曾禮平 陳齊平 袁星星 肖 強 周聰輝 黃娟林

1.華東交通大學機電與車輛工程學院，南昌，330013

2.廣汽豐田汽車有限公司，廣州，511455

0 引言

雙質(zhì)量飛輪（dual mass flywheel，DMF）能有效減小汽車傳動系中發(fā)動機輸入的扭轉(zhuǎn)振動［1?3］，具有比從動盤式扭振減振器更好的減振效果。各國學者對DMF展開如下研究：①減振彈簧的設計；②系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動模型的建立和減振性能的分析；③對DMF各項指標的試驗分析以及對應試驗裝置的研制等。呂振華等［4?5］、李以農(nóng)等［6］針對DMF減振彈簧的設計及其參數(shù)選擇，對汽車傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的影響進行了研究；KIM等［7］建立了用于分析DMF性能的彈性元件離散化模型，該模型主要包括質(zhì)量、彈簧及采用模擬非線性摩擦Stribeck作用的分析模型；李光輝等［8］根據(jù)汽車傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的固有頻率特性，提出了DMF參數(shù)設計方法；WALTER等［9］建立了傳動系統(tǒng)中DMF的狀態(tài)空間方程，提出了實時精確估計發(fā)動機轉(zhuǎn)矩的方法；KANG 等［2］、吳飛等［10］建立了DMF工作過程中的角位移和搭載DMF的傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)測試系統(tǒng)。

LuK公司的分段變剛度DMF的扭轉(zhuǎn)剛度隨扭轉(zhuǎn)角的不同而不同，具有明顯的非線性。發(fā)動機轉(zhuǎn)速不同時，DMF利用剛度變化，將汽車傳動系統(tǒng)的共振予以隔離，并滿足匹配大功率發(fā)動機高轉(zhuǎn)矩的要求［11］。在對搭載DMF的汽車動力傳動系統(tǒng)振動特性的理論研究方面，考慮到汽車傳動系統(tǒng)和非線性研究的復雜性，一般將系統(tǒng)簡化為線性系統(tǒng)進行研究，如劉圣田［12］分析了DMF對汽車怠速振動與噪聲控制的影響，建立了怠速狀態(tài)下發(fā)動機的多自由度扭振系統(tǒng)計算分析模型?；蛑会槍MF結(jié)構(gòu)本身的非線性特征展開研究，如史文庫等［13］分析了多級剛度DMF的多級非線性特征，并提出了多級非線性DMF設計過程中各參數(shù)的選取原則；SCHAPER等［14］考慮摩擦、慣性力等非線性因素的影響，建立了DMF結(jié)構(gòu)中的長弧形螺旋彈簧的非線性轉(zhuǎn)矩特性的分析模型。這些研究沒有詳細分析分段變剛度DMF在傳動系統(tǒng)中的非線性振動，包括考慮其中的非線性因素、建模和分析方法，本文考慮三級分段變剛度DMF中的初級飛輪和次級飛輪的相對轉(zhuǎn)動，研究了減振彈簧剛度隨扭轉(zhuǎn)角分段變化的非線性因素對汽車動力傳動系統(tǒng)振動特性的影響。

1 DMF結(jié)構(gòu)及工作原理

圖1所示為搭載DMF的汽車動力傳動系統(tǒng)，發(fā)動機的曲軸與初級飛輪連接，次級飛輪與離合器連接，DMF隨著曲軸一起轉(zhuǎn)動，隨后動力和運動經(jīng)過離合器輸入到變速箱，最后經(jīng)過差速器傳遞到驅(qū)動車輪。

圖1 搭載DMF的汽車動力傳動系統(tǒng)Fig.1 Schematic diagram of vehicle transmission equipped with DMF

所研究的三級分段變剛度DMF如圖2所示。初級飛輪與發(fā)動機曲軸連接，次級飛輪與離合器相連，起減振作用的減振彈簧與彈簧座置于初級飛輪凸緣之間，螺栓將撥盤與次級飛輪固定。DMF工作時，初級飛輪凸緣與彈簧座接觸，彈簧座隨著轉(zhuǎn)動，從而壓縮安裝在2個彈簧座之間的減振彈簧，撥盤在彈簧作用力下轉(zhuǎn)動，與撥盤通過螺栓連接的次級飛輪隨之轉(zhuǎn)動。

圖2DMF結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic plot of the DMF

圖3 a為DMF的撥盤、彈簧座、減振彈簧最初相對位置示意圖。DMF工作初始階段，初級飛輪凸緣與彈簧座作用，減振彈簧開始被壓縮，在彈簧座相互接觸之前，全部減振彈簧串聯(lián)，此時DMF的扭轉(zhuǎn)剛度為第一級剛度k1，如圖3b所示。扭轉(zhuǎn)角增大即轉(zhuǎn)過一定角度后，有4對彈簧座接觸，相互接觸的2個彈簧座之間的減振彈簧不起傳遞轉(zhuǎn)矩的作用，此時DMF的扭轉(zhuǎn)剛度為第二級剛度k2，如圖3c所示。扭轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)過的角度繼續(xù)增大，有4對彈簧座相互接觸時，只有2個減振彈簧可繼續(xù)被壓縮，這時的DMF扭轉(zhuǎn)剛度為第三級剛度k3，如圖3d所示。上述過程對應于如圖4所示的DMF轉(zhuǎn)矩及剛度變化。

圖3 DMF各級剛度狀態(tài)示意圖Fig.3 Different stage stiffness schematic diagram of the DMF

圖4 DMF轉(zhuǎn)矩及剛度特性Fig.4 Torque and stiffness characteristics of DMF

2 汽車傳動系統(tǒng)扭振模型

根據(jù)圖1所示的汽車傳動系統(tǒng)，建立對應的系統(tǒng)扭振分析模型，如圖5所示，發(fā)動機曲軸到初級飛輪的轉(zhuǎn)動慣量用J1表示，次級飛輪和離合器的轉(zhuǎn)動慣量為J2，變速器、差速器等傳動系統(tǒng)部件和車輪的等效轉(zhuǎn)動慣量用J3表示。與J1和J2相比，J3是非常大的，并且本文主要考慮DMF自身結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響，因此對系統(tǒng)進行振動分析時，將J3看成是無窮大［15］。θA和 θB分別為轉(zhuǎn)動慣量J1和轉(zhuǎn)動慣量J2的轉(zhuǎn)角，初級飛輪與次級飛輪之間存在的變剛度所產(chǎn)生的非線性作用力用F（θA，θB）表示，車輛受到地面作用的剛度與阻尼為k、c，T為發(fā)動機端輸入的轉(zhuǎn)矩。

圖5 簡化后的汽車傳動系扭轉(zhuǎn)振動分析模型Fig.5 Simplified torsional vibration analysis model of vehicle transmission

簡化后系統(tǒng)扭振微分方程為

式中，Tp為轉(zhuǎn)矩變化幅值；ωd為激振頻率；t為時間。

根據(jù)DMF的轉(zhuǎn)矩及剛度特性（圖4），用函數(shù)表示DMF減振彈簧在不同扭轉(zhuǎn)角范圍所產(chǎn)生的非線性作用力：

式中，θ為DMF的扭轉(zhuǎn)角，θ=θA-θB。

3 非線性振動數(shù)值求解

3.1 非線性頻率特性近似解析解

采用平均法［16］求解式（1），令

則式（2）變?yōu)镕(θ)=k1θ+g(θ)，將此式代入式（1）得

式（4）簡化得到

引入小參數(shù)ε，將式（5）變換成通用線性振動方程形式：

由式（6）對應的典則方程，推導其派生方程所對應的固有頻率計算式：

在代入?yún)?shù)分析計算過程中發(fā)現(xiàn)傳動系統(tǒng)的1階共振響應振幅比2階共振響應振幅大得多，因此，本文只對系統(tǒng)的1階共振區(qū)域的頻率特性進行分析。推導得到系統(tǒng)的1階共振區(qū)域振動幅值A1與發(fā)動機端輸入的外界激勵頻率ωd的關(guān)系：

式中，fe為等效線性固有頻率［16］。

由式（8）可知，1階共振曲線的幅頻函數(shù)ωd關(guān)于fe對稱，并且有

3.2 Runge-Kutta數(shù)值積分方法

對機械結(jié)構(gòu)的非線性振動研究中，可采用數(shù)值方法進行計算，對系統(tǒng)響應的時間變化規(guī)律、頻率譜特性、相軌跡曲線以及龐加萊截面上的點集分布等方面進行分析，以此判斷系統(tǒng)非線性特征［17］。

Runge?Kutta數(shù)值積分方法常用于微分方程的求解，源于泰勒級數(shù)方法，在每個插值點用泰勒級數(shù)展開，其中，4階Runge?Kutta法是最常用的一種方法，設y為x的隱函數(shù)，且

將區(qū)間[a,b]分成i等分，步長h=(b-a)/i，利用已知的 h、xi、yi，計算 k1、k2、k3、k4、yi+1，其截斷誤差為O(h5)，最后得到y(tǒng)關(guān)于x函數(shù)的數(shù)值解：

為分析系統(tǒng)強迫振動響應，采用4階Runge?Kutta數(shù)值方法，編制算法程序求解式（1）。

4 實例計算與分析

對與某款2.0 L發(fā)動機匹配的DMF進行分析，該 DMF 具體參數(shù)為 k1=4 N ·m/（°），k2=10 N ·m/（°），k3=24 N ·m/（°），θ1=12°，θ2=35°。圖5所示的整車動力傳動系統(tǒng)模型中，J1=0.15 kg·m2，J2=0.055 kg·m2，c=0.63 N·m·s/rad，k=2 950 N ·m/（°），通過平均法和 4階 Runge?Kutta數(shù)值計算方法編程計算分析，得到系統(tǒng)非線性振動頻率特性和強迫振動響應。

4.1 非線性幅頻特性

DMF剛度隨扭轉(zhuǎn)角變化不是固定值，在特定角度（θ1=12°，θ2=35°）發(fā)生跳躍，則搭載DMF的汽車傳統(tǒng)系統(tǒng)剛度在對應角度同樣發(fā)生明顯變化，這使搭載DMF的汽車動力傳動系統(tǒng)頻響曲線存在跳躍現(xiàn)象，具有多值性，如圖6所示。

圖6 扭轉(zhuǎn)角θ的幅頻特性Fig.6 Amplitude-frequency characteristics of angle θ

由于fe是扭轉(zhuǎn)角振幅的非線性函數(shù)，而轉(zhuǎn)矩變化又是振幅的非線性函數(shù)（式（8）），當扭轉(zhuǎn)角θ變化的幅值大于θ1（DMF的k1變化到k2位置）后，fe的曲線向右側(cè)彎曲，這與幅值小于θ1時fe的曲線為直線完全不同。同樣，幅頻特性曲線隨發(fā)動機轉(zhuǎn)矩頻率變化也向右側(cè)彎曲。當激勵頻率逐漸增大即由小到大進行掃頻，DMF扭轉(zhuǎn)角振動的幅值也從A點→B點→C點越來越大，隨后幅值連續(xù)變化到D點位置，若繼續(xù)增大外界激勵頻率，扭轉(zhuǎn)角幅值從D點階躍變化到E點，并沿曲線的右下半分支移動。若激勵頻率掃頻路徑為由大到小，扭轉(zhuǎn)角變化的幅值從E點增大到I點（θ2，DMF的k2變化到k3位置），此時若再減小發(fā)動機激勵頻率，扭轉(zhuǎn)角幅值則從I處階躍變化至C點位置，隨后沿幅頻曲線減小從B至A點方向連續(xù)變化。

4.2 非線性強迫振動響應

由式（7）可計算得到系統(tǒng)的1階固有頻率ωn1=37.64 rad/s，在系統(tǒng)1階共振頻率的附近區(qū)域分別取40 rad/s（發(fā)動機轉(zhuǎn)速382 r/min）、60 rad/s（發(fā)動機轉(zhuǎn)速573 r/min）、80 rad/s（發(fā)動機轉(zhuǎn)速764 r/min）、100 rad/s（發(fā)動機轉(zhuǎn)速955 r/min）、120 rad/s（發(fā)動機轉(zhuǎn)速1 146 r/min）和160 rad/s（發(fā)動機轉(zhuǎn)速1 528 r/min）為激勵頻率，振幅Tp=120 N·m，初級和次級飛輪的初始轉(zhuǎn)角和角位移都為零作為初始條件，對系統(tǒng)強迫振動響應進行數(shù)值仿真分析。

（1）外界激勵頻率（轉(zhuǎn)矩變化頻率）ωd=40 rad/s時，DMF的初級和次級飛輪的轉(zhuǎn)角、角速度隨時間變化過程如圖7所示，圖8所示為DMF扭轉(zhuǎn)角θ的時間歷程、頻譜、相圖及龐加萊映射。當發(fā)動機端輸入的轉(zhuǎn)矩隨時間為簡諧變化，初級飛輪和次級飛輪均做不規(guī)則的旋轉(zhuǎn)運動，次級飛輪角位移和角速度的變化趨勢與初級飛輪接近，但振動幅值明顯減小，分別由原來的最大值63.6°和54.7 rad/s降低到15.1°和20.2 rad/s，證明了DMF的優(yōu)良減振效果。

圖7 飛輪的角位移、角速度（ωd=40 rad/s）Fig.7 Rotation angles and angular velocities of flywheel（ωd=40 rad/s）

圖8 扭轉(zhuǎn)角θ的時間歷程、頻譜、相圖及龐加萊映射截面（ωd=40 rad/s）Fig.8 Time history，frequency spectrum，phase diagram and Poincaré map of angle θ（ωd=40 rad/s）

由圖8a所示的扭轉(zhuǎn)角θ不規(guī)則運動經(jīng)過傅里葉變換后得到的頻譜如圖8b所示，系統(tǒng)響應包含多項幅值和頻率均不同的簡諧振動：①穩(wěn)態(tài)強迫振動（幅值為26.56°，頻率40.21 rad/s≈ωd）；②亞諧穩(wěn)態(tài)強迫振動（幅值為4.07°，頻率23.25 rad/s≈ωd/2）；③超諧自由振動（幅值為 1.72°，頻率72.88 rad/s≈2ωn1）。另外，DMF扭轉(zhuǎn)角疊加并向外擴散的近似橢圓形的相軌跡（圖8c）和其龐加萊截面（圖8d）上的點集存在不變環(huán)面吸引子，可構(gòu)成封閉的環(huán)形，推斷扭轉(zhuǎn)角θ隨時間的變化為準周期運動。

（2）ωd=60rad/s時，圖9a所示為DMF扭轉(zhuǎn)角θ的時間歷程，通過傅里葉變換得到對應的頻譜如圖9b所示，系統(tǒng)的總響應為：①穩(wěn)態(tài)強迫振動,幅值為 38.47°，頻率 60.32 rad/s≈ωd；②幅值為30.87°，頻率 67.86 rad/s；③幅值為 11.7°，頻率為52.15 rad/s。另外，由DMF扭轉(zhuǎn)角的疊加并向外擴散近似橢圓相軌跡（圖9c）和其不可構(gòu)成封閉的環(huán)形的龐加萊截面（圖9d）上的點集，可判斷扭轉(zhuǎn)角θ隨時間變化呈混沌運動狀態(tài)。

（3）ωd=80 rad/s時，圖10a所示為DMF扭轉(zhuǎn)角θ時間歷程，經(jīng)過傅里葉變換得到圖10b所示的頻譜，系統(tǒng)的總響應為：①亞諧穩(wěn)態(tài)強迫振動（振幅為8.417°，頻率43.35 rad/s≈ωd/2）；②穩(wěn)態(tài)強迫振動（振幅為7.853°，頻率79.8 rad/s≈ωd）。DMF扭轉(zhuǎn)角θ相軌跡是疊加并向外擴散的近似圓形封閉曲線（圖10c），其龐加萊截面上的點集不能構(gòu)成封閉的環(huán)形（圖10d），結(jié)合頻譜和相圖可知，DMF扭轉(zhuǎn)角θ處于混沌狀態(tài)。

圖9 扭轉(zhuǎn)角θ的時間歷程、頻譜、相圖及龐加萊映射截面（ωd=60 rad/s）Fig.9 Time history，frequency spectrum，phase diagram and Poincaré map of angle θ（ωd=60 rad/s）

圖10 扭轉(zhuǎn)角θ的時間歷程、頻譜、相圖及龐加萊映射截面（ωd=80 rad/s）Fig.10 Time history，frequency spectrum，phase diagram and Poincaré map of relative angle θ（ωd=80 rad/s）

（4）ωd=100 rad/s時，圖11a所示為DMF扭轉(zhuǎn)角θ的時間歷程，通過傅里葉變換得到對應的頻譜，如圖11b所示，系統(tǒng)的總響應主要包括：①亞諧自由振動（幅值0.531°，頻率19.48 rad/s≈ωn1/2）；②自由振動（幅值6.568°，頻率39.58 rad/s≈ωn1）；③穩(wěn)態(tài)強迫振動（幅值4.76°，頻率99.9 rad/s≈ωd）。DMF扭轉(zhuǎn)角的相圖為向外擴散的近似橢圓（圖11c），其龐加萊截面上的點集不可構(gòu)成封閉的環(huán)形（圖11d），可判斷DMF扭轉(zhuǎn)角θ隨時間變化處于混沌運動狀態(tài)。

圖11 扭轉(zhuǎn)角θ的時間歷程、頻譜、相圖及龐加萊映射截面（ωd=100 rad/s）Fig.11 Time history，frequency spectrum，phase diagram and Poincaré map of angle θ（ωd=100 rad/s）

（5）ωd=120 rad/s時，圖12a所示為DMF扭轉(zhuǎn)角θ的時間歷程，通過傅里葉變換得到對應的頻譜如圖12b所示，系統(tǒng)的總響應主要包括：自由振動（頻率38.33 rad/s≈ωn1）和穩(wěn)態(tài)強迫振動（頻率120 rad/s≈ωd），其中自由振動項的幅值最大。相軌跡為疊加并向外擴散的近似橢圓曲線（圖12c），其龐加萊截面上的點集可構(gòu)成封閉的環(huán)形（圖12d）。因此，可判斷DMF扭轉(zhuǎn)角θ隨時間為準周期的變化。

圖12 扭轉(zhuǎn)角θ的時間歷程、頻譜、相圖及龐加萊映射截面（ωd=120 rad/s）Fig.12 Time history，frequency spectrum，phase diagram and Poincaré map of angle θ（ωd=120 rad/s）

（6）ωd=160 rad/s時，將圖13a所示的不規(guī)則變化的DMF扭轉(zhuǎn)角通過傅里葉變換得到圖13b所示的頻譜，系統(tǒng)的總響應為自由振動（頻率37.7 rad/s≈ωn1）和穩(wěn)態(tài)強迫振動（頻率160.2 rad/s≈ωd）兩項疊加。轉(zhuǎn)角與轉(zhuǎn)速的關(guān)系曲線為向外擴散的近似橢圓（圖13c），其龐加萊截面上的點集可構(gòu)成封閉的環(huán)形（圖13d），因此DMF扭轉(zhuǎn)角θ隨時間變化為準周期的。

圖13 扭轉(zhuǎn)角θ的時間歷程、頻譜、相圖及龐加萊映射截面（ωd=160 rad/s）Fig.13 Time history，frequency spectrum，phase diagram and Poincaré map of angle θ（ωd=160 rad/s）

綜上所述，系統(tǒng)非線性強迫振動響應是非常復雜的，不同外界激勵頻率下的振動響應不同，系統(tǒng)處于周期運動、擬周期運動和混沌運動等多種運動狀態(tài)。

5 結(jié)論

（1）DMF剛度隨扭轉(zhuǎn)角變化具有分段特性，使系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動具有骨干線,存在彎曲現(xiàn)象，使頻率特性曲線具有多值性并呈現(xiàn)出跳躍特征等明顯的非線性特性。

（2）發(fā)動機端輸入的簡諧運動經(jīng)過DMF減振作用后輸出的運動振幅明顯減小，證明DMF具有很好的緩解扭轉(zhuǎn)振動特性。

（3）系統(tǒng)在不同激勵頻率下的強迫振動響應包含穩(wěn)態(tài)、自由、亞諧振動等多項，并對應于多種周期性的運動狀態(tài)，其中自由振動項占主導地位。