吳碩才 ，徐 雷 ，任清川 ，何思奇

（1.四川大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院，成都 610000；2四川九洲電器集團(tuán)有限公司，綿陽 621000）

由于目前大多數(shù)衛(wèi)星天線都只能跟蹤一顆衛(wèi)星，利用龍伯透鏡多焦點的特性，設(shè)計雙星跟蹤天線成為未來衛(wèi)星發(fā)展的方向。對雙星系統(tǒng)饋源進(jìn)行運動學(xué)分析，解算出雙星天線俯仰軸與方位軸與空間坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，能夠為雙星系統(tǒng)運動避障問題奠定基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[1]直接運用幾何關(guān)系，對機(jī)器人雙臂末端的坐標(biāo)進(jìn)行運動學(xué)分析，最終實現(xiàn)了雙臂機(jī)器人的實時避障。文獻(xiàn)[2]通過向量相加，對三自由度搖擺臺實現(xiàn)不同坐標(biāo)系之間的相互轉(zhuǎn)化，從而對其進(jìn)行運動學(xué)分析，并且運用Matlab與ADAMS進(jìn)行仿真，結(jié)果表明Matlab數(shù)值計算與ADAMS仿真結(jié)果一致，證明了運動學(xué)分析的正確性。文獻(xiàn)[3-7]采用標(biāo)準(zhǔn)的DH法對機(jī)器臂進(jìn)行運動學(xué)建模，然后利用反變換法結(jié)合幾何法將機(jī)械臂的姿態(tài)用角度表示。文獻(xiàn)[8]運用閉環(huán)理論對一種新型結(jié)構(gòu)的機(jī)器人進(jìn)行運動學(xué)分析，使得運動學(xué)等式的建立更加簡單。DH建模法適用于關(guān)節(jié)個數(shù)較多的機(jī)構(gòu)進(jìn)行運動學(xué)分析，由于機(jī)載衛(wèi)星通信雙星天線的關(guān)節(jié)個數(shù)較少，直接采用幾何法建立正運動學(xué)模型，能夠簡化運動學(xué)模型，使得求解逆運動學(xué)表達(dá)式更加簡便，從而提高計算效率。通過Matlab對所得表達(dá)式進(jìn)行數(shù)值計算，將所得結(jié)果與AMAMS仿真結(jié)果對比，驗證求解表達(dá)式的正確性，為雙星天線運動規(guī)劃和避障奠定基礎(chǔ)。

1 雙星系統(tǒng)虛擬樣機(jī)的建立

1.1 建立三維實體模型

該衛(wèi)星雙星系統(tǒng)主要由2個重疊的俯仰軸和方位軸、4對電機(jī)和減速器、支撐座以及龍伯透鏡組成，其中4對電機(jī)和減速器分別驅(qū)動2個重疊的俯仰軸和方位軸旋轉(zhuǎn)，使得2個饋源能掃描完龍伯透鏡的整個半球面，由于2個饋源底面距離透鏡中心的距離相等，因此在運動的過程中就有可能發(fā)生碰撞。運用三維建模軟件UG建立了機(jī)載衛(wèi)星通信雙星天線實體模型，其三維模型如圖1所示，各關(guān)節(jié)的運動范圍為 0°～180°。

圖1 機(jī)載衛(wèi)星通信雙星天線實體模型Fig.1 Airborne satellite communication binary star antenna solid model

其機(jī)構(gòu)運動簡圖如圖2所示。

圖2 雙星天線機(jī)構(gòu)運動簡圖Fig.2 Schematic diagram of the motion of a two-star antenna mechanism

1.2 建立雙星系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

由于俯仰軸與方位軸具有重疊效應(yīng)，因此只選用其中一個方位軸與對應(yīng)的俯仰軸進(jìn)行運動學(xué)分析。由幾何關(guān)系可知俯仰軸和方位軸的旋轉(zhuǎn)運動可以轉(zhuǎn)化為饋源在球面上的復(fù)合運動，其簡化數(shù)學(xué)模型如圖3所示。當(dāng)俯仰軸轉(zhuǎn)動一定角度等價于饋源在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度，而方位軸轉(zhuǎn)動一定角度等價于饋源在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度。

圖3 數(shù)學(xué)簡化模型Fig.3 Mathematical simplification model

圖3中假設(shè)饋源底面中心點到龍伯透鏡球心的距離為R，θ為俯仰軸從零點開始轉(zhuǎn)過的任意角度，γ為方位軸從零點位置轉(zhuǎn)過的任意角度，反映了雙星天線運動過程的運動規(guī)律。

2 雙星系統(tǒng)運動學(xué)分析

對于雙星饋源的運動控制其實質(zhì)就是對俯仰角、方位角的控制，直接的控制量是俯仰軸和方位軸的運動角度，而同時饋源也處于三維坐標(biāo)空間當(dāng)中，因此三維坐標(biāo)與俯仰角、方位角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系是雙星系統(tǒng)避障策略研究的重點問題。這過程主要包括2個方面的內(nèi)容，一是給定雙星系統(tǒng)俯仰角和方位角，求雙星系統(tǒng)饋源的位置，稱之為運動學(xué)正問題；二是給定雙星系統(tǒng)饋源的位置，來求雙星饋源的俯仰角和方位角。

2.1 運動學(xué)正向解

將雙星天線的運動分解為俯仰運動和方位運動，假定俯仰軸轉(zhuǎn)過θ角度，而方位軸轉(zhuǎn)過γ角度，饋源離龍伯透鏡球心的距離為R。由幾何關(guān)系可得：

因此可以得到當(dāng)俯仰軸轉(zhuǎn)過任意θ角、方位軸轉(zhuǎn)過任意γ角，饋源底面中心點在空間三維坐標(biāo)系OXYZ 中的坐標(biāo)為（-Rcosθsinγ，Rcosθcosγ，Rsinθ）

2.2 運動學(xué)逆向解

當(dāng)只知道饋源在空間坐標(biāo)系中的空間坐標(biāo)，而不知道各個俯仰角和方位角時，此時就必須要求出運動學(xué)的逆向解，即求出各個俯仰軸和方位軸的旋轉(zhuǎn)角度。 假設(shè)某時刻饋源的坐標(biāo)為（x，y，z），由前式（1）～式（3）可以反解出俯仰角 θ和方位角 γ。

3 數(shù)值計算及ADAMS模型軌跡運動仿真

3.1 數(shù)值計算

按照上述討論提出的算法，取R=150 mm，以轉(zhuǎn)過為分界線，分4種情況在Matlab軟件內(nèi)編寫m函數(shù)進(jìn)行數(shù)值計算，得到4種情況下的數(shù)值計算軌跡。其 4 種情況分別為①θ≤90°，γ≤90°；②θ≤90°，γ＞90°；③θ＞90°，γ≤90°；④θ＞90°，γ＞90°。

3.2 數(shù)值計算及ADAMS仿真結(jié)果

ADAMS虛擬樣機(jī)仿真能夠直觀地觀察到雙星天線在給定的俯仰角和方位角下饋源的運動軌跡，并能得到饋源在運動過程當(dāng)中的位移參數(shù)變化情況，對上面數(shù)值計算進(jìn)行一定的驗證。

3.2.1 仿真設(shè)置

通過對機(jī)載衛(wèi)星通信雙星天線的運動過程分析，對天線的運動結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化，其簡化模型如圖4所示。

圖4 饋源運動簡化模型Fig.4 Simplified feed source motion model

為了保證與數(shù)值計算的參數(shù)一致，仿真時同樣選擇 4 組數(shù)據(jù)進(jìn)行實驗，即：①θ＝0～60°，γ＝0～60°；②θ＝0～60°，γ＝0～120°；③θ＝0～120°，γ＝0～60°；④θ＝0～120°，γ＝0～120°。在對俯仰軸和方位軸施加驅(qū)動時選擇ADAMS中的STEP階躍函數(shù)[9]定義旋轉(zhuǎn)驅(qū)動，如第一種情況采用 step（time，0，0d，10，120d）；step（time，10，0d，20，120d）。

接著對仿真控制器進(jìn)行設(shè)置。持續(xù)時間選擇20 s，輸出仿真結(jié)果的步數(shù)設(shè)置為500。仿真開始以后，饋源首先以（0，150，0）點為零點，在 Y-Z 平面 0～10 s內(nèi)繞X軸旋轉(zhuǎn)，10 s～20 s內(nèi)改變方向，在X-Y平面繞著Z軸旋轉(zhuǎn)。

3.2.2 仿真結(jié)果

將ADAMS環(huán)境中仿真測量的數(shù)據(jù)導(dǎo)入到Matlab中，將這兩類數(shù)據(jù)在一張圖中繪出進(jìn)行比較，其結(jié)果如圖5～圖8所示。

從上述4張圖中可以看出，無論俯仰軸與方位軸如何變化，數(shù)值計算結(jié)果與仿真結(jié)果所得曲線均完全重合，由此可見Matlab數(shù)值計算結(jié)果與ADAMS仿真結(jié)果完全一致，從而驗證了推導(dǎo)的運動學(xué)正向解的正確性，為雙星天線的運動規(guī)劃和避障奠定基礎(chǔ)。

圖5 θ＝0～60°，γ＝0～60°的數(shù)據(jù)對比圖Fig.5 Data comparison diagram of θ＝0～60°，γ＝0～60°

圖6 θ＝0～60°，γ＝0～120°的數(shù)據(jù)對比圖Fig.6 Data comparison diagram of θ＝0～60°，γ＝0～120°

圖7 θ＝0～120°，γ＝0～60°的數(shù)據(jù)對比圖Fig.7 Data comparison diagram of θ＝0～120°，γ＝0～60°

圖8 θ＝0～120°，γ＝0～120°的數(shù)據(jù)對比圖Fig.8 Data comparison diagram of θ＝0～120°，γ＝0～120°

4 結(jié)語

隨著衛(wèi)星通信在日常生活中越來越重要，雙星天線將有著巨大的發(fā)展?jié)摿?。對機(jī)載衛(wèi)星雙星天線饋源進(jìn)行運動學(xué)分析，解算出雙星天線俯仰角、方位角與饋源在空間坐標(biāo)系OXYZ中的位置坐標(biāo)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，對于解決雙星天線碰撞問題有著重要作用。同時ADAMS擁有強(qiáng)大的運動學(xué)和動力學(xué)分析功能，運用軟件進(jìn)行仿真，將所得結(jié)果與Matlab數(shù)值計算所得結(jié)果進(jìn)行比較，能夠在很大程度上對所得結(jié)果進(jìn)行驗證。