盤系統(tǒng)通常被設計成諧調的,這樣各葉盤結構扇區(qū)具有完全相同的物理參數(shù)和結構參數(shù),也就是通常說的圓周循環(huán)對稱結構。這樣就能通過施加周期性邊界條件將整個葉排簡化為單一葉片進行計算和分析。然而在實際過程中由于加工制造過程中的誤差、實際工作的磨損等因素的影響,葉盤結構的某些葉片的結構或幾何參數(shù)不可避免的存在偏差。這種現(xiàn)象稱之為葉片的失諧。研究表明失諧可以提高葉片的顫振穩(wěn)定性,但會提高少數(shù)葉片的響應幅值引起葉片的高周期疲勞失效[1-3](high cycle fatigue failure,HCF)。顫振、HCF問題是葉輪機械在設計階段關注的主要問題之一。如英國的RB211、美國的F100等機種的發(fā)動機在研制過程中都出現(xiàn)過壓氣機或者風扇葉片的顫振故障,J85-21在制造階段發(fā)生了葉片的高周期疲勞失效,這些都帶來很大的經濟損失。所以對失諧葉盤系統(tǒng)的氣動彈性特性進行研究對葉輪機械的設計有重要意義。

失諧問題的研究開始于20世紀60年代,最早由Whitehead[4]在1964年提出并引起關注,他發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)小的頻率失諧后,系統(tǒng)的不穩(wěn)定特征值變少了。當時的許多學者認為葉片的失諧振動將會使葉片振幅成倍增加而給葉輪機帶來強迫響應問題,引起葉片的疲勞而導致葉片結構的損傷和破壞。1969年,Dye and Henry[5]通過集中參數(shù)模型的研究發(fā)現(xiàn),在質量或頻率失諧時,少數(shù)葉片上的振動幅值和集中應力將顯著增加;80年代,陸續(xù)有學者在研究中發(fā)現(xiàn),失諧能顯著提高顫振邊界。1982年,Kaza and Kielb[6]通過對rotor 12翼型的研究發(fā)現(xiàn)失諧能夠改善彎扭耦合顫振和非耦合扭轉顫振。近年來,國內外越來越多的研究學者從各個方面開展了失諧葉盤結構振動的研究。Pierre發(fā)展了攝動方法來研究模態(tài)局部化問題[7-8],發(fā)現(xiàn)失諧可以提高顫振穩(wěn)定性但會引起模態(tài)局部化現(xiàn)象,并對引起模態(tài)局部化現(xiàn)象的機理做了研究;采用減縮的有限元模型和實驗方式來研究受迫響應[9-10],發(fā)現(xiàn)受迫響應會隨著失諧程度的增加先增大而后減小;對非線性的失諧葉片振動和葉盤失諧識別也有研究[11-12]。Petrov提出了一種有效的失諧葉盤建模方法[13],通過只求解主自由度來降階的獲得失諧系統(tǒng)的受迫響應;通過理論和數(shù)值模擬分析了失諧對受迫響應的影響[14-16],并通過優(yōu)化得到想要的失諧方式;使用精確有限元模型研究了摩擦對失諧葉盤振動特性的影響[17]。

一般研究者[18-19]大多是從結構間的耦合出發(fā),通過在頻域內求解結構運動方程的特征值問題來研究失諧,一般將氣動力忽略或當成一個小擾動;而直接從時域入手考慮流固耦合作用研究的只見于文獻[20-21]。其在時域內直接求解非定常Euler/N-S方程,從耦合氣動力的角度通過分析葉片的動力響應特性來研究剛度失諧對顫振穩(wěn)定性的影響,需要的計算量偏大。本文基于氣動力降階模型,耦合結構運動方程,實現(xiàn)了對葉片失諧特性的快速耦合研究。

1 計算方法

1.1 結構模型

應用拉格朗日方程,流場中葉排的結構運動方程為:

(1)

式中,M為葉排質量矩陣,G為結構阻尼矩陣,K為葉排剛度矩陣,F為各個葉片上受到的模態(tài)氣動力所組成的向量,Fi為第i個葉片所受到的模態(tài)氣動力。ξ為結構運動的廣義位移。

將葉排結構運動方程寫成狀態(tài)空間形式:

(2)

式中

對于方程(1)的求解可采用2種計算方法,一種是采用CFD/CSD直接耦合的時域求解[22],計算量非常大;另一種是建立起降階的氣動力模型,在保證計算精度的同時降低計算量。

1.2 氣動力模型

本文所涉及的基本假設有:動態(tài)線性非定常流假設,即假設對于同一葉片來說,不同葉片運動所造成的非定常氣動力是可疊加的[23]。同時,假設某一個葉片振動誘導產生的擾動僅能傳播至鄰近少數(shù)的幾個葉片[24]。因此,我們只需要計算少數(shù)幾個葉片通道的非定常流場便可模擬整個葉柵的非定常氣動力模型。在進行流場計算時,計算域僅為少數(shù)的幾個葉片通道,且非定常效應僅由單個葉片振動引起。

進行系統(tǒng)辨識時,采用經典系統(tǒng)辨識方法中的最小二乘估計方法來建立離散非定常氣動力的降階模型并識別相應參數(shù),模型選用ARX模型。

利用參考文獻[25-26]的方法,我們使用多級信號作為輸入信號,葉片的氣動力作為輸出。假設計算域外的葉片上的氣動力可以忽略不計,按賦零處理,得到輸出量數(shù)目與葉排數(shù)目一致的單輸入/多輸出離散系統(tǒng)。其描述方程為:

(3)

根據假設,系統(tǒng)的輸入信號為某一葉片的模態(tài)位移。設第i個葉片的位移為輸入信號,故令模態(tài)位移ξi=u′,則模態(tài)氣動力系數(shù)fa=y′。為了便于進行氣動彈性的穩(wěn)定性分析,將(2)式差分模型轉化為狀態(tài)空間模型。定義狀態(tài)向量:

ξi(m-1),…,ξi(m-nb+1)]T

則離散空間內的氣動力狀態(tài)方程和輸出方程可以寫為:

(4)

通過雙線性變換,將上式轉化為連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間形式,并略去靜態(tài)氣動力得

fa(t)=Caxa(t)+Daξi(t)

(5)

再根據葉輪機的輪換對稱性,假設葉排的葉片總數(shù)為N,將N個狀態(tài)空間形式的方程進行組合得:

fac(t)=Cacxac(t)+Dacξ(t)

(6)

式中:

組合后得到了葉排多輸入/多輸出連續(xù)系統(tǒng)的氣動力狀態(tài)空間方程,但是組合后的狀態(tài)空間矩陣維數(shù)非常大,且矩陣為稀疏矩陣,零元素占絕大部分,為了便于計算,利用平衡截斷方法對矩陣進行降階,最終得到了降階氣動力模型。

1.3 氣動彈性模型

考慮到氣動彈性過程是氣動/結構耦合的一個不斷反饋的過程,將2個子系統(tǒng)進行反饋的聯(lián)接,得到如下的開環(huán)氣動彈性分析模型:

(7)

這樣葉排的顫振穩(wěn)定性分析就轉化為了求解狀態(tài)方程中氣動彈性矩陣的特征值問題了,矩陣特征值的實部為葉排系統(tǒng)的結構阻尼系數(shù),虛部為葉片振動頻率。當阻尼系數(shù)大于零時,系統(tǒng)穩(wěn)定;反之,系統(tǒng)發(fā)散。這樣我們可以通過狀態(tài)空間內特征值的變化來研究剛度失諧對顫振穩(wěn)定性的影響。

2 算例與分析

計算算例采用標準葉片顫振模型——STCF4[26],其葉片弦長為c=0.074 4 m,葉片在葉柵延伸方向間距為D=0.056 5 m,葉片安裝角γ=56.65°, 共有20組葉片。計算狀態(tài)為552B實驗狀態(tài):入口總壓為1.714×105Pa,出口靜壓為1.013×105Pa,均勻入流角為β1=-45°,入口靜溫T1=288.15 K。計算中葉片與弦線方向成δ=60.4°夾角的方向做微幅振動。結構參數(shù)為:質量比為800,固有頻率為936.2 rad/s。

2.1 正確性驗證

為了驗證本文提出的ROM方法的正確性,運用該方法計算了在給定初始位移條件下的八葉排通道的自由振動響應并和參考文獻[22] 采用CFD/CSD直接耦合的求解結果進行了比較。如圖1、圖2所示,圖1為葉排系統(tǒng)為諧調時2種方法計算得到的自由振動響應,圖2為葉排系統(tǒng)按奇數(shù)葉片的振動頻率減小3%,偶數(shù)葉片的振動頻率增加3%的方式發(fā)生失諧后的自由振動響應。2種方法的計算結果吻合的很好,證明本文提出的ROM方法能夠用于葉排系統(tǒng)的葉片剛度發(fā)生失諧的模擬。

圖1 葉片失諧前的自由響應

圖3為參考文獻[22]方法獲得的自由振動響應曲線的頻譜分析,可以看出此時八葉排通道系統(tǒng)有2個不穩(wěn)定頻率。圖4為用本文提出的ROM方法求解出氣動彈性方程的特征值,給出的最不穩(wěn)定部分特征值的分布,可以看出八葉排通道系統(tǒng)有兩個不穩(wěn)定特征值,且其虛部對應的葉片振動頻率分別和圖3中的不穩(wěn)定頻率對應。證實了ROM方法可以通過氣動彈性矩陣的特征值分布來分析葉排系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

表1給出了2種方法在主頻為2.53 GHz的八核計算機獲得圖1的結果所用的計算時間,對比可知本文提出的降階方法的計算效率比參考文獻[22]方法的計算效率提高了2個量級。且對于顫振穩(wěn)定性分析我們只需求解出氣動彈性矩陣的特征值,計算時間將會更少。

2.2 主動失諧研究

從圖1、圖2還可以看出,剛度失諧前葉排系統(tǒng)自由響應曲線發(fā)散;而剛度失諧后曲線收斂。所以剛度失諧可以改善系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性。為了進一步研究剛度失諧對系統(tǒng)顫振穩(wěn)定性的影響,且為了和實際一致我們首先研究了2種典型的主動失諧形式對包含20個葉片的葉排系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性的影響。如圖5、圖6所示,圖中直線表示諧調時葉片的剛度,柱狀圖表示失諧后各個葉片的剛度。其具有4種失諧葉片,假設失諧量為

σ=Δω/ωEigen

4種失諧葉片的振動圓頻率分別為:

ω1=(1-2σ)*ω0,ω2=(1-σ)*ω0

ω3=(1+σ)*ω0,ω4=(1+2σ)*ω0

2種失諧方式的失諧葉片數(shù)目相同、所有葉片振動頻率的均值等于諧調葉片的振動頻率;只是失諧葉片的分布不同,失諧方式1是一個“五葉片基本扇區(qū)”圓周循環(huán)對稱結構,而失諧方式2是一個“十葉片基本扇區(qū)”圓周循環(huán)對稱結構;且失諧方式1葉片剛度變化過渡劇烈,而失諧方式2的過渡平滑。

圖5 主動失諧方式1的葉片剛度分布

圖6 主動失諧方式2的葉片剛度分布

為了分析葉排系統(tǒng)在剛度失諧前后的顫振穩(wěn)定性特性,求解出失諧前后氣動彈性矩陣的特征值,并給出了系統(tǒng)的全部特征值和最不穩(wěn)定部分特征值的分布,如圖7所示。可以看出,諧調時系統(tǒng)有部分特征值處于右半平面,所以諧調時系統(tǒng)不穩(wěn)定。而在2種失諧方式下系統(tǒng)的特征值在剛度發(fā)生失諧后都往左半平面移動,在一定的失諧量下,最不穩(wěn)定特征值處于臨界位置,此時系統(tǒng)由不穩(wěn)定變?yōu)榕R界穩(wěn)定狀態(tài);繼續(xù)增大失諧量,特征值完全處于左半平面,此時系統(tǒng)由臨界穩(wěn)定變?yōu)榉€(wěn)定。而在由不穩(wěn)定狀態(tài)達到臨界穩(wěn)定狀態(tài),失諧方式2需要更大的失諧量;在相同的失諧量下,失諧方式1的最不穩(wěn)定特征值比失諧方式2的處于更加偏左的位置。由此說明剛度失諧可以改變系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性,但受到失諧方式和失諧量的影響。

圖7 失諧前后的特征值分布

圖8 失諧前后的位移模態(tài)幅相圖

剛度失諧在增加系統(tǒng)顫振穩(wěn)定性的同時,也會帶來模態(tài)局部化現(xiàn)象,如圖8所示。以一節(jié)徑模態(tài)為例,圖8給出了在剛度失諧前后葉排的位移模態(tài)的幅相圖,可以看出協(xié)調時系統(tǒng)的位移模態(tài)幅值相同,以等相角差分布;而失諧后系統(tǒng)的位移模態(tài)變大或變小、葉排不再以等相角差形式分布,出現(xiàn)了模態(tài)局部化現(xiàn)象。

葉排結構處于“準周期對稱結構”,在每個基本扇區(qū)之間位移模態(tài)保持均勻分布;但在每個基本扇區(qū)內個葉片間是失諧的,基本扇區(qū)內發(fā)生了模態(tài)局部化現(xiàn)象。相同條件下失諧方式2下的模態(tài)局部化程度更嚴重,所以 “準周期對稱結構”基本扇區(qū)包含葉片數(shù)越多,其模態(tài)局部化程度越嚴重。

為了更加清楚的說明剛度失諧對系統(tǒng)顫振穩(wěn)定性的影響,給出了2種失諧方式下,系統(tǒng)最不穩(wěn)定特征值隨失諧量的變化如圖9所示。

圖9 穩(wěn)定性隨失諧量的變化

且為了說明流固耦合作用對剛度失諧效應的影響,該圖還給出了不同質量比下的結果?？梢钥闯鲈?種質量比下,系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性都隨著失諧量的增加而改變,且因為失諧方式1的葉片剛度過渡比失諧方式2劇烈,所以在失諧方式1下隨著失諧量的增加系統(tǒng)將先由不穩(wěn)定變?yōu)榉€(wěn)定。對比不同質量比下的曲線可知,在小質量比下系統(tǒng)由不穩(wěn)定變?yōu)榉€(wěn)定需要更大的失諧量,而質量比越小流固耦合作用越強,所以流固耦合作用降低了系統(tǒng)穩(wěn)定性變化對剛度失諧的敏感性。

2.3 隨機失諧研究

由于加工誤差和使用中的磨損導致的葉片間失諧一般是隨機性的,所以文中還研究了在葉片剛度隨機失諧情況下,系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性和模態(tài)局部化的變化。令葉片的頻率服從均值為0、標準差為0～1%的正態(tài)隨機分布。圖10給出一典型隨機分布的葉片剛度的柱狀圖。和主動失諧相比,其相當于一個“20葉片基本扇區(qū)”圓周循環(huán)對稱結構。

圖10 隨機失諧方式的葉片剛度分布

因為失諧的隨機性,所以采用基于Monte Carlo模擬的統(tǒng)計方法來隨機失諧對系統(tǒng)性能的影響,取模擬樣本數(shù)為500。圖11給出了不同質量比下系統(tǒng)最不穩(wěn)定特征值的均值隨失諧量的變化。

圖11 穩(wěn)定性隨失諧量的變化

可以看出,隨著失諧量的增加,系統(tǒng)的穩(wěn)定性都得到了改善;在大質量比下系統(tǒng)在失諧量為5.5%左右時就達到了臨界穩(wěn)定,而此時小質量比下系統(tǒng)還是不穩(wěn)定的,所以耦合作用越小,系統(tǒng)穩(wěn)定性變化對失諧就更敏感。圖中曲線的拐折是由于樣本的隨機性導致的,也說明了隨機失諧中穩(wěn)定性的變化同樣受到失諧方式的影響。

圖12 葉排位移模態(tài)幅相圖

圖12給出了葉片剛度隨機失諧時葉排的位移模幅相圖?？梢钥闯鲈陔S機失諧方式下葉排間不在符合等相角差、位移模態(tài)或變大或變小,出現(xiàn)了模態(tài)局部化現(xiàn)象;由于其每個基本扇區(qū)內的葉片數(shù)相對于主動失諧更多,所以其模態(tài)局部化程度更嚴重。其模態(tài)局部化程度仍然受到失諧方式、失諧量、偶合作用的影響。

3 結 論

本文基于動態(tài)線性流假設和擾動傳播有限性假設,通過降階的氣動力模型,發(fā)展了一種研究高效的葉輪機葉片失諧分析方法,并通過和直接CFD方法的對比驗證了該方法的正確性。運用該方法研究了包含20組葉片的葉排系統(tǒng)在主動失諧和隨機失諧前后系統(tǒng)性能的變化,研究結果表明:

1) 計算結果驗證了主動失諧和隨機失諧都能改善系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性,同時也會引起模態(tài)局部化現(xiàn)象。

2) 在失諧葉片數(shù)目相同的情況下,葉片剛度變化過渡越劇烈,系統(tǒng)顫振穩(wěn)定性對剛度失諧越敏感;基本扇區(qū)葉片數(shù)越多,其模態(tài)局部化程度越嚴重。

3) 系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性變化、受到失諧方式、失諧量和流固耦合作用的影響;失諧量越大系統(tǒng)越穩(wěn)定、流固耦合作用越弱系統(tǒng)對失諧效應越敏感。