張洢茼
(河北省石家莊市精英中學 050035)
空集是一個極其特殊又非常重要的集合,它不含任何元素,正因為空集的特殊性,常常成為各類考試的熱點.而在解題過程中常因忽視空集的特殊性而導致錯解,所以我們在學習過程中一定要謹慎小心.
對于空集?,在解題時必須注意它的三個性質:
①對任意集合A,都有?∩A=?和?∪A=A;
②對任意集合A,都有??A;
③對任意非空集合A,都有?A.
解題時若忽視?的存在性,就會造成解題結果的殘缺不全.下面舉幾例說明,以供同學們參考.
例1 設集合A= {x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1= 0,a∈R,x∈R},若B?A,求實數a的取值范圍.
錯解∵A= {0,-4},
∴B?A分以下兩種情況:
(1)當B=A時,B= {0,-4},由此知:0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1= 0的兩個根,由根與系數之間的關系,得:
?a= 1.
(2)當BA時,B={0}或B= {-4},并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,此時B={0}滿足題意.
綜合(1)、(2)知,所求實數a的值為a=-1或a=1.
剖析錯解只注意到B為非空集合,丟掉了B=?時的情況,當B為空集?時仍滿足B?A.因此,B?A可分為B=?,BA,B=A三種情況討論.
正解除了前面兩種情況外,還有B=?時,此時Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.
綜合前面三種情況知,所求實數a的值為a≤-1或a=1.
例2 若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},且A∩B=B,求m的值.
剖析錯解只考慮B≠?時的情況,當B=?時,同樣有A∩B=B成立.
正解易得A={x|x2+x-6=0}={-3,2}.
∵A∩B=B,
∴當B=?時,m=0適合題意;
例3 已知集合A={x|x2-5x+6=0},集合B={x|ax-4=0},且A∪B=A,求實數a的值組成的集合C.
錯解由x2-5x+6=0,得x=2或x=3.
當x=2時,a=2;
剖析上述解答只注意了B為非空集合,實際上,B=?時,仍滿足A∪B=A,當a=0時,B=?,符合題意.上述解答忽略了“空集是任何集合的子集”這一結論.
正解∵A∪B=A,∴B?A.
當B=?時,a=0.
∵當B≠?時,由x2-5x+6=0,得x=2或x=3.
當x=2時,a=4;
例4 已知A={||x-1|≤a},B={x|x<-6或x>4},且A∩B=?,求實數a的取值范圍.
分析由于集合B不是空集,對集合A的化簡和辨別是首先要解決的問題.
解(1)當a<0時,由于|x-1|是非負數,故A=?,這時A∩B=?,符合題意;
(2)當a=0時,A={||x-1|≤0}={1},此時A∩B=?,也符合題意;
綜合得,實數a的取值范圍是a≤3.
例5 已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+3a-5=0},若A∩B=B,求實數a的值.
解A={x|x2-3x+2=0}={1,2},
由x2-ax+3a-5=0知Δ=a2-4(3a-5)=a2-12a+20=(a-2)(a-10).