劉春陽(yáng)， 鞠 瑩， 宋 德， 母一寧， 楊繼凱， 陳衛(wèi)軍

(長(zhǎng)春理工大學(xué) 理學(xué)院， 吉林 長(zhǎng)春 130022)

1 引 言

光折變效應(yīng)是光致折射率變化的簡(jiǎn)稱(chēng)，它描述的是在空間調(diào)制光強(qiáng)或非均勻光強(qiáng)的輻照下，電光材料的折射率隨光強(qiáng)的空間分布而變化的現(xiàn)象[1]。光折變材料具有可擦洗、非瞬時(shí)響應(yīng)和短波敏感等特性，被廣泛用于光誘導(dǎo)制備波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中。當(dāng)光束衍射效應(yīng)與光折變效應(yīng)引起的光束聚焦效應(yīng)平衡時(shí)可形成光折變空間光孤子[2]，它具有寫(xiě)入光功率低(mW甚至μW量級(jí))的特點(diǎn)，能在光折變材料中形成可以長(zhǎng)期存儲(chǔ)的自誘導(dǎo)波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，這已經(jīng)成為了近年來(lái)孤子研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)問(wèn)題之一[3-8]。

另一方面，光折變表面波是一種沿著光折變晶體(Photorefractive crystal,PRC)與其他介質(zhì)界面?zhèn)鬏數(shù)谋砻鏌o(wú)衍射光波[9]，是光束的自彎曲效應(yīng)和光束的全內(nèi)反射相平衡時(shí)的一種產(chǎn)物。它可以將光波能量限制在光折變晶體近表面的狹層空間(μm量級(jí))內(nèi)，使得界面處具有很高的光能量和功率密度，在諧波產(chǎn)生、材料界面特性檢測(cè)、光通信及光信息處理等方面具有很高的研究?jī)r(jià)值和應(yīng)用價(jià)值[10-11]。因此，關(guān)于光折變表面波的產(chǎn)生與傳輸穩(wěn)定性等問(wèn)題已經(jīng)引起了國(guó)內(nèi)外科研人員的廣泛關(guān)注[12-20]。目前，雖然關(guān)于體孤子誘導(dǎo)的波導(dǎo)研究非常廣泛，但對(duì)于光折變表面波誘導(dǎo)的表面波導(dǎo)及其導(dǎo)波模式(導(dǎo)模)的研究尚少。2011年，Usievich等研究了光折變晶體界面處由于非線(xiàn)性表面波和布拉格反射共同作用下的復(fù)合波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的形成[21]。2012年，F(xiàn)ujihana等成功地在光折變聚合物薄膜中觀察到了表面波并利用表面波在光折變聚合物中形成了自寫(xiě)入表面波導(dǎo)結(jié)構(gòu)[22]。2016年左右，南開(kāi)大學(xué)齊鵬飛等詳細(xì)地闡釋了光折變表面波誘導(dǎo)的表面切趾啁啾波導(dǎo)陣列的調(diào)控，討論了入射光波長(zhǎng)、背景光、入射角度及外加偏壓對(duì)波導(dǎo)光柵的影響[23-25]。

本文利用光折變表面波能量被限制在晶體表面狹層空間的特點(diǎn)，將建立擴(kuò)散非線(xiàn)性機(jī)制下光折變表面波誘導(dǎo)的薄層波導(dǎo)模型，推導(dǎo)導(dǎo)模傳輸?shù)姆蔷€(xiàn)性薛定諤演化方程。通過(guò)數(shù)值方法詳細(xì)分析薄層波導(dǎo)中導(dǎo)模的產(chǎn)生、特點(diǎn)及其能量變化，并討論導(dǎo)模演化傳輸時(shí)的穩(wěn)定性，為非線(xiàn)性表面光波導(dǎo)的制備和應(yīng)用奠定理論基礎(chǔ)。

2 理論模型

假設(shè)一束光波在光折變表面波誘導(dǎo)的薄層波導(dǎo)中沿z軸向前傳播，光折變晶體薄層被夾在線(xiàn)性介質(zhì)中間(0≤x≤L′)，類(lèi)似于三明治結(jié)構(gòu)，如圖1所示。設(shè)光束沿y軸的寬度遠(yuǎn)超過(guò)x軸，偏振方向平行于y軸，晶體的c軸沿x軸方向，不考慮光折變晶體薄層與線(xiàn)性介質(zhì)界面的寬度對(duì)導(dǎo)模傳輸?shù)挠绊?。在上述情況下，光波的橫向電場(chǎng)分量E(x,z)滿(mǎn)足亥姆霍茲方程：

2E+(k0n′)2E=0,

(1)

(2)

圖1 光折變表面波誘導(dǎo)的薄層波導(dǎo)結(jié)構(gòu)示意圖

(3)

3 數(shù)值結(jié)果和分析

為了求得方程(3)的穩(wěn)態(tài)解，取光波復(fù)振幅為A(η,ξ)=u(η)exp(-ibξ)，其中u(η)是光波的模，b是傳播常數(shù)(0

或η>L,

(4)

(5)

方程(4)描述的是光波在兩側(cè)線(xiàn)性介質(zhì)中的波動(dòng)方程，很容易求得解析解u(η)=mexp[(2b)1/2η](η<0)和u(η)=nexp[(-2b)1/2η](η>L)，其中m是描述非線(xiàn)性效應(yīng)強(qiáng)度的實(shí)常數(shù)參量，考慮光波在邊界處的連續(xù)性，參數(shù)n的值可以通過(guò)求解方程(5)得到邊界L處的值u(L)來(lái)確定，計(jì)算表達(dá)式為n=u(L)/exp[(-2b)1/2L]。為了求解方程(5)，可利用邊界條件u(0)=m和du/dη|η=0=m(2b)1/2對(duì)二階微分方程進(jìn)行數(shù)值積分。根據(jù)光折變表面波理論，光波在線(xiàn)性介質(zhì)與光折變晶體界面薄層中呈振蕩衰減形式，因此可自誘導(dǎo)形成切趾型的波導(dǎo)結(jié)構(gòu)[13,23]。方程(5)也可看成為一個(gè)本征值-本征函數(shù)問(wèn)題，b為本征值，構(gòu)成一個(gè)與波導(dǎo)參數(shù)p相關(guān)的連續(xù)的集合，u(η)表示光折變表面波誘導(dǎo)的薄層波導(dǎo)中的導(dǎo)波模式。

為了分析薄層波導(dǎo)中導(dǎo)模的形成，首先需要確定本征值b關(guān)于波導(dǎo)參數(shù)p的變化關(guān)系。利用u和du/dη在邊界點(diǎn)η=0和η=L處的連續(xù)性，當(dāng)給定參數(shù)μ值時(shí)，通過(guò)數(shù)值方法求得歸一化傳播常數(shù)(本征值)b/p與波導(dǎo)參數(shù)p的關(guān)系，如圖2所示，計(jì)算參數(shù)為μ=1，L=4，m=1。此時(shí)，光波在界面處的全內(nèi)反射不僅補(bǔ)償光束的自彎曲效應(yīng)，還平衡光束的非線(xiàn)性衍射效應(yīng)。顯然，對(duì)于給定的波導(dǎo)參數(shù)p，將存在與之對(duì)應(yīng)的傳播常數(shù)b是一個(gè)離散點(diǎn)的集合，每一個(gè)傳播常數(shù)的值都對(duì)應(yīng)一種導(dǎo)模，其中一階導(dǎo)模常被稱(chēng)為基模。隨著波導(dǎo)參數(shù)的增加，導(dǎo)模的階數(shù)和數(shù)量均逐漸增加。從物理作用角度來(lái)看，這種現(xiàn)象主要是由波導(dǎo)的寬度增加引起的，即較寬的波導(dǎo)可以形成較多的導(dǎo)波模式。

接下來(lái)討論薄層波導(dǎo)中導(dǎo)模的輪廓變化。當(dāng)波導(dǎo)參數(shù)p給定時(shí)，每個(gè)本征值b可產(chǎn)生相應(yīng)的導(dǎo)模，將該傳播常數(shù)b代入方程(4)、(5)進(jìn)行數(shù)值積分，可以得到波導(dǎo)參數(shù)p對(duì)應(yīng)的本征導(dǎo)模。圖3給出了波導(dǎo)參數(shù)p=10(對(duì)應(yīng)圖2中的藍(lán)色圈a～f)時(shí)不同傳播常數(shù)對(duì)應(yīng)的前六階導(dǎo)模的包絡(luò)圖。可以看出，受光束全內(nèi)反射和光束自彎曲效應(yīng)相互作用的影響，導(dǎo)模的峰值振幅被局域在薄層波導(dǎo)中η=0一側(cè)的界面處，即大部分光波能量聚集于該界面處(光折變晶體的-c軸)的波導(dǎo)層中。隨著導(dǎo)模階數(shù)的增加，光波振蕩的周期變短，光波的峰值振幅減小且導(dǎo)模在薄層波導(dǎo)中呈衰減振蕩(η從0→L)形式。

圖2 導(dǎo)模存在時(shí)歸一化本征值b/p與波導(dǎo)參數(shù)p的關(guān)系，其他參數(shù)μ=1，L=4，m=1。

圖3 波導(dǎo)參數(shù)p=10時(shí)前六階本征導(dǎo)模的包絡(luò)圖，對(duì)應(yīng)圖2中的藍(lán)色圈a～f，黑色實(shí)線(xiàn)表示的是波導(dǎo)折射率的輪廓。(a)1～3階導(dǎo)模，b=[9.6 8.9 7.7]；(b)4～6階導(dǎo)模，b=[5.9 3.9 1.3]。

圖4 波導(dǎo)參數(shù)p取不同值時(shí)導(dǎo)模的輪廓，對(duì)應(yīng)圖2中的紅色圈g～l。(a)p=6時(shí)的1～3階導(dǎo)模輪廓，b=[5.64 4.98 3.84]；(b)p=12時(shí)的4～6階導(dǎo)模輪廓，b=[10.65 8.55 5.7]。其他參數(shù)為：μ=1，L=4。

此外，數(shù)值結(jié)果還表明，波導(dǎo)參數(shù)p也可以影響導(dǎo)模的振幅。作為對(duì)比，分別取p=6和p=12時(shí)對(duì)應(yīng)的部分本征值b對(duì)方程(4)、(5)進(jìn)行求解，圖4(a)給出了p=6(存在前五階導(dǎo)模)時(shí)對(duì)應(yīng)的前三階導(dǎo)模的包絡(luò)，圖4(b)給出了p=12(存在前七階導(dǎo)模)時(shí)對(duì)應(yīng)的4～6階導(dǎo)模的包絡(luò)。可以看出，相同階數(shù)導(dǎo)模的振幅隨波導(dǎo)參數(shù)p單調(diào)遞增(對(duì)比圖3和圖4)，同時(shí)，導(dǎo)模的能量也隨著p的增加而增加。因此，可通過(guò)調(diào)整波導(dǎo)參數(shù)的大小來(lái)控制導(dǎo)模的能量和階數(shù)。導(dǎo)模的能量主要由3部分組成，分別位于η<0(能量w1)、0≤η≤L(能量w2)和η>L(能量w3)，總能量w為這3部分之和，其表達(dá)式為：

(6)

圖5給出了光波在線(xiàn)性介質(zhì)與光折變晶體界面?zhèn)鞑r(shí)前六階導(dǎo)模能量w隨傳播常數(shù)b的變化曲線(xiàn)(參數(shù)p=10，μ=1)。在該波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中，導(dǎo)模能量的主要部分位于0≤η≤L的波導(dǎo)區(qū)域內(nèi)。根據(jù)著名的Vakhitov-Kolokolov(VK)穩(wěn)定性判定準(zhǔn)則[13]可知，導(dǎo)?？梢苑€(wěn)定傳輸?shù)谋匾獥l件是w′(b)>0。從圖5可以看出，當(dāng)傳播常數(shù)為一閾值時(shí)，導(dǎo)模的能量出現(xiàn)一個(gè)最小值，當(dāng)b小于這一閾值時(shí)，導(dǎo)模的能量w隨傳播常數(shù)b單調(diào)遞減，當(dāng)b大于這一閾值時(shí)，導(dǎo)模的能量w隨傳播常數(shù)b單調(diào)遞增。當(dāng)b取一定值時(shí)，隨著階數(shù)的增加，導(dǎo)模的能量逐漸減小。

為了驗(yàn)證導(dǎo)模在w′(b)>0時(shí)的傳輸穩(wěn)定性，采用分布傅里葉法對(duì)圖3中的前四階導(dǎo)模在光折變薄層波導(dǎo)中的傳播進(jìn)行演化，結(jié)果如圖6所示。需要說(shuō)明的是，光波演化時(shí)在入射端都施加了10%的高斯隨機(jī)擾動(dòng)。可以看出，階數(shù)越高，波導(dǎo)的寬度越窄，可傳輸導(dǎo)模的能量越低，無(wú)論如何，導(dǎo)模在傳播過(guò)程中始終可以保持形不變傳輸。因此，當(dāng)光波在界面處的全內(nèi)反射效應(yīng)與光束的衍射和光折變晶體中擴(kuò)散非線(xiàn)性引起的自彎曲效應(yīng)完全平衡時(shí)，導(dǎo)模就可以在這種光折變表面波誘導(dǎo)的薄層波導(dǎo)中穩(wěn)定地向前傳播。

圖5 前六階導(dǎo)模能量隨傳播常數(shù)的變化曲線(xiàn)，參數(shù)μ=1。

圖6 傳播常數(shù)較大時(shí)前四階導(dǎo)模在高斯隨機(jī)擾動(dòng)10%情況下的穩(wěn)定傳輸圖，參數(shù)p=10，μ=1，L=4。

當(dāng)w′(b)<0，即b較小時(shí)，圖7給出了基模的包絡(luò)和擾動(dòng)傳輸圖(傳播了100個(gè)衍射長(zhǎng)度)，顯然，這種情況下的導(dǎo)模也可以穩(wěn)定傳輸，即對(duì)于所有的傳播常數(shù)而言，導(dǎo)模均可以穩(wěn)定傳播。值得注意的是，當(dāng)傳播常數(shù)較小時(shí)，導(dǎo)模在兩側(cè)的線(xiàn)性介質(zhì)中的能量分布相對(duì)較多。因此，在給定條件下，可以通過(guò)調(diào)整傳播常數(shù)的值控制導(dǎo)模的階數(shù)或傳播波形[20]。實(shí)際中光波的傳播常數(shù)可通過(guò)改變介質(zhì)的折射率和光波入射條件來(lái)調(diào)整，而波導(dǎo)參數(shù)主要取決于相鄰介質(zhì)的折射率之差。

圖7 傳播常數(shù)較小時(shí)基模在高斯隨機(jī)擾動(dòng)10%情況下的穩(wěn)定傳輸圖，參數(shù)p=0.5，b=0.1，其他參數(shù)與圖6相同。

4 結(jié) 論

采用數(shù)值方法研究了擴(kuò)散非線(xiàn)性機(jī)制下光折變表面波誘導(dǎo)的薄層波導(dǎo)中導(dǎo)模的產(chǎn)生與傳輸。結(jié)果表明，當(dāng)波導(dǎo)參數(shù)p給定時(shí)，可以存在許多不同的導(dǎo)波模式，當(dāng)波導(dǎo)參數(shù)增加時(shí)，導(dǎo)模的階數(shù)增加，導(dǎo)模的振幅也單調(diào)遞增，然而導(dǎo)模的包絡(luò)越來(lái)越不對(duì)稱(chēng)且在光折變薄層波導(dǎo)中呈衰減振蕩形式。當(dāng)傳播常數(shù)b給定時(shí)，導(dǎo)模的能量隨階數(shù)的增加而減小，導(dǎo)模能量主要集中在靠近線(xiàn)性介質(zhì)與光折變晶體的一側(cè)界面(-c軸)處。通過(guò)對(duì)輸入的導(dǎo)模添加隨機(jī)擾動(dòng)并進(jìn)行演化傳輸發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)模可以在光折變薄層波導(dǎo)中穩(wěn)定傳輸?？傊?，光折變表面波誘導(dǎo)的薄層波導(dǎo)中導(dǎo)模的振幅、能量、階數(shù)等特性可以通過(guò)調(diào)整波導(dǎo)參數(shù)和傳播常數(shù)而控制，且導(dǎo)?？梢苑€(wěn)定傳播。