黃立峰

(江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湟里高級中學(xué) 213000)

抽象函數(shù)是一類比較綜合的題型，它主要就是指題目中不給出具體的式子，只給出一些具有某些性質(zhì)或者是運算規(guī)律的函數(shù).這種抽象函數(shù)是高中學(xué)習(xí)的難點也是高考考查的重點，它能夠有效考查學(xué)生們分析問題、解決問題的能力和邏輯思維，所以學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中一定要重視對數(shù)學(xué)中抽象函數(shù)的學(xué)習(xí).接下來，本文將主要就常見的抽象函數(shù)類型以及相應(yīng)的解題思路等幾個方面進(jìn)行詳細(xì)的研究和探討.

一、高考抽象函數(shù)中常用的幾種解題思路

抽象函數(shù)解題是一個復(fù)雜且考查知識點較多的題型，常見的解題思路有三種：化抽象為具體，還原抽象函數(shù)本質(zhì)；數(shù)形結(jié)合，通過畫圖使抽象函數(shù)形象化；摘取有效信息，使函數(shù)有效化.其中，化抽象為具體，還原抽象函數(shù)本質(zhì)就是考慮到出題人的意圖而得出的一種解題思路，出題人在進(jìn)行出題時不會亂出，而是根據(jù)已有函數(shù)的共性來設(shè)問，這就要求解題人在進(jìn)行解題時要將給出的抽象函數(shù)和我們所學(xué)過的函數(shù)聯(lián)系起來，發(fā)現(xiàn)共性，進(jìn)而找出函數(shù)的具體形式和性質(zhì)以便解題.數(shù)形結(jié)合，通過畫圖使抽象函數(shù)形象化是在做數(shù)學(xué)題中最常用的一種解題思路，有時候求解抽象函數(shù)的解析式并不容易，所以我們可以根據(jù)給出的條件畫出圖象，要注意的是在畫圖象的時候要充分考慮其奇偶性、周期等性質(zhì).摘取有效信息，使函數(shù)有效化這種方法是在前兩種方法都無法解題時用到的，這時候我們就必須深入挖掘題干中給出的有效信息，然后再結(jié)合圖象等方法來解題.

二、高考中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)常見的題型

1.解函數(shù)值

針對這種求函數(shù)值的問題，可以將其和具體的函數(shù)進(jìn)行聯(lián)想，從而找到解題的突破口.以下面這道題為例：

例1 在實數(shù)集合中存在函數(shù)F(x),已知函數(shù)F(x+2)[1-F(x)]=1-F(x),F(-2)=1-31/2,那么由上述條件可以得出F(2006)為多少？

解上面并沒有給出具體的函數(shù)，這就需要學(xué)生們思路靈活，學(xué)會化抽象為具體，由已知條件我們可以得出F(x+2)=[1+F(x)]/[1-F(x)].我們可以看到題中給出的是求F(2006)的值，如果一步一步代公式求是十分麻煩的.觀察上面的式子可以看出這個式子和tan(x+π/4)=(1+tanx)/(1+tanx)是有相似之處的，根據(jù)以往的學(xué)習(xí)，我們知道tanx是有周期性的，所以相應(yīng)的tan(x+π/4)也是有周期性的.由上面的式子和給出的信息我們可以列出如下公式:

F(x+8)=F[(x+4)+4]=-1/F(x+4)=F(x).

由上面兩個式子我們可以得出F(2006)=F(2000+6)=F(8*250+6)=F(6)=F(-2+8)=F(-2)=1-31/2.

在求解類抽象函數(shù)問題時，要注意找到的具體函數(shù)保證任何條件下的抽象函數(shù)結(jié)論都成立，在找出具體函數(shù)之后就可以找到相應(yīng)的性質(zhì)進(jìn)而將問題解出.

2.比較函數(shù)的大小

在比較大小時，大多數(shù)人的思路就是將實際數(shù)值求出來然后再比較大小，這種思路不僅復(fù)雜還存在著極大求不出的可能.因此，針對這種題型可以采用圖象的方法解決.

例2 已知在(-∞，+∞)上存在函數(shù)F(x)是增函數(shù)，存在函數(shù)G(x)是偶函數(shù)，這兩個函數(shù)在(0，+∞)上的圖象重合.存在任意實數(shù)a>b>0，那么下列不等式中哪幾個是正確的？

(1)F(b)-F(-a) >G(a)-G(b);

(2)F(b)-F(-a)

(3)F(a)-F(-b)

(4)F(a)-F(-b)

解我們可以根據(jù)上述條件畫出F(x)和G(x)的圖象，如右圖.通過圖象我們可以得出選項(1)和(3)是成立的.

這種數(shù)形結(jié)合的方法是較為常用的一種方法，既簡單又節(jié)省時間，將圖象畫出后便可以直接觀察函數(shù)，從而輕松解決問題.

3.求具體的函數(shù)解析式

除了上面幾種，代入特殊值、等價換元也是求解抽象函數(shù)常用的方法.

例3 現(xiàn)有一函數(shù)，滿足條件F(F(π/2)=b,其中b為常數(shù).已知F(0)=m(常數(shù))，F(xiàn)(x+y)+F(x-y)=2F(x)cosy,求F(x)的解析式.

解我們可以對x、y進(jìn)行賦值，令x=0，y=n,則有F(n)+F(-n)=2mcosn.設(shè)x=F(π/2)+1，y=F(π/2)，則F(π+n)+F(n)=0；設(shè)x=F(π/2)，y=F(π/2)+1，則F(π+n)+F(-n)=-2bsinn.根據(jù)上面三個式子可以得出F(x)=acosx+bsinx.

綜上所述，抽象函數(shù)作為高考數(shù)學(xué)中常見的一個題型，占有很大的比重，這就要求學(xué)生們在平常做題時要掌握相應(yīng)的解題技巧，學(xué)會挖掘題干中的有效信息，利用化抽象為具體，數(shù)形結(jié)合、代換等方法，針對不同題型靈活解題，從而實現(xiàn)高效、快速的解題.