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        談談一個特殊的集合
        ——空集

        2018-11-08 02:34:12張洢茼
        數理化解題研究 2018年28期
        關鍵詞:空集所求特殊性

        張洢茼

        (河北省石家莊市精英中學 050035)

        空集是一個極其特殊又非常重要的集合,它不含任何元素,正因為空集的特殊性,常常成為各類考試的熱點.而在解題過程中常因忽視空集的特殊性而導致錯解,所以我們在學習過程中一定要謹慎小心.

        對于空集?,在解題時必須注意它的三個性質:

        ①對任意集合A,都有?∩A=?和?∪A=A;

        ②對任意集合A,都有??A;

        ③對任意非空集合A,都有?A.

        解題時若忽視?的存在性,就會造成解題結果的殘缺不全.下面舉幾例說明,以供同學們參考.

        例1 設集合A= {x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1= 0,a∈R,x∈R},若B?A,求實數a的取值范圍.

        錯解∵A= {0,-4},

        ∴B?A分以下兩種情況:

        (1)當B=A時,B= {0,-4},由此知:0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1= 0的兩個根,由根與系數之間的關系,得:

        ?a= 1.

        (2)當BA時,B={0}或B= {-4},并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,此時B={0}滿足題意.

        綜合(1)、(2)知,所求實數a的值為a=-1或a=1.

        剖析錯解只注意到B為非空集合,丟掉了B=?時的情況,當B為空集?時仍滿足B?A.因此,B?A可分為B=?,BA,B=A三種情況討論.

        正解除了前面兩種情況外,還有B=?時,此時Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.

        綜合前面三種情況知,所求實數a的值為a≤-1或a=1.

        例2 若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},且A∩B=B,求m的值.

        剖析錯解只考慮B≠?時的情況,當B=?時,同樣有A∩B=B成立.

        正解易得A={x|x2+x-6=0}={-3,2}.

        ∵A∩B=B,

        ∴當B=?時,m=0適合題意;

        例3 已知集合A={x|x2-5x+6=0},集合B={x|ax-4=0},且A∪B=A,求實數a的值組成的集合C.

        錯解由x2-5x+6=0,得x=2或x=3.

        當x=2時,a=2;

        剖析上述解答只注意了B為非空集合,實際上,B=?時,仍滿足A∪B=A,當a=0時,B=?,符合題意.上述解答忽略了“空集是任何集合的子集”這一結論.

        正解∵A∪B=A,∴B?A.

        當B=?時,a=0.

        ∵當B≠?時,由x2-5x+6=0,得x=2或x=3.

        當x=2時,a=4;

        例4 已知A={||x-1|≤a},B={x|x<-6或x>4},且A∩B=?,求實數a的取值范圍.

        分析由于集合B不是空集,對集合A的化簡和辨別是首先要解決的問題.

        解(1)當a<0時,由于|x-1|是非負數,故A=?,這時A∩B=?,符合題意;

        (2)當a=0時,A={||x-1|≤0}={1},此時A∩B=?,也符合題意;

        綜合得,實數a的取值范圍是a≤3.

        例5 已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+3a-5=0},若A∩B=B,求實數a的值.

        解A={x|x2-3x+2=0}={1,2},

        由x2-ax+3a-5=0知Δ=a2-4(3a-5)=a2-12a+20=(a-2)(a-10).

        (1)當2

        (2)當a≤2或a≥10時,Δ≥0.

        若x=1,由1-a+3a-5=0即a=2,此時B={x|x2-2x+1=0}={1}?A;

        若x=2,由4-2a+3a-5=0,即a=1,此時B={2,-1}A.

        由(1)(2)可知,當2≤a<10時,均有A∩B=B.

        說明通過以上例題,我們發(fā)現尤其在求解有關集合的交集、并集的時候,特別要注意不要丟掉空集這一特殊情況.同學們在學習新知識的時候要善于總結,以防出錯.

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