趙玉偉， 王國勝， 韓 超， 額爾敦朝魯

(河北科技師范學院 凝聚態(tài)物理研究所， 河北 秦皇島 066004)

1 引 言

半導體量子點由于其重要的科學研究價值而正在成為量子信息、量子功能器件研究中的一個熱點領(lǐng)域[1-4]。然而，隨著技術(shù)的進步，在本領(lǐng)域仍有一些有價值的課題亟待探討。首先，關(guān)于量子點存在厚度的問題：不難看出，人們對量子點的理論研究工作中，大多都未能考慮量子點的厚度所帶來的影響，其結(jié)果無疑是比較粗糙的。其次，關(guān)于量子點束縛勢的描寫：在許多研究中，單參量拋物勢被用來描述量子點中電子的束縛勢[5-8]。然而，拋物勢既沒有有限的深度也沒有范圍可言，是一種過于簡化的模型，不能很好地反映真實的束縛勢。一些實驗結(jié)果建議真實的束縛勢應是非拋物形的阱狀勢[9]，如密度矩陣勢或非對稱三角勢[10]、高斯勢阱[11]等，其中高斯勢阱是一個很好的近似，它平滑并具有有限的勢壘和有限的寬度。Adamowski等[12]研究了在假想高斯勢阱束縛下的兩電子量子點系統(tǒng)，并討論了它的拋物近似。Xie[13]計算了高斯勢阱中兩電子量子點的能譜。谷娟等[9]利用數(shù)值矩陣對角化的方法計算了高斯勢束縛下施主中心量子點系統(tǒng)能譜并討論其特性。但這些工作均未考慮介質(zhì)的極化效應。再次，關(guān)于極化效應對電子態(tài)的影響：當計及量子點厚度時，由于強量子受限效應的存在，使得極化效應表現(xiàn)得更為明顯[14-15]，毫無疑問，量子點厚度引起的介質(zhì)的極化效應對量子點中電子態(tài)的影響不可忽視。

最近，Xiao[16]研究了RbCl反對稱高斯勢量子阱量子比特的電場效應，Khordad等[17]研究了反對稱高斯勢量子阱中束縛極化子基態(tài)和壽命的溫度依賴性。本文在計及量子點厚度和氫化雜質(zhì)束縛情形下，分別選取簡諧勢和高斯勢描寫盤型量子點中電子的橫向束縛勢和縱向束縛勢，采用Pekar類型變分法研究了電子在外電場作用下的量子躍遷問題。本文的結(jié)果將有助于探索調(diào)控量子點的輸運特性和光學性質(zhì)的途徑和方法。

2 模型與Pekar類型變分計算

考慮一個處于盤狀量子點中并與介質(zhì)的體縱光學聲子場相互作用的電子。建立直角坐標系，盤的中心軸線在Oz軸上，盤的底面處于垂直于Oz軸的x-y平面上，施加沿z軸方向的電場F。采用拋物勢

(1)

(2)

描寫電子沿z軸方向的束縛勢，其中V0表示高斯勢的勢壘高度且V0>0，L表示高斯勢的束縛范圍，亦稱量子點的縱向受限長度或量子點的有效厚度。這樣，電場中量子點內(nèi)電子-LO聲子相互作用體系的哈密頓量可以寫為[16-17]

(3)

上式中各量的物理意義與文獻[16]和[17]相同。

為利用變分法得到體系的能量和波函數(shù)，首先，將哈密頓量H右邊寫成兩部分

H=H0+H′，

(4)

式中

(5)

H′=-e*zF，

(6)

然后，再討論變分函數(shù)U-1H0U在|Φ〉態(tài)中的期待值問題，按照變分原理

(7)

這里

(8)

|Φ0〉=ψ0(ρ,z)|0ph〉，

(9)

|Φ1〉=ψ1(ρ,z)|0ph〉，

(10)

其中，λ0和λ1為變分參數(shù)，ψ0(ρ,z)和ψ1(ρ,z)分別表示電子的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)試探波函數(shù)，|0ph〉是聲子的真空態(tài)，由bk|0ph〉=0確定。

將式(5)、(8)～(10)代入式(7)中，可分別確定變分參數(shù)fk(λ0)和fk(λ1)以及λ0和λ1。利用這些變分參數(shù)，并經(jīng)過冗長的計算，分別得到極化子的基態(tài)能量E0和平均聲子數(shù)N0以及第一激發(fā)態(tài)能量E1和平均聲子數(shù)N1如下：

(11)

E1=lim〈Φ1|U-1H0U|Φ1〉=

(12)

(13)

(14)

(15)

3 結(jié)果與討論

為了揭示電子的能量E、平均聲子數(shù)N和躍遷幾率Q隨高斯勢的勢壘高度V0和束縛勢范圍L、電場強度F、電聲耦合強度α、振蕩周期t的變化規(guī)律，我們給出了數(shù)值結(jié)果，如圖1～6所示。圖中以rp為長度單位，以F0=?ωLO/(e*rp)為電場強度F的單位，以(ωLO)-1為振蕩周期t的單位，以?ωLO為能量的單位。

圖1 描寫了基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)極化子平均聲子數(shù)N0和N1在高斯勢不同勢壘高度V0下隨其范圍L的變化。圖1表明，在相同條件下，N0>N1，這一結(jié)果符合統(tǒng)計物理規(guī)律。由圖1可以看出，在L的不同區(qū)域內(nèi)N0和N1隨L變化的形式有所不同：當L較大時，N0和N1隨L的減小而單調(diào)增大。這是因為隨著L(量子點的有效厚度)的減小，電聲相互作用由于粒子縱向運動空間被壓縮而增強，導致電子周圍平均聲子數(shù)增加。其次，當L較小時，N0和N1隨L的減小而增大至一個最大值。這是一種量子現(xiàn)象，量子點的厚度越小，量子尺寸效應越加明顯[14-15]。再次，N0和N1隨L的減小而增大至一最大值后又迅速減小。這意味著當量子點的厚度很薄時，體縱光學(LO)聲子效應不再占主導作用，此時應該考慮表面光學(SO)聲子或界面光學(IO)聲子效應[20]，這超出了本文的研究范圍。由圖1還可以看出，在L給定時，N0和N1隨V0的增加而增大。這是因為約束勢增大，意味著介質(zhì)的極化增強，亦即電子周圍平均聲子數(shù)就越多。

圖1 平均聲子數(shù)N在高斯勢不同勢壘高度V0下隨其范圍L的變化

圖2 表示了極化子的基態(tài)能量E0和第一激發(fā)態(tài)能量E1在高斯勢不同勢壘高度V0下隨其范圍L的變化。由圖2可以看出，E0<0,E1<0且|E0|>|E1|，|E0|和|E1|隨L的增加而增大，增大的幅度隨L的增加而趨緩；同時，在給定L下，|E0|和|E1|隨V0的增加而增大。這是由于高斯勢函數(shù)V(z)=-V0exp[-z/(2L)]<0，而且，|V(z)|隨L(或V0)的增加而增大所致。

圖2 能量E在高斯勢不同勢壘高度V0下隨其范圍L的變化

圖3 表示了電子的躍遷幾率Q在不同耦合強度α下隨拋物束縛勢范圍R0(量子點的橫向半徑)的變化。由圖3可以看出，Q隨R0的縮小而減小。這是因為隨著束縛勢范圍的減小，電子在x-y平面內(nèi)的受限增大，致使電子狀態(tài)的穩(wěn)定性提高而改變它的難度增大。由圖3還可以看出，當R0較小(R0<2.0rp)時，Q隨R0的減小而減小的幅度較大，當R0較大(R0>2.0rp)時，Q隨R0的減小而減小的幅度較小。由圖3還可以看出，在給定R0下，Q隨α的增大而減小。這是因為α越大，意味著電聲相互作用越強，致使電子周圍聲子平均數(shù)越多，電子的自陷越深，改變電子狀態(tài)難度就越大。

圖4 描述了躍遷幾率Q在高斯束縛勢不同勢壘高度V0下隨其范圍L的變化。由圖4可以看出，在L的不同區(qū)域內(nèi)Q隨L變化的形式有所不同：當L較大(L>1.3rp)時，Q隨L的減小而單調(diào)減小，這一結(jié)果與圖3所示的躍遷幾率Q隨拋物勢范圍R0的縮小而減小的規(guī)律相似；但是，當L較小(L<1.3rp)時，Q隨L的減小而振蕩較小。這是一種量子現(xiàn)象，因為按照量子理論，束縛勢范圍L越小，量子尺寸效應越明顯。比較圖4與圖3，不難看出，圖4給出的Q隨L的變化規(guī)律，無論從量子力學理論看，還是從實驗結(jié)果[9]的檢驗看，都比圖3給出的躍遷幾率Q隨拋物勢范圍R0的變化規(guī)律更加合理和符合實際。不過，當束縛勢范圍(R0和L的取值)較大時，二者的變化規(guī)律趨于一致，這是因為當z/L?1時，高斯勢可以用拋物勢來近似?？傊?，對量子點中束縛勢下的電子態(tài)及其變化而言，不考慮量子點的厚度所帶來的影響，其結(jié)果無疑是比較粗糙的；與此同時，高斯束縛勢比拋物束縛勢更能精確地反映量子點中真實的束縛勢。由圖4還可以看出，對于給定的L，躍遷幾率Q隨勢壘高度V0的增加而減小。這是因為V(z)<0，因此，勢壘高度V0越大，電子的能量越低，電子的狀態(tài)就越穩(wěn)定。

圖3 躍遷幾率Q在不同電聲耦合強度α下隨拋物勢范圍R0的變化

圖4 躍遷幾率Q在高斯勢不同勢壘高度V0下隨其范圍L的變化

圖5 揭示了躍遷幾率Q在不同電聲耦合強度α下隨電場強度F的變化。由圖5可以看出，當F=0時，Q=0，這表明施加電場是電子態(tài)發(fā)生量子躍遷的必要條件。由圖5還可以看出，Q隨F的增大而振蕩變化，其規(guī)律為：從F=0開始，Q隨F的增大首先出現(xiàn)第一主極大和極小，然后依次出現(xiàn)Q的各級次極大和極小；第一主極大的峰值Qmax(對應的電場強度為Fm)和峰寬明顯大于各級次極大的峰值和峰寬；而各級次極大的峰值和峰寬隨F的增大而略微收窄。這些特性預示著電場對量子點的輸運性質(zhì)和光學性質(zhì)具有較強的調(diào)控作用。由圖5還可以看出，α對Q隨電場強度F的增大而振蕩變化的情形產(chǎn)生顯著影響：隨α的增大，Q-F曲線整體右移，第一主極大的峰值Qmax和峰寬隨α的增大而增加，各級次極大的峰值隨α的增大而減小，而其峰寬隨α的增大而略微增加。由此可見，在研究量子點中電子態(tài)的變化時不能忽略聲子(極化)效應的影響。

圖6 表示了躍遷幾率Q在不同電場強度F下隨振蕩周期t的變化。由圖6可以看出，Q隨t的變化而作周期性振蕩。這是因為電子躍遷幾率的時間演化規(guī)律由式(15)描寫所致，從物理上講，這是電子狀態(tài)隨時間的變化必須滿足其波動方程的必然結(jié)果。由圖6不難發(fā)現(xiàn)，Q隨t作振蕩變化的形式受到F的顯著影響：振蕩的幅度和頻率均隨電場強度F增大而增加(根據(jù)圖4，增加或減小與F的取值范圍有關(guān))。F對Q-t曲線的上述影響的機理分析與圖5的表述相同。

圖5 躍遷幾率Q在不同電聲耦合強度α下隨電場強度F的變化

圖6 躍遷幾率Q在不同電場強度F下隨振蕩周期t的變化

4 結(jié) 論

本文在計及量子點厚度下，分別選取拋物勢和高斯勢描寫盤型量子點中電子的橫向束縛勢和縱向束縛勢，采用Pekar類型變分法研究了電子在外電場作用下的量子躍遷。數(shù)值結(jié)果表明:(1)高斯束縛勢比拋物束縛勢更能精準反映量子點中電子真實的束縛勢；(2)量子點的厚度對電子躍遷幾率所帶來的影響不僅重要，而且有趣并具有實際意義；(3)電子的躍遷幾率Q對電聲耦合強度α、電場強度F、非對稱高斯勢的勢壘高度V0和范圍L的變化都很敏感。本文的結(jié)果有助于進一步探討利用這些物理量調(diào)控量子點的輸運特性和光學性質(zhì)的用途和方法。