朱 威, 馬偉明, 陽習(xí)黨, 肖 歡

(海軍工程大學(xué)艦船綜合電力技術(shù)國防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 湖北 武漢 430033)

0 引 言

近年來,艦載四旋翼直升機(jī)(quad-roto unmanned aerial vehicle, QUAV)的研究逐漸成為熱點(diǎn),在偵察、搜索、救援、遙感、航空運(yùn)輸、惡劣環(huán)境設(shè)備維護(hù)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1-2]。相比于傳統(tǒng)直升機(jī),旋翼無人機(jī)更容易建造。盡管如此,四旋翼直升機(jī)的旋翼動力學(xué)微分方程是非線性的,存在較嚴(yán)重的不穩(wěn)定性,經(jīng)常受到的氣動的干擾[3]。

通過線性變參數(shù)(linear variable parameter system, LPVs)方法是解決非線性動力學(xué)系統(tǒng)的一種有效方法。LPVs的數(shù)學(xué)模型,能夠近似表達(dá)一類非線性系統(tǒng)任意程度緊集的線性時不變(linear time invariant, LTI)模型[4]。考慮凸增益調(diào)度函數(shù)對局部模型進(jìn)行插值,可得到非線性系統(tǒng)的全局表示,而過去的增益調(diào)度函數(shù)主要考慮采用Takagi Sugeno(T-S)模糊計(jì)算規(guī)則。雖然,T-S和多面體LPV系統(tǒng)可由相同的形式進(jìn)行描述,但是LPVs系統(tǒng)的主要優(yōu)點(diǎn)是可在緊湊組狀態(tài)變量下,較準(zhǔn)確的表示非線性模型[5]。此外,可應(yīng)用線性系統(tǒng)矩陣不等式(linear matrix inequalities, LMI)、最優(yōu)化方法等線性系統(tǒng)控制技術(shù)。此外,LPVs可與H2、H-和H∞等控制算法融合,產(chǎn)生增強(qiáng)的控制性能和魯棒性的控制規(guī)則。在文獻(xiàn)中[6],LPVs的研究有很多,包含觀測器設(shè)計(jì)、反饋控制、故障診斷等。旋翼無人機(jī)的LPVs模型,主要是從觀測器設(shè)計(jì),穩(wěn)定控制等方面進(jìn)行設(shè)計(jì)。但是,LPVs除控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的困難外,在部件或儀表故障的情況下,需要控制器具有較高的可靠性和安全性,以保持穩(wěn)定性和可接受的系統(tǒng)性能,否則可能導(dǎo)致無人機(jī)的墜毀[7]。智能飛行控制系統(tǒng)是無人機(jī)自主整體推進(jìn)的關(guān)鍵一步。本文的目的是不僅要考慮LPVs設(shè)計(jì)和故障診斷問題,同時也考慮了LPVs跟蹤控制器設(shè)計(jì)問題,到目前為止還沒有得到很好的解決。

本文的主要貢獻(xiàn)是建立一個魯棒故障診斷殘差發(fā)生器和建模為LPVs的旋翼跟蹤控制器。在這項(xiàng)工作中,主要考慮干擾抑制,魯棒極點(diǎn)配置,是對魯棒跟蹤控制器的顯著擴(kuò)展。本文觀測器和控制器,是基于Lyapunov理論和L2增益理論設(shè)計(jì)的,目標(biāo)是使干擾的影響最小化。此外,跟蹤控制器是通過考慮積分器比較器模塊進(jìn)行LPVs設(shè)計(jì)的。最后,將所提故障診斷和跟蹤控制器應(yīng)用于飛行器模型,對算法有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 動態(tài)模型和問題定義

QUAV由具有四輸入六輸出的螺旋槳組成,如圖1所示[7-8]。

圖1 QUAV模型Fig.1 Model of QUAV

QUAV狀態(tài)和控制輸入為

(1)

u=[u1,u2,u3,u4]T

(2)

飛行器非線性模型為

(3)

所采用研究模型是非線性模型,該模型中使用到的參數(shù)如表1所示。

表1 QUAV變量參數(shù)

Table 1 Variable parameters of QUAV

(4)

為獲得飛行器的LPV方程,對非線性模型在不同操作點(diǎn)進(jìn)行線性化。然后,考慮不同的模型[9]可得

ρi(x(t))[Aix(t)+Biu(t)+Rid(t)]

(5)

y(t)=Cx(t)+Ddd(t)

(6)

式中,x(t)∈Rn,u(t)∈Rm,d(t)∈Rq,y(t)∈Rp分別是狀態(tài)向量、輸入控制向量、干擾向量和測量輸出向量。Ai、Bi、Ri、C和Dd是具有合適尺寸常數(shù)矩陣。ρi(x(t))是依賴于x(t)的調(diào)度函數(shù)[10],其h子模型滿足以下凸集特性,即

(7)

通過假設(shè)可觀測輸出以及生成殘差,考慮描述的魯棒故障診斷觀測器，即

ρi(x(t))[Niz(t)+Giu(t)+Liy(t)]

(8)

(9)

(10)

圖2 故障診斷和跟蹤控制器的設(shè)計(jì)方案Fig.2 Design scheme of fault diagnosis and tracking controller

利用所設(shè)計(jì)反饋控制器,給出以下控制律u(t)形式為

(11)

式中,K1i和K2i是狀態(tài)反饋增益矩陣。然后,將問題歸結(jié)為確定控制器參數(shù)的最優(yōu)值。

2 主要研究結(jié)論

2.1 觀測器的設(shè)計(jì)

估計(jì)誤差定義[11-12]為

(12)

e(t)=(I-T2C)x(t)-z(t)-T2Ddd(t)

(13)

在假設(shè)T1∈Rn×n條件下,有

T1=I-T2C

(14)

為估計(jì)式(14)中的Ddd(t),考慮如下條件，即

T2Dd=0

(15)

然后,考慮式(15)和式(16),誤差方程計(jì)算為

(16)

Niz(t)-Giu(t)-Li(Cx(t)+Ddd(t))]

(17)

(18)

考慮以下方程，即

0=T1Ai-LiC-NiT1,Gi=T1Bi

(19)

考慮誤差方程(13),假設(shè)方程(14)和(18)可獲得以下合成增益，即

(20)

則矩陣T1和T2的特定解決方案為

(21)

然后,考慮先前的合成增益矩陣及殘差方程式(9),可給出系統(tǒng)殘差狀態(tài)空間方程為

(22)

然后,通過擾動向量d(t)對問題重新設(shè)計(jì),以保證誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。下面的定理是實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的充分條件。

定理1考慮式(5)、式(6)和觀測器式(8),并令衰減水平γ>0。如果‖G‖e∞<γ,且存在矩陣P=PT>0,Qj和Φi,那么估計(jì)誤差的二次穩(wěn)定性是可保證的。即可知下式成立，即

(23)

式中,?i,j∈[1,2,…,h],且有T1計(jì)算形式為

(24)

然后,可計(jì)算了觀測器參數(shù)Ki=P-1Φi。

證明為保證估計(jì)誤差漸近收斂到零,以及抗干擾d(t)的魯棒性,考慮如下H∞準(zhǔn)則[13]，即

(25)

式中,Jrd代表系統(tǒng)的L2增益;Ω(t)是定義的Lyapunov函數(shù)，即

Ω(t)=V(xe(t))=eT(t)Pe(t)

(26)

式(26)Lyapunov函數(shù)導(dǎo)數(shù)形式為

(27)

則結(jié)合式(23)可得

eT(t)P(Nie(t)+(T1Ri-KiDd))

(28)

(29)

(30)

然后,聯(lián)合式(29)和式(30),可得

(31)

式中

(32)

最后,如果Λi<0,表明Jrd<0。根據(jù)Schur補(bǔ)定理,可知式(23)成立。

證畢

2.2 傳感器故障檢測與隔離

在有故障情況下,殘差應(yīng)改變其值,且設(shè)定大于預(yù)先定義閾值,作為故障發(fā)生的指示,這有助于做出合理的決策,盡管故障存在,可采用關(guān)閉系統(tǒng)或在降級模式下運(yùn)行。如果存在傳感器故障,則系統(tǒng)式(4)可表示為

ρi(x(t))[Aix(t)+Biu(t)+Rid(t)]

(33)

y(t)=Cx(t)+Ddd(t)+Dff(t)

(34)

式中,f(t)表示傳感器故障向量。根據(jù)圖2,很容易看到故障診斷觀測器與控制器間存在耦合,這意味著故障診斷觀測器能夠進(jìn)行單獨(dú)設(shè)計(jì)。然后,利用廣義觀測方案,對p組觀測器合成,其中p是傳感器故障數(shù)量。為每個觀測器提取故障向量f(t)的不敏感元素,可獲得輸出向量y(t)。為隔離傳感器故障,產(chǎn)生歸一化殘差向量,使得它的第p個分量對所有其他故障都敏感。p個故障診斷觀測器可表示為

(35)

(36)

(37)

每個觀察器滿足可觀測性條件,通過求解每個給定輸入矩陣Cp的LMI系統(tǒng)式(23),可保證算法魯棒性和收斂性。觀測器生成關(guān)聯(lián)矩陣如表2所示。每列稱為每個故障特征關(guān)聯(lián)的相干向量。

表2 關(guān)聯(lián)矩陣

Table 2 Incidence matrix

2.3 跟蹤控制器設(shè)計(jì)

通過考慮比較器和積分器式(8)及系統(tǒng)式(4),利用增廣系統(tǒng)xc(t)=[xT(t),εT(t)]T可得

(38)

ρj(x(t))×

(39)

(40)

則稱式(39)所示閉環(huán)系統(tǒng)誤差是H∞全局穩(wěn)定的。則控制器的增益矩陣為

(41)

(42)

(43)

(44)

證畢

∈D

(45)

式中,j=1,2,…,n;i=1,2,…,h。D是定義的α穩(wěn)定區(qū)域,則可得出以下推論:

(46)

(47)

證明考慮L2增益方程式(41)的α穩(wěn)定性，即

(48)

利用式(48)可計(jì)算其LMI方程。

證畢

備注2由于LMI維數(shù)、模型個數(shù)及單矩陣P和Q要求,LMI集式(46)可使觀測器設(shè)計(jì)具有保守性。然后,可進(jìn)行如下折中無損設(shè)計(jì)，即

γii+γij+γji<0,γii<0

(49)

式中,γij可利用式(46)計(jì)算得到。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

將本文研究結(jié)果應(yīng)用到飛行器設(shè)計(jì)控制中,設(shè)計(jì)額外干擾矩陣[15]為

Ri=[1,0,…,0]T,Dd=[0.2,0.4,0.5,0.3]T

(50)

為實(shí)現(xiàn)非線性的動態(tài)調(diào)度,凸函數(shù)定義為

(51)

(52)

(53)

(54)

表3 參數(shù)矩陣形式

觀測器增益矩陣可計(jì)算為:Ki=P-1Φi。矩陣T1和T2可根據(jù)式(21)進(jìn)行計(jì)算,此外,Ni的觀測特征值分布在LMI區(qū)域中。通過求解推論2計(jì)算控制器增益。LMI區(qū)域參數(shù)選取α=1.5。計(jì)算的衰減水平γc=0.450 1,其足夠小,可以保證所需的控制性能?？刂破髟鲆嬗?jì)算見表4。

表4 控制器增益矩陣

在模擬實(shí)驗(yàn)場景下,擾動d(t)為均勻分布于區(qū)間[-0.5,0.5]的隨機(jī)信號。設(shè)定其初始條件形式為

x(0)=[0.2,0.5,0,1.221 7,0,…,0]T

在實(shí)踐中,初始條件可根據(jù)初始值進(jìn)行選擇,不考慮飽和執(zhí)行器,仿真結(jié)果顯示如圖3所示。圖3給出了由調(diào)度函數(shù)定義的每個模型全局行為。

圖3 增益調(diào)度函數(shù)Fig.3 Gain scheduling function

從圖3中可看出,P2與P1和P3的動態(tài)變化方向相反,當(dāng)P2增加時,P1和P3降低,并且P2、P1和P33個參數(shù)矩陣的變化具有自穩(wěn)定特性,在經(jīng)過一定時間進(jìn)化后,可實(shí)現(xiàn)參數(shù)模型全局行為收斂。

圖4 設(shè)定位置和跟蹤位置Fig.4 Setting position and tracking position

為了證明所提出的方法在傳感器故障下的有效性,設(shè)計(jì)了一組4個殘差發(fā)生器(每個輸出對應(yīng)1個),兩傳感器引起的故障如圖5所示。第1個故障發(fā)生在第2傳感器上,t=45 s后,是一種具有偏差行為的故障。第2個故障發(fā)生在t=12 s到t=26 s之間,是一個發(fā)生在第3傳感器上的正弦性能故障。歸一化殘差信號如圖5所示。

圖5 歸一化后的殘差故障案例Fig.5 Normalized residual fault case

故障檢測可以通過比較殘差與表2給出的關(guān)聯(lián)矩陣很容易做到。例如,發(fā)生在第3傳感器上的第2個故障,殘差r1、r2和r4在t=12 s處發(fā)生變化,只有殘差r3保持不變。因此,有可能產(chǎn)生特定的簽名S=[1 1 0 1]T。然后,通過對比簽名表2,可以隔離故障傳感器3。顯然,對于所有的情況下,故障檢測證明是成功的。

跟蹤位置如圖6所示。

圖6 故障發(fā)生時的設(shè)定位置與跟蹤位置Fig.6 Setting position and tracking position when fault occurs

當(dāng)?shù)?個故障發(fā)生在t=45 s時,y位置受到影響,但由于設(shè)計(jì)的控制器具有H∞穩(wěn)定性能,3 s后再次達(dá)到設(shè)定的旋翼位置。為了保證存在傳感器故障時對所有輸出的有效跟蹤,將在今后的工作中著重解決容錯控制問題。

4 結(jié)束語

在本文中,開發(fā)了考慮干擾的LPVs,實(shí)現(xiàn)跟蹤控制器設(shè)計(jì)和魯棒故障診斷。利用李雅普諾夫和L2增益理論,得到線性矩陣不等式公式的充分條件。在相同的設(shè)定條件下,為了穩(wěn)定非線性系統(tǒng)和跟蹤指令信號,得到了控制器增益的充分條件。為了檢測和隔離傳感器故障,用一組觀測器生成一組殘差,使每個殘差只對一個敏感故障。每一個觀察者被設(shè)計(jì)成抗干擾。然后,利用一個四旋翼LPVs的模擬,所開發(fā)的方法適用于該型無人機(jī)。仿真結(jié)果表明了該方法的有效性。未來的研究將集中在對容錯控制研究上。

綜上所述,本文的創(chuàng)新點(diǎn)在于:①基于LPVs構(gòu)建QUAV控制模型,并進(jìn)行了LPVs觀測器設(shè)計(jì)。②因?yàn)閭鞲衅鲗τ跓o人機(jī)控制是關(guān)鍵部件,傳感器失效將會導(dǎo)致無人機(jī)控制效果的降低,因此本文在對QUAV進(jìn)行控制過程中,充分考慮了傳感器故障問題;③通過考慮比較器集成控制方案,采用積分器比較器模塊進(jìn)行LPVs設(shè)計(jì),實(shí)現(xiàn)對QUAV的設(shè)定位置跟蹤。