李世杰 呂悅軍 劉靜偉

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古登堡-里希特定律中的值統(tǒng)計(jì)樣本量研究1

李世杰 呂悅軍 劉靜偉

（中國(guó)地震局地殼應(yīng)力研究所，北京 100085）

值是研究地震活動(dòng)的重要指標(biāo)，其廣泛應(yīng)用于地震危險(xiǎn)性分析和地震預(yù)測(cè)研究之中，與實(shí)際資料的完整性、樣本量的大小、計(jì)算方法等因素有著重要的關(guān)系。常見(jiàn)的值計(jì)算方法有最小二乘法和最大似然法，樣本量的大小對(duì)這2種方法影響很大。本文利用蒙特卡羅模擬地震目錄和汾渭地震帶實(shí)際目錄作為樣本，從中抽取不同大小的樣本量進(jìn)行計(jì)算，研究不同樣本量下這2種方法計(jì)算得到的值與設(shè)定值或真實(shí)值之間的差別。結(jié)果表明，最小二乘法需要的最低樣本量為1000，最大似然法為200；當(dāng)樣本量達(dá)不到要求時(shí)，計(jì)算出的值是不可靠的；由于對(duì)樣本量的要求不同，前者適用于計(jì)算區(qū)域的整體值，而后者在研究某區(qū)域值在時(shí)間軸上的變化方面更有優(yōu)勢(shì)。本研究為確定2種值計(jì)算方法對(duì)樣本量的最低要求提供了參考依據(jù)。

值 最小二乘法 最大似然法 樣本量大小

引言

古登堡和里希特在1941年美國(guó)地質(zhì)學(xué)會(huì)會(huì)刊中提出全球的地震活動(dòng)服從經(jīng)驗(yàn)關(guān)系lg=-（式中表示震級(jí)，表示震級(jí)≥的地震次數(shù)，、是常數(shù)）。一般認(rèn)為值代表地區(qū)的地震活動(dòng)總體水平（Rundle，1989）；值代表地震活動(dòng)的大小地震數(shù)量的比例，是地震活動(dòng)研究中的重要參量。研究表明，值具有明確的物理意義，與地殼的介質(zhì)特性、應(yīng)力狀態(tài)和不均勻性有關(guān)，能反映所研究區(qū)域的地質(zhì)構(gòu)造特征（王熠熙等，2015；謝卓娟等，2015）以及地震的震源特征（Schorlemmer等，2005；Gulia等，2010；劉靜偉等，2016；張廣偉，2016）。因此，值廣泛應(yīng)用于地震危險(xiǎn)性分析和地震預(yù)測(cè)研究之中。在地震危險(xiǎn)性分析中，值和地震年發(fā)生率共同用于確定地震活動(dòng)的水平（胡聿賢，1999），其取值對(duì)地震危險(xiǎn)性分析結(jié)果的影響較大（鄢家全等，1996；黃瑋瓊等，1998；謝卓娟等，2013）；而在地震預(yù)測(cè)研究中，值作為基本的地震活動(dòng)性參數(shù)，成為地震預(yù)測(cè)的常用指標(biāo)參數(shù)（韓渭賓，2003；沈建文等，2007）。

通常根據(jù)實(shí)際地震資料統(tǒng)計(jì)得到值。目前，常用的值估算方法是最大似然估計(jì)法（Aki，1965）和最小二乘法等，這些方法不僅對(duì)實(shí)際資料的完整性和精度有一定要求，同時(shí)也需要足夠的地震資料。在實(shí)際工作中，對(duì)于歷史地震資料短缺或地震活動(dòng)水平低的地區(qū)，在計(jì)算時(shí)常常將現(xiàn)代小震資料與歷史地震資料聯(lián)合使用，以彌補(bǔ)地震資料樣本量的不足（黃瑋瓊等，1989；鄢家全等，1996；胡聿賢，1999；潘華等，2006）。統(tǒng)計(jì)值對(duì)地震資料樣本量需求的定量研究，國(guó)內(nèi)尚無(wú)專門(mén)的研究報(bào)道。在國(guó)外，Nava等（2017）利用蒙特卡羅模擬地震目錄進(jìn)行抽樣估計(jì)，研究最大似然法計(jì)算值時(shí)對(duì)樣本量的需求，得出計(jì)算值時(shí)樣本量和精度之間的相互關(guān)聯(lián)關(guān)系，但沒(méi)有應(yīng)用實(shí)際地震目錄進(jìn)行分析。國(guó)內(nèi)僅有少部分學(xué)者的研究涉及相關(guān)內(nèi)容，如韓曉明等（2016）研究河套地震帶值時(shí)空變化特征的文章中，探討了地震前后值的變化規(guī)律，分別使用最小二乘法和最大似然法對(duì)值時(shí)間和空間進(jìn)行了掃描計(jì)算，在最小二乘法計(jì)算中，設(shè)定每次計(jì)算的窗長(zhǎng)內(nèi)包含的樣本數(shù)目不少于100，而最大似然法的掃描窗內(nèi)包含的樣本數(shù)目不少于20；劉方斌等（2017）在魯西南聊考斷裂帶地震危險(xiǎn)性評(píng)價(jià)與活動(dòng)性分布的研究中，利用最大似然法和最小二乘法估算值并進(jìn)行了對(duì)比研究，但是沒(méi)有給出樣本量的具體數(shù)目，且沒(méi)有用分震級(jí)段的方法進(jìn)行值估算。

本文采用Utsu（1965）提出的最大似然法和最小二乘法，利用模擬地震目錄和實(shí)際地震目錄，定量分析最小二乘法和最大似然法計(jì)算值時(shí)分別對(duì)地震資料樣本量的需求。

1 資料概況

1.1 模擬地震目錄

蒙特卡羅法是以抽樣和隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生為基礎(chǔ)的隨機(jī)性方法，也稱為隨機(jī)抽樣法、計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法等。蒙特卡羅方法的基本原理是通過(guò)數(shù)字模擬試驗(yàn)，得到所要求解的出現(xiàn)某種事件的概率作為問(wèn)題的近似解。其基本思想是：為了求解數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)以及管理等方面的問(wèn)題，首先建立概率模型或隨機(jī)過(guò)程，使用相應(yīng)的參數(shù)，得到某些問(wèn)題（如概率分布或數(shù)學(xué)期望等問(wèn)題）的解；然后通過(guò)對(duì)模型或過(guò)程的觀察或抽樣試驗(yàn)來(lái)計(jì)算所求參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征，并用算術(shù)平均值作為所求解的近似值。因此，只要盡可能完整地表示地震震源模型，即獲得某一區(qū)域內(nèi)地震事件的發(fā)生時(shí)間和空間上的分布規(guī)律，那么就可以直接利用蒙特卡羅方法產(chǎn)生合成地震序列。

蒙特卡羅方法的基本依據(jù)是隨機(jī)模擬次數(shù)足夠多的情況下，事件發(fā)生的頻率可以反映事件發(fā)生的概率。當(dāng)模擬次數(shù)有限時(shí)，計(jì)算結(jié)果和真實(shí)值之間必然存在誤差，這種誤差隨著模擬次數(shù)的增加而減少。

蒙特卡羅模擬中隨機(jī)變量的簡(jiǎn)單子樣（1，2，3，……，X）是獨(dú)立分布的，即每次模擬中事件發(fā)生的次數(shù)與其它任意1次中事件發(fā)生的次數(shù)無(wú)關(guān)，那么隨機(jī)變量就是服從泊松分布的，當(dāng)隨機(jī)變量的期望值趨向于無(wú)窮時(shí)，泊松分布趨近于正態(tài)分布。

本文利用蒙特卡羅方法模擬地震目錄（張建中，1974a，1974b；任雪梅等，2011），研究不同樣本量下計(jì)算方法對(duì)值的影響。

首先，構(gòu)造概率分布模型：

其中，（）為震級(jí)的概率密度函數(shù)，表示為：

其次，將公式（2）帶入公式（1），得到關(guān)于模擬震級(jí)的函數(shù)：

設(shè)定=1、0=2.0、u=8.0，利用MATLAB隨機(jī)數(shù)程序模擬生成不同樣本量的地震目錄，樣本數(shù)分別為5000、4500、4000、3500、3000、2500、2000、1750、1500、1250、1000、750、500、250、100、80、60、40、20、10，每個(gè)目錄模擬10000組。由于實(shí)際大地震非常稀缺，所以震級(jí)上限的限制對(duì)計(jì)算結(jié)果沒(méi)有顯著影響。

1.2 汾渭地震帶實(shí)際地震目錄

本研究使用的實(shí)際地震資料來(lái)自中國(guó)地震臺(tái)網(wǎng)中心的地震數(shù)據(jù)庫(kù)。研究表明地震資料的完整性對(duì)地震活動(dòng)分析非常重要（Wiemer等，2000；Rotondi等，2002）。經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析（焦遠(yuǎn)碧等，1990；黃偉瓊等，1994a，1994b；周公威等，2007；謝卓娟等，2012a；徐偉進(jìn)等，2014），1970年以來(lái)汾渭地震帶2.0以上的地震資料基本完整，故本研究選取1970年1月—2010年12月，≥2.0的8184次地震資料進(jìn)行研究分析，其中2.0—2.9地震7044次、3.0—3.9地震964次、4.0—4.9地震148次、5.0—5.9地震25次、6.0—6.9地震3次，所用的地震目錄均已刪除前震、余震。汾渭地震帶4.7級(jí)以上地震的震中分布見(jiàn)圖1。

圖1 汾渭地震帶范圍及震中分布

2 模擬地震目錄的結(jié)果分析

利用最小二乘法和最大似然法對(duì)模擬的地震目錄進(jìn)行定量研究分析，比較2種方法在不同的樣本量下計(jì)算得到的平均值以及樣本量的大小對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。

文中使用的最大似然法為Utsu（1965）提出的公式：

采用上述最大似然法和最小二乘法計(jì)算，分別得到平均值隨樣本量的變化，如圖2、3所示。

圖2 不同樣本量下最大似然法計(jì)算得到的平均b值擬合圖

圖3 不同樣本量下最小二乘法計(jì)算得到的平均b值擬合圖

由圖2、3可知，當(dāng)樣本量大于300時(shí)，最大似然法計(jì)算的平均值能取得符合預(yù)期的數(shù)值；樣本量大于1000時(shí)，最小二乘法計(jì)算的平均值趨于穩(wěn)定，向理論值收斂。

表1 最大似然法模擬結(jié)果

表2 最小二乘法模擬結(jié)果

當(dāng)設(shè)定=1時(shí)，不同樣本下得到的值分布直方圖見(jiàn)圖4。由圖可知，當(dāng)樣本量≥200時(shí)，最大似然法計(jì)算的值很好地向設(shè)定值收斂；樣本量≥500時(shí)，最小二乘法計(jì)算的值有較好的收斂效果。從估值概率來(lái)看，取得的值一般都偏低。

根據(jù)上述分析，2種方法雖然都能得到符合預(yù)期的數(shù)值，但最小二乘法計(jì)算的平均值通常比最大似然法的小，而標(biāo)準(zhǔn)差比最大似然法的大；樣本量小于1000時(shí)，利用最小二乘法得到的平均值精確度較低；樣本量大于1000時(shí)，2種計(jì)算方法得出的結(jié)果差別不大。進(jìn)一步分析認(rèn)為，雖然2種方法都需要一定的樣本量，且樣本量越大、得到的結(jié)果越準(zhǔn)確，但最大似然法對(duì)樣本量的要求要比最小二乘法低，樣本量大于200時(shí)，計(jì)算得到的平均值與設(shè)定值一致性較好；樣本量大于1000時(shí)，基本等于設(shè)定值。

3 實(shí)際地震目錄的計(jì)算結(jié)果分析

根據(jù)汾渭地震帶地震資料的完整性和可靠性研究，自1970年以來(lái)，臺(tái)站記錄得到的≥2.0地震目錄基本完整，故本研究以汾渭地震帶1970年1月—2010年12月的地震記錄為計(jì)算樣本，研究實(shí)際地震目錄樣本量對(duì)值計(jì)算的影響。表3給出該地震帶不同震級(jí)檔的地震數(shù)目，并計(jì)算出不同震級(jí)檔的年平均發(fā)生率（黃瑋瓊等，1989；潘華等，2006；吳兆營(yíng)等2005；謝卓娟等，2012b）。

圖4 不同樣本量的b值分布直方圖

表3 汾渭地震帶地震分檔統(tǒng)計(jì)和年平均發(fā)生率

續(xù)表

震級(jí)檔M地震個(gè)數(shù)年平均發(fā)生率 5.0—5.4150.36 5.5—5.9100.23 6.0—8.530.07

注：年平均發(fā)生率指震級(jí)≥的年均地震數(shù)，代表地震活動(dòng)水平。

根據(jù)表3中統(tǒng)計(jì)的各震級(jí)檔的地震個(gè)數(shù)和年平均發(fā)生率，利用最小二乘法和最大似然法計(jì)算得到的值分別為0.75和0.75335。

為研究實(shí)際地震目錄下值計(jì)算對(duì)樣本量的要求，采用任雪梅（2011）的抽樣原則，對(duì)汾渭地震帶的地震目錄進(jìn)行均勻抽樣分析，每次抽樣完將樣本放回進(jìn)行下一次抽樣，得到樣本量分別為10、50、100、200、300、500、700、1000、5000的地震目錄，每個(gè)目錄重復(fù)抽樣10000次。同樣，采用2種方法分別計(jì)算不同樣本量下的平均值（表4），并分析不同樣本量下的值變化。

表4 汾渭地震帶b值擬合情況（1500—2010年）

由表4可以看出，2種計(jì)算方法得到值隨著樣本量的增加逐漸接近真實(shí)值；當(dāng)樣本量大于200時(shí)，最大似然法能夠得出相對(duì)穩(wěn)定可靠的值；當(dāng)樣本量大于500時(shí)，最小二乘法才能得到相對(duì)穩(wěn)定可靠的值。因此，對(duì)實(shí)際的地震目錄，最小二乘法對(duì)樣本量的要求也比較高，且受地震目錄完整性的影響較大。

4 結(jié)論

通過(guò)上述研究和對(duì)比分析，得到以下認(rèn)識(shí)：

（1）利用最大似然法計(jì)算值時(shí)，樣本量至少要在200以上；對(duì)于最小二乘法，樣本量要求不少于1000；一般來(lái)說(shuō)，計(jì)算的值都低于設(shè)定值。

（2）最小二乘法利用震級(jí)-頻度的線性關(guān)系來(lái)擬合計(jì)算值，樣本量不足會(huì)影響其線性關(guān)系。因此，最小二乘法受樣本量影響較大，樣本量小于1000時(shí)，值的計(jì)算值與設(shè)定值相差較大，數(shù)值也不穩(wěn)定。

（3）最大似然法方便快捷，受樣本量影響小，計(jì)算出的值相對(duì)穩(wěn)定，但誤差估計(jì)值偏大，其利用平均震級(jí)計(jì)算，只與地震個(gè)數(shù)有關(guān)，受數(shù)據(jù)質(zhì)量的影響較?。蛔钚《朔ㄊ軜颖玖坑绊戄^大，在樣本量充足的情況下計(jì)算的值比較準(zhǔn)確，而在樣本量不足時(shí)值波動(dòng)較大，誤差也隨著樣本量的減少而增加。在實(shí)際應(yīng)用中，以地震目錄充足為前提，研究不同區(qū)域的值優(yōu)先選用最小二乘法；而研究某區(qū)域值時(shí)間上的變化時(shí)，采用最大似然法估算的值相對(duì)穩(wěn)定，更能體現(xiàn)值長(zhǎng)期變化的趨勢(shì)。

（4）從誤差和計(jì)算量來(lái)看，最大似然法比最小二乘法要小，但隨著樣本量的增加，2種方法計(jì)算結(jié)果的差異越來(lái)越小。但由于半對(duì)數(shù)坐標(biāo)下不同震級(jí)檔數(shù)據(jù)權(quán)重的不對(duì)等性，國(guó)外已極少使用最小二乘法。

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The Study of Sample Size on-value Statistics in the Gutenberg-Richter's Law

Li Shijie, Lü Yuejun and Liu Jingwei

(Institute of Crustal Dynamics, China Earthquake Administration, Beijing 100085, China)

The-value is an important indicator for evaluating the level of seismicity, and is widely used in seismic hazard analysis and earthquake prediction research. The-value is basically effected by some factors, such as the actual data integrity, the quantity of earthquake samples, calculation methods and so on. The most widely used two methods for calculatingvalues include the least square method (LSM) and the maximum likelihood method (MLM), and the results from both methods can remarkably vary with different the quantity of earthquake samples. In this paper, based on the real catalog of the Fen-Wei seismic zone and the Monte-Carlo simulated earthquake catalog, we use different number of samples to calculate thevalues and try to find the differences between the calculated results and the set values/true values. It turns out that the threshold value of samples is 1000 and 200 for LSM and MLM, respectively. When the sample size does not meet the requirements, the calculated-value is not reliable. It suggets that LSM is suitable for calculating the-value of the whole region, while MLM is more advantageous in studying the-value of a region on the time axis. This study provides a reference for the threshold values of the samples for two methods, which is of great significance to the seismic hazard analysis and earthquake prediction.

-value; The least square method; The maximum likelihood method; Sample size

李世杰，呂悅軍，劉靜偉，2018．古登堡-里希特定律中的值統(tǒng)計(jì)樣本量研究．震災(zāi)防御技術(shù)，13（3）：636—645．

10.11899/zzfy20180315

中國(guó)地震局地殼應(yīng)力研究所中央級(jí)公益性科研院所基本科研業(yè)務(wù)專項(xiàng)（ZDJ2016-03）

2018-02-28

李世杰，男，生于1991年。碩士研究生。主要從事工程地震研究。E-mail：729883299@qq.com

呂悅軍，男，生于1966年。研究員。研究領(lǐng)域：工程地震。E-mail：luyj1@263.net