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        求解雙層彈性膜單側(cè)接觸問題的Uzawa算法*

        2018-11-09 11:21:54嚴(yán)月月鐘艷麗郭楠馨

        嚴(yán)月月, 鐘艷麗, 郭楠馨

        (重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,重慶 401331)

        雙層彈性膜問題的數(shù)值模擬是近年來廣受關(guān)注的一個(gè)問題,問題的數(shù)學(xué)模型是建立在彈性基本定律上的,遵循以下兩個(gè)原理:兩個(gè)膜之間不能相互滲透;在兩個(gè)彈性膜的接觸面,遵循牛頓的作用——反作用定律,即每個(gè)膜對(duì)另一個(gè)膜有相同的作用。由這些理論,便可得到一個(gè)由偏微分等式和不等式構(gòu)成的數(shù)學(xué)模型,并利用變分原理可得到相應(yīng)的變分形式[1-2]。由文獻(xiàn)[3]可知該問題的解存在且唯一。給出一種求解上述問題的Uzawa算法,并證明該算法的收斂性。通過數(shù)值算例驗(yàn)證該方法的有效性。

        1 雙層彈性模問題及變分形式

        討論如下彈性膜問題:

        (1)

        其中Ω?R2是一個(gè)有界、連通的開集,且邊界?Ω為L(zhǎng)ipschitz連續(xù)的。

        在這個(gè)模型中,u1和u2是未知量,表示兩個(gè)膜垂直方向的位移,Lagrange乘子λ表示第二個(gè)膜在第一個(gè)膜上的作用量,f1和f2是外部壓力。模型中的邊界條件意味著第一個(gè)膜在距離邊界?Ω為g時(shí)固定(g是一個(gè)非負(fù)函數(shù)),第二個(gè)膜在邊界處固定。

        首先引入幾個(gè)函數(shù)空間:

        凸子集:

        Λ={χ∈L2(Ω);χ≥0幾乎處處在Ω上};

        凸集:

        為了考慮邊界條件g的非負(fù)性,錐定義為:

        由文獻(xiàn)[4]知道問題(2)滿足如下結(jié)論:

        ‖u1‖H1(Ω)+‖u2‖H1(Ω)+‖λ‖L2(Ω)≤

        a(w,z)≤μ|w|H1|z|H1

        (4)

        若a(v,v+)≤0,則v+=0(其中v+=max(0,v))。

        (5)

        那么對(duì)于等式

        (6)

        左右兩邊同時(shí)乘以v1和v2,利用Green公式可得到如下變分等式:

        由文獻(xiàn)[7-8]可知u1-u2≥0,λ≥0,(u1-u2)λ=0等價(jià)于λ=max(0,λ+c(u2-u1)),其中c>0,λ≥0。因此得到問題(1.1)的等價(jià)變分投影形式如下:

        (8)

        2 Uzawa算法及收斂性分析

        利用式(8)和文獻(xiàn)[9]中的Uzawa算法,從而得到求解問題(1)的Uzawa算法,具體過程如下:

        置k=0,γ為足夠小的正參數(shù);

        第二步由

        解出λ(k+1);

        第三步求解問題

        第四步停止或返回第二步。

        利用以上算法原理和問題的性質(zhì),可得如下收斂性定理:

        (9)

        (10)

        由式(9)減去式(10)可得:

        (11)

        在式(11)中令

        再把兩式相加可得:

        因此

        ‖λ(k+1)-λ(*)‖2=

        所以有

        ‖λ(k+1)-λ*‖2,

        所以有

        3 數(shù)值算例

        用本文方法對(duì)問題(1.1)進(jìn)行數(shù)值測(cè)試??紤]在正方形區(qū)域Ω=(-1,1)×(-1,1)上的極坐標(biāo)(r,θ),令g=0.05,0≤θ≤2π,(u1,u2,λ)是問題式(1)的解,其中

        u1(r,θ)=g(2r2-1),0≤r≤1

        相應(yīng)的,滿足(1)的f1,f2如下:

        膜的位移u1-u2數(shù)值解結(jié)果如下圖所示:

        圖1 u1-u2數(shù)值解結(jié)果Fig.1 Numerical results of u1-u2

        圖2 自由邊界的數(shù)值解和解析解結(jié)果Fig.2 Numerical solutions and analytical solutions of free boundary

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