李青柏

(云南省昭通學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 657000)

一、提出問題

在公務(wù)員錄用考試、事業(yè)單位錄用考試、選聘高校畢業(yè)生到村任職等諸多考試中，皆涉及一次同余問題.利用“最小公倍數(shù)作周期，余同取余，和同加和，差同減差”算法的數(shù)學(xué)原理是什么？具有普遍實用性嗎？如何利用該算法解決相關(guān)問題？本文就對這些問題作簡要剖析.

二、主要結(jié)論

(1)若a1=a2=…=ak=a,則x≡a(modm);

(2)a1+m1=a2+m2=…=ak+mk=b,則x≡b(modm);

(3)m1-a1=m2-a2=…=mk-ak=c,即x≡-c(modm).

證明(1)設(shè)a1=a2=…=ak=a,于是x≡a(modm1),x≡a(modm2),…,x≡a(modmk).則m1|x-a,m2|x-a,…,mk|x-a;從而[m1,m2,…,mk]|x-a,即m|x-a,故x≡a(modm).

(2)設(shè)a1+m1=a2+m2=…=ak+mk=b,由x≡a1(modm1),x≡a2(modm2),…,x≡ak(modmk)得,m1|x-a1,m2|x-a2,…,mk|x-ak，則m1|x-a1-m1,m2|x-a2-m2,…,mk|x-ak-mk,即m1|x-b,m2|x-b,…,mk|x-b,從而[m1,m2,…,mk]|x-b,即m|x-b,故x≡b(modm).

(3)設(shè)m1-a1=m2-a2=…=mk-ak=c,由x≡a1(modm1),x≡a2(modm2),…,x≡ak(modmk)得，m1|x-a1,m2|x-a2,…,mk|x-ak,則m1|x-a1+m1,m2|x-a2+m2,…,mk|x-ak+mk,即m1|x+c,m2|x+c,…,mk|x+c,從而[m1,m2,…,mk]|x+c,即m|x+c,故x≡-c(modm).證畢.

三、實例

例1 (1)一個兩位數(shù)除以4余1，除以5余1，除以6余1，則該數(shù)為____.

(2)一個小于500的三位數(shù)除以5余1，除以6余2，除以8余4，則該數(shù)為____.

(3)一個數(shù)除以5余3，除以6余2，除以7余1，則滿足條件的最小正整數(shù)為____.

解(1)設(shè)該數(shù)為x，余數(shù)都為1，除數(shù)4,5,6的最小公倍數(shù)是60，根據(jù)定理，則x=60n+1,n∈Z.由于x是兩位數(shù)，所以，當n=1時，x=61滿足條件.

(2)設(shè)該數(shù)為x，除數(shù)5,6,8的最小公倍數(shù)為120，被除數(shù)與除數(shù)的差相等，即5-1=6-2=8-4=4，根據(jù)定理，則x=120n-4,n∈Z.由于x是小于500的三位數(shù)，所以，當n=1,2,3,4時,x=116,236,356,476滿足條件.

(3) 設(shè)該數(shù)為x,除數(shù)5，6，7的最小公倍數(shù)為210，除數(shù)與商的和相等，即5+3=6+2=7+1=8，根據(jù)定理，則x=210n+8,n∈Z.所以，當n=0時，x=8滿足條件.

例2 一筐雞蛋：1個1個拿，正好拿完.2個2個拿，還剩1個.3個3個拿，正好拿完.4個4個拿，還剩1個.5個5個拿，還差1個.6個6個拿，還剩3個.7個7個拿，正好拿完.8個8個拿，還剩1個.9個9個拿，正好拿完.問筐里最少有多少雞蛋？

解設(shè)這筐雞蛋共x個，用同余式組表示為：

例3 (江西省公務(wù)員考試行測2009)學(xué)生在操場上列隊做操，只知人數(shù)在90-110之間.若排成3排則不多不少;排成5排則少2人;排成7排則少4人.則學(xué)生人數(shù)是( ).

A.102 B.98 C.104 D.108

解析該數(shù)除以5余3，除以7余3，余數(shù)同為3，且5與7的最小公倍數(shù)為35，則該數(shù)為：35n+3.當n=3時，該數(shù)為108.故選答案D.

“最小公倍數(shù)作周期，余同取余，和同加和，差同減差”具有普遍實用性.，利用本文的定理有效地化解一次同余式，使得解一次同余式組更加簡捷.從而有效地回避了孫子定理中要求模互素的情形.可以歸納，得到：

1.x除以n1余a，除以n3余a,…,除以ni余a，則x=kn+a,k∈Z，其中n為n1,n2,n3,…,ni的最小公倍數(shù)；

2.x除以n1余a1，除以n2余a2,除以n3余a3，…,除以ni余ai，若a1+n1=a2+n2=n3+a3…=ak+nk=b,則x=kn+a,k∈Z，其中n為n1,n2,n3,…,ni的最小公倍數(shù)；

3.x除以n1余a1，除以n2余a2,除以n3余a3，…,除以ni余ai，若n1-a1=n2-a2=n3-a3…=nk-ak=c,則x=kn-c,k∈Z，其中n為n1,n2,n3,…,ni的最小公倍數(shù).