張凱瑋， 付 文， 銀曉東， 羅 輝， 王勝楠

(1. 鄭州大學(xué) 水利與環(huán)境學(xué)院， 河南 鄭州 450001； 2. 華中科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430074； 3. 平頂山市公路交通勘察設(shè)計(jì)院， 河南 平頂山 467000)

城市軌道交通的健康服役對(duì)于城市的正常運(yùn)轉(zhuǎn)至關(guān)重要。如果城市軌道交通路線某一節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)故障，將危及到整個(gè)地鐵網(wǎng)絡(luò)線路，對(duì)市民的出行造成嚴(yán)重困擾和惡劣的社會(huì)影響。近年來(lái)越來(lái)越多的學(xué)者對(duì)盾構(gòu)隧道的健康監(jiān)測(cè)方面的研究，諸如小波分析法和自回歸移動(dòng)平均(Autoregressive Moving Average，ARMA)模型法[1～4]等在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)方面應(yīng)用較廣。本文采用基于ARMA模型的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)分析，對(duì)盾構(gòu)隧道進(jìn)行損傷定位研究。首先，介紹了時(shí)間序列模型應(yīng)用于結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的原理；然后，采用數(shù)值模型算例和縮尺模型試驗(yàn)驗(yàn)證了該方法在盾構(gòu)隧道結(jié)構(gòu)損傷定位中的適用性和有效性。

1 基于時(shí)間序列模型的損傷識(shí)別方法

1.1 應(yīng)用ARMA方法進(jìn)行系統(tǒng)識(shí)別

在外界激勵(lì)下豎直方向上的地下隧道結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為[1]：

(1)

(2)

(3)

由式(3)的解，通過(guò)應(yīng)用逆z變換找到線性ARMA模型的系數(shù)如下：

x(k)+a1x(k-1)+…+anx(k-2n)=b1F(k-1)+b2F(k-2)+…+bnF(k-2n)

(4)

式中：x(k)為由驅(qū)動(dòng)負(fù)載F()產(chǎn)生的輸出；a1,a2,…,an為自回歸(Autoregressive，AR)系數(shù)；b1,b2,…,bn為滑動(dòng)平均(Moving Average，MA)系數(shù)。

(5)

E=σ2δij

(6)

式中：E為白噪聲期望值；δij為白噪聲偏差值。

將式(4)代入式(5)得：

(7)

式(7)可寫(xiě)成：

(8)

ξ(k)=w(k)+a1w(k-1)+…+a2nw(k-2n)

(9)

很清楚，參數(shù)的估計(jì)將由于噪聲的干擾而偏移，其由ξ(k)表示。為了減少后續(xù)分析中的誤差，引入測(cè)量的加速度信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)作為構(gòu)建ARMA模型的輸入的替代。實(shí)際測(cè)量的自相關(guān)函數(shù)為：

w(k))(x(k+τ)+w(k+τ))]

(10)

由于動(dòng)態(tài)響應(yīng)和白噪聲彼此獨(dú)立，式(10)可簡(jiǎn)化為：

Rk=E[x(k)+x(k+τ)]+E[w(k)w(k+τ))]=E[x(k)+x(k+τ)]+σ2δk(k+τ)

(11)

文獻(xiàn)[3]表明，動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)保持了原始信號(hào)中包含的所有模態(tài)信息，并同時(shí)減少了信號(hào)中噪聲的影響。因此，以自相關(guān)函數(shù)構(gòu)建ARMA模型，可以克服由噪聲引起的估計(jì)偏差，而不會(huì)丟失模態(tài)信息。

為了簡(jiǎn)化，在下面的分析中使用x(k)來(lái)表示實(shí)際測(cè)量的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。在本文中，將信號(hào)歸一化的過(guò)程引入到用于信號(hào)預(yù)處理的集成ARMA模型方法中。執(zhí)行歸一化以便消除加載條件或環(huán)境條件改變對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響非常重要。令xi(t)為來(lái)自傳感器i的動(dòng)態(tài)響應(yīng)數(shù)據(jù)，并且其被劃分為不同的段xij(t)，其中i表示傳感器號(hào)，j表示來(lái)自傳感器i的數(shù)據(jù)的第j個(gè)段。然后，如下獲得歸一化信號(hào)：

(12)

式中：μij和σij分別為每個(gè)片段的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差。

然后，計(jì)算歸一化信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)以建立ARMA模型。適當(dāng)?shù)腁RMA模型階的定義是基于ARMA模型方法的關(guān)鍵問(wèn)題之一。在用精確階數(shù)模型評(píng)估AR參數(shù)時(shí)，如果測(cè)量被噪聲破壞，則不可能獲得所有模式。為了獲得具有可接受的精度的所有模式，需要更高的階數(shù)。這并不意味著模型階數(shù)越高，算法精度越好。對(duì)于過(guò)建模情況，將不可避免地產(chǎn)生更多的偽模式。在這種情況下，擁有一個(gè)選擇實(shí)際模式的標(biāo)準(zhǔn)是必要的。在本文中，部分自相關(guān)函數(shù)用于估計(jì)最佳AR模型階數(shù)。

給定具有(2n,2n-1)階的ARMA模型，AR參數(shù)和結(jié)構(gòu)模態(tài)性質(zhì)之間的關(guān)系如下：

通過(guò)引入z變換，式(4)也可以表示為：

A(z-1)x(k)=B(z-1)F(k)

(13)

A(z-1)=1+a1z-1+a2z-2+…+a2nz-2n

(14)

B(z-1)=1+a1z-1+a2z-2+…+a2nz-2n

(15)

由式(13)得：

(16)

(17)

模型的穩(wěn)定性條件要求A(z-1)中的解的模數(shù)低于1。H(z)是ARMA模型的傳遞函數(shù)，在模態(tài)基礎(chǔ)上，它也可以表示如下：

(18)

式中：λp和{φp}是矩陣[A]的特征值和特征向量；ep=(zp-1)/λp；星號(hào)表示共軛。

具有系數(shù)AR的多項(xiàng)式的解表示傳遞函數(shù)的極值點(diǎn)，其可以通過(guò)計(jì)算分母多項(xiàng)式的根來(lái)獲得：

(19)

或者表示為：

z2n+a1z2n-1+a2z2n-2+…+a2n=0

(20)

并且根以p=1,2,…,2n表示

zp=eλpT

(21)

式中：T為采樣周期。第r個(gè)特征值寫(xiě)為：

(22)

然后，可以通過(guò)下式獲得固有頻率和阻尼比：

Rr=lnzr=λpT

(23)

(24)

(25)

根據(jù)基于振動(dòng)的損傷檢測(cè)的理論，對(duì)結(jié)構(gòu)的任何損壞可能引起剛度、質(zhì)量或阻尼特性的改變，并且因此導(dǎo)致結(jié)構(gòu)振動(dòng)的某些變化。利用上述模態(tài)參數(shù)和ARMA參數(shù)之間的關(guān)系，顯然ARMA參數(shù)保存了結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的信息，可進(jìn)一步用于損傷識(shí)別。

1.2 基于ARMA模型的馬氏距離損傷識(shí)別指標(biāo)

除了系統(tǒng)識(shí)別，ARMA估計(jì)也可以用于時(shí)間序列分類。問(wèn)題在于如何比較兩個(gè)ARMA模型，或者，找到一個(gè)度量來(lái)測(cè)量ARMA模型之間的距離。

馬氏距離是經(jīng)常用于多變量分析以區(qū)分兩個(gè)序列的分布。馬氏距離不同于歐幾里德距離，它考慮了變量之間的相關(guān)性，并且不依賴于觀測(cè)值的規(guī)模。具有協(xié)方差矩陣Q的兩個(gè)向量y和z之間的馬氏距離定義如下：

(26)

本文中，定義損傷狀態(tài)和正常無(wú)損條件之間的馬氏距離為損傷識(shí)別指標(biāo)(Damage identification，DI)。具體地，用AR模型參數(shù)作為損傷特征向量，定義DI為D(y損傷，μ無(wú)損，E無(wú)損)與D(y無(wú)損，0，E無(wú)損)的比率，其中μ無(wú)損和E無(wú)損是平均矢量，并且AR模型參數(shù)的協(xié)方差矩陣對(duì)應(yīng)于未損壞數(shù)據(jù)集，y損傷是對(duì)應(yīng)于損壞數(shù)據(jù)集的AR模型參數(shù)向量。該損傷識(shí)別指標(biāo)背后的含義是從損傷情況到無(wú)損情況的馬氏距離與無(wú)損狀態(tài)到零狀態(tài)的馬氏距離的比率，即，它是對(duì)由給定結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的損壞引起的馬氏距離變化的度量。在數(shù)學(xué)上，度量識(shí)別指標(biāo)可以定義為：

(27)

因此，損傷識(shí)別過(guò)程包括兩個(gè)主要階段，即訓(xùn)練和監(jiān)測(cè)。訓(xùn)練過(guò)程開(kāi)始于收集來(lái)自安裝在未損壞狀態(tài)下結(jié)構(gòu)上所有傳感器的結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)據(jù)。然后，進(jìn)行分割和歸一化過(guò)程以預(yù)處理原始信號(hào)。將預(yù)處理的加速度響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)作為輸入數(shù)據(jù)，以消除對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的噪聲影響。部分自相關(guān)函數(shù)用于估計(jì)最佳AR模型階數(shù)。將合理的ARMA模型擬合到每個(gè)輸入數(shù)據(jù)序列。所產(chǎn)生的AR系數(shù)被用作損傷敏感特征向量。通過(guò)求解兩個(gè)ARMA模型之間的馬氏距離，用于損傷檢測(cè)。

DI實(shí)際上是衡量馬氏距離變化的一種度量，即由損傷發(fā)生引起的振動(dòng)變化。當(dāng)發(fā)生損壞時(shí)，會(huì)改變系統(tǒng)的振動(dòng)模式。對(duì)于與某一傳感器對(duì)應(yīng)的DI，不僅包含同一段的局部損傷的影響，而且還包括其他部分的損壞對(duì)整個(gè)系統(tǒng)振動(dòng)的影響。從損壞區(qū)域附近的傳感器檢測(cè)到的變化應(yīng)大于其他傳感器的變化。因此，需要通過(guò)比較整個(gè)結(jié)構(gòu)中的所有計(jì)算的DI來(lái)建立閾值。僅在DI大于閾值的位置識(shí)別損傷。

研究人員提出了各種定義閾值的方法。例如在Yan[5]等人的研究中，完整結(jié)構(gòu)的測(cè)量數(shù)據(jù)假定為正態(tài)分布，基于測(cè)量數(shù)據(jù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差定義閾值。同樣，在本文中，整個(gè)隧道系統(tǒng)的DI也被假設(shè)為正態(tài)分布，以區(qū)分由局部損傷引起的異常值，閾值定義為95%的一次置信度的上限。該閾值定義的含義是從某一狀態(tài)獲得的DI的95%小于該值。因此，具有高于該閾值的相應(yīng)DI的傳感器很可能對(duì)應(yīng)于具有損壞的位置。假設(shè)整個(gè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的損傷指標(biāo)服從正態(tài)分布，則損傷閾值定義為95%的單側(cè)置信上界：

(28)

2 基于ARMA模型的盾構(gòu)隧道結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別數(shù)值分析

建立的盾構(gòu)隧道實(shí)體模型長(zhǎng)度為60 m，外徑6 m，管片厚度0.3 m，隧道外圍土體圍巖的截面尺寸為46 m×38 m的盾構(gòu)隧道有限元模型。隧道管片結(jié)構(gòu)采用shell63殼單元，土體圍巖采用solid45單元。定義隧道管片的彈性模量為3.45×1010Pa，泊松比為0.2，密度為2700 kg/m3；定義周圍土體圍巖的彈性模量為2.5×108Pa，泊松比為0.32，密度為2200 kg/m3；定義有損傷位置處的隧道管片的彈性模量為(1-損傷大小)×3.45×1010Pa。比如，當(dāng)損傷大小為10%時(shí)，損傷處的彈性模量就設(shè)定為0.9×3.45×1010Pa，泊松比為0.2，密度為2700 kg/m3。有限元模型如圖1所示。

圖1 盾構(gòu)隧道實(shí)體有限元模型

地鐵列車在行駛過(guò)程中對(duì)軌道的作用包括兩部分，一是列車重量靜荷載，二是由于列車運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的振動(dòng)荷載。在本文中，采用激勵(lì)力函數(shù)擬合的方法確定地鐵列車荷載[6]，模擬地鐵行駛的荷載。

襯砌結(jié)構(gòu)損傷的模擬，通過(guò)假定某一單元或者某些單元的不同程度的剛度折減來(lái)實(shí)現(xiàn)[7]。本文通過(guò)殼單元彈性模量的折減來(lái)模擬盾構(gòu)隧道襯砌的損傷。共設(shè)置了六個(gè)損傷模型和一個(gè)無(wú)損模型，其中，損傷工況包括單損傷和多損傷，如表1所示。

表1 模型損傷工況

求解出盾構(gòu)隧道-土體圍巖有限元實(shí)體模型的加速度響應(yīng)后，將預(yù)處理的加速度響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)作為輸入數(shù)據(jù)，以消除對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的噪聲影響。部分自相關(guān)函數(shù)用于估計(jì)最佳AR模型階數(shù)?；诖耍瑢⒑侠淼腁RMA模型擬合到每個(gè)輸入數(shù)據(jù)序列。所產(chǎn)生的AR系數(shù)被用作損傷敏感特征向量。通過(guò)求解兩個(gè)ARMA模型之間的馬氏距離，從損傷情況到無(wú)損情況的馬氏距離與無(wú)損狀態(tài)到零狀態(tài)的馬氏距離的比率被定義為損傷識(shí)別指標(biāo)DI，用于損傷檢測(cè)。結(jié)果如圖2所示。

圖2 各工況損傷識(shí)別結(jié)果/m

工況1～工況3是單損傷工況，從圖2a～2c可以看出，損傷位置指標(biāo)值超過(guò)損傷閾值，能清楚識(shí)別損傷及位置，隨著損傷程度的增加，損傷指標(biāo)值逐漸增大，說(shuō)明馬氏距離指標(biāo)能有效識(shí)別損傷位置和程度。工況4是雙損傷工況，圖2d顯示，損傷指標(biāo)也可識(shí)別出損傷的位置。

從分析數(shù)值模擬的加速度信號(hào)的結(jié)果來(lái)看，馬氏距離損傷指標(biāo)有很好的識(shí)別效果，無(wú)論是單損傷還是多損傷，都能準(zhǔn)確識(shí)別損傷位置。

3 縮尺隧道模型實(shí)驗(yàn)損傷識(shí)別分析

由于實(shí)際的盾構(gòu)隧道太大，進(jìn)行足尺試驗(yàn)非常困難，故采取縮尺試驗(yàn)的方式進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出的損傷識(shí)別方法的可行性和有效性。

縮尺模型采用砂箱和管道結(jié)合的方式。管道模擬盾構(gòu)隧道襯砌，砂箱模擬隧道所處的地層環(huán)境。鋁管每節(jié)長(zhǎng)度為14 cm，外徑18 cm，內(nèi)徑16 cm，管的兩邊有法蘭狀螺栓接頭，形狀如圖3所示。

圖3 鋁管模型

本試驗(yàn)中采用小車模型來(lái)模擬地鐵列車在隧道中的運(yùn)行荷載。小車模型一共設(shè)有6節(jié)車廂，每個(gè)小車質(zhì)量為1 kg，兩個(gè)小車之間用掛鉤連接在一起，用恒定轉(zhuǎn)速的電機(jī)牽引，從管道一頭牽引到另一頭模擬列車在隧道中行進(jìn)。

鋁管采用螺栓連接，兩鋁管之間加一圈橡膠墊，螺栓和橡膠墊的設(shè)置是為了模擬盾構(gòu)隧道管片之間的螺栓連接，更加符合工程的實(shí)際情況。本次試驗(yàn)縮尺隧道結(jié)構(gòu)由30節(jié)鋁管連接而成。

砂箱采用木板制作，木箱長(zhǎng)4150 cm，寬80 cm，高80 cm，側(cè)面正中間留有直徑18 cm的圓形洞口放置管道。砂箱內(nèi)壁覆蓋2 cm厚泡沫板，為了減少振動(dòng)波的反射和外界振動(dòng)對(duì)管道加速度信號(hào)的干擾。木箱中裝入砂子模擬土層，為了鋁管的安裝和更換方便，試驗(yàn)將鋁管埋入砂中一半，如圖4所示。

圖4 管道放置

對(duì)完整的鋁管切割模擬襯砌結(jié)構(gòu)的損傷。本次試驗(yàn)設(shè)置了2 cm×12 cm，2 cm×24 cm的條形缺口。具體切割效果如圖5所示。損傷程度為計(jì)算的構(gòu)件剛度損失率。

圖5 條形切口損傷設(shè)置

實(shí)驗(yàn)共設(shè)置了3個(gè)工況，如表2所示。每個(gè)工況重復(fù)五次試驗(yàn)，采集加速度信號(hào)，避免單次采集的誤差。

表2 工況設(shè)置

本次試驗(yàn)共布置了8個(gè)加速度傳感器，分別在2，6，10，14，18，22，25，28號(hào)鋁管上，采樣頻率定為500 Hz。現(xiàn)場(chǎng)采集加速度信號(hào)如圖6所示。

圖6 現(xiàn)場(chǎng)采集加速度信號(hào)

同數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)，采用1.2節(jié)中提出的方法對(duì)采集的加速度信號(hào)進(jìn)行分析和處理，計(jì)算出各個(gè)損傷識(shí)別指標(biāo)和損傷判斷閾值。圖7為各個(gè)工況下的損傷識(shí)別結(jié)果。

圖7 各個(gè)工況下的損傷識(shí)別結(jié)果

工況1和工況2的損傷設(shè)置在縮尺盾構(gòu)隧道結(jié)構(gòu)中第10節(jié)鋁管。圖10，11為工況1和工況2應(yīng)用ARMA模型方法得出的損傷識(shí)別圖。圖10，11顯示在第3個(gè)加速度傳感器位置處的DI超過(guò)了閾值，而且為最大值，說(shuō)明在第3個(gè)加速度傳感器位置的縮尺節(jié)段發(fā)生了損傷。圖10，11表明，基于ARMA模型的損傷識(shí)別方法可順利地識(shí)別損傷位置，并且損傷程度也能通過(guò)指標(biāo)值的大小呈現(xiàn)。

工況3的損傷設(shè)置在縮尺盾構(gòu)隧道結(jié)構(gòu)中第10，25節(jié)鋁管，損傷大小分別為8%，5%。圖12為工況3應(yīng)用ARMA模型方法得出的損傷識(shí)別圖。圖12顯示在第3個(gè)加速度傳感器和第7個(gè)加速度傳感器位置處DI超過(guò)了閾值，說(shuō)明在第3個(gè)加速度傳感器和第7個(gè)加速度傳感器位置出現(xiàn)了損傷?？梢钥闯觯?個(gè)加速度傳感器對(duì)應(yīng)位置的DI大于第7個(gè)傳感器對(duì)應(yīng)位置的DI，驗(yàn)證了ARMA模型方法對(duì)損傷程度的敏感性。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了基于ARMA模型的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法，首先采集結(jié)構(gòu)的振動(dòng)加速度信號(hào)，然后進(jìn)行處理和分析，建立ARMA模型，定義了基于馬氏距離和ARMA模型的損傷指標(biāo)DI，并采用95%的單側(cè)置信上界為損傷閾值，對(duì)隧道結(jié)構(gòu)進(jìn)行了損傷識(shí)別，數(shù)值計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果均表明，對(duì)于單損傷和多損傷工況，該方法均可有效識(shí)別盾構(gòu)隧道結(jié)構(gòu)的損傷位置和程度。