王 寧，田文昊，李代林，朱化鳳，王 濤

（中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院 山東 青島 266580）

1 引言

作為一種能夠引導(dǎo)光束傳播并且能夠?qū)馐a(chǎn)生約束作用的光學(xué)介質(zhì)，波導(dǎo)材料一直被廣泛應(yīng)用[1-4]。如平板介質(zhì)波導(dǎo)材料，目前在波導(dǎo)激光器[5]、太赫茲波導(dǎo)器件[6]、波導(dǎo)傳感器[7]、光學(xué)掃描儀[8]、波導(dǎo)光柵[9]等方面仍有相關(guān)研究和應(yīng)用的報(bào)道。波導(dǎo)的特征方程（也稱(chēng)色散方程或波導(dǎo)條件）是研究其光束傳輸行為和規(guī)律的基本理論公式。

在目前已有的報(bào)道中，對(duì)于波導(dǎo)特征方程的推導(dǎo)，主要有幾何光學(xué)和電磁場(chǎng)理論兩種方法。電磁場(chǎng)理論因其求解準(zhǔn)確，被廣泛應(yīng)用于各種波導(dǎo)材料光場(chǎng)求解及特性分析中。然而電磁場(chǎng)方法推導(dǎo)過(guò)程較為復(fù)雜，且在分析和推導(dǎo)相應(yīng)規(guī)律時(shí)較為抽象，不易與物理模型進(jìn)行直觀的對(duì)應(yīng)。波導(dǎo)介質(zhì)特征方程的推導(dǎo)以及光線特性分析可以利用幾何光學(xué)的分析方法，使求解過(guò)程變得簡(jiǎn)單清晰，且能與物理模型直接對(duì)應(yīng)，易于理解。因此，在很多已有的文獻(xiàn)資料中使用了幾何光學(xué)方法[10-13]。

實(shí)際上，波導(dǎo)條件證明過(guò)程是在很多教科書(shū)出現(xiàn)的。然而，已有的教科書(shū)特別是國(guó)內(nèi)教科書(shū)，往往利用了某些特殊條件下光線之間的關(guān)系或者不加推導(dǎo)直接引出。這些處理雖然簡(jiǎn)單明了，卻在推導(dǎo)的一般性方面有所缺失，不能夠給學(xué)習(xí)者一個(gè)更為普適和全面的理解。如文獻(xiàn)[10]中采用了單條光線自身相長(zhǎng)干涉的推導(dǎo)方法，此種情況只能對(duì)光線在纖芯和包層交界面入射角度較小時(shí)適用。文獻(xiàn)[10]也說(shuō)明在較大角度下也是能夠得到波導(dǎo)條件的，但未給出詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程。文獻(xiàn)[11-13]給出的方法是在兩波陣面間兩條特殊位置關(guān)系的光線之間的相位周期關(guān)系，即利用兩條光線在上下波導(dǎo)界面的反射點(diǎn)連線恰好與波陣面重合的特殊情況。文獻(xiàn)[14-16]中由自洽條件直接引出波導(dǎo)條件，并沒(méi)有給出推導(dǎo)過(guò)程。本文分析了已有方法在推導(dǎo)過(guò)程中存在的問(wèn)題，并在前人推導(dǎo)方法的基礎(chǔ)上，給出了更為一般情況下的平板介質(zhì)波導(dǎo)特征方程的推導(dǎo)方法，同時(shí)巧妙引入過(guò)渡角參量簡(jiǎn)化了推導(dǎo)過(guò)程，為利用幾何光學(xué)方法進(jìn)行波導(dǎo)特征方程的推導(dǎo)提供了一種修正，有利于光學(xué)波導(dǎo)特征方程更為直觀而透徹的理解。同時(shí)對(duì)薄膜層中光線傳播可能出現(xiàn)的其他情況，以及是否滿足波導(dǎo)特征方程進(jìn)行了討論，對(duì)加深波導(dǎo)特征方程的理解提供了有益的幫助。同時(shí)也為學(xué)習(xí)者和教學(xué)者在涉及該理論規(guī)律的討論時(shí)，提供了一種更為全面和透徹的解釋。

2 推導(dǎo)方法修正

為了使推導(dǎo)過(guò)程更具一般性，本文試圖對(duì)已有推導(dǎo)方法進(jìn)行修正。建立模型時(shí)，采用了相對(duì)位置更為普通的平行光束進(jìn)行推導(dǎo)，同時(shí)引入過(guò)渡量進(jìn)行推導(dǎo)，使過(guò)程變得簡(jiǎn)單巧妙。

波導(dǎo)光束傳輸示意圖如圖1所示，可以看出，與國(guó)內(nèi)教材不同，圖1中上下兩個(gè)反射點(diǎn)的連線B’C已不再與波陣面重合，即A’B’已不再垂直于B’C。此時(shí)的波陣面是一個(gè)比較一般情況下的波陣面B’F，而推導(dǎo)利用的兩個(gè)波陣面為BE和B’F。為了計(jì)算的簡(jiǎn)便，我們引入了一個(gè)中間過(guò)渡量，角度γ，即∠B’CH。

實(shí)線ABCD和A’B’C’代表平面波的兩條射線，虛線BE和B’F表示向上斜射的平面波的兩個(gè)波陣面。因此，兩條光線在兩個(gè)波陣面之間傳播分別經(jīng)歷的相位變化只差應(yīng)為2π的整數(shù)倍。光線由B到F所經(jīng)歷的相位變化為k0n1(BC+CF)，光線由E到B’所經(jīng)歷的相位變化為k0n1EB’，二者的相位變化之差為：

由幾何關(guān)系可知：

由式（4）可以看出，計(jì)算過(guò)程中包含角度γ的項(xiàng)被消掉，直接得到最終結(jié)果，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程。

因此，二者的相位變化之差為：

考慮到上下交界面全反射時(shí)的相位變化，根據(jù)如前所述的位相關(guān)系，可以得到位相變化之差滿足：

本推導(dǎo)在傳輸光線相對(duì)位置更為一般的情況下進(jìn)行，因而在導(dǎo)出波導(dǎo)條件時(shí)更為自然，對(duì)目前教科書(shū)中已有的推導(dǎo)過(guò)程提供了一種理論修正。

3 其他情況討論

圖1給出了波導(dǎo)層中較為一般情況下的兩條平行光線傳播的情況，代表著波陣面的B’F此時(shí)沒(méi)有與B’C重合而是在它的右側(cè)。如果以波陣面與B’C的位置關(guān)系來(lái)看，文獻(xiàn)[11-13]中為夾角為0°的情況，圖1為夾角大于0°的情況。是否存在第三種情況，即圖2所示的，夾角小于0°的情況，即波陣面B’F此時(shí)在B’C的左側(cè)，此時(shí)A’B’仍不垂直于B’C。

按照之前類(lèi)似求解思路，光線由B到F所經(jīng)歷的相位變化為k0n1BF，光線由E到B’所經(jīng)歷的相位變化為k0n1EB’，二者的相位變化之差為：

利用幾何關(guān)系可知：

將以上關(guān)系式代入公式（7）可得：

由以上結(jié)果可知，若式（9）滿足波導(dǎo)特征方程，即Δψ=2k0n1dcosθ，則化簡(jiǎn)后有：cos(θ+γ)=0。對(duì)于波導(dǎo)的光線傳輸情況，兩個(gè)角度均為銳角，因此可知θ和γ互余，這意味著A’B’與B’C垂直，這顯然與圖2的情況矛盾。也就是說(shuō)，該種情況下的傳播光線不可能滿足波導(dǎo)特征方程。這與文獻(xiàn)中并不是所有滿足全反射條件的光線都能夠產(chǎn)生導(dǎo)波的結(jié)論是一致的。另外，圖2這種情況只考慮了光線在薄膜層上界面的全反射，沒(méi)有考慮光線在下界面的全反射，無(wú)法全面反映薄膜層中光線的傳輸行為，不利于波導(dǎo)特征方程的推導(dǎo)。

4 結(jié)語(yǔ)

本文圍繞平板介質(zhì)波導(dǎo)特征方程的推導(dǎo)進(jìn)行分析，指出了已有幾何光學(xué)推導(dǎo)方法的問(wèn)題和適應(yīng)條件。針對(duì)已有推導(dǎo)缺乏一般性的情況，給出了更為一般情況下的平板介質(zhì)波導(dǎo)的特征方程的推導(dǎo)方法，通過(guò)巧妙引入中間過(guò)渡量角度γ，使推導(dǎo)過(guò)程變得非常簡(jiǎn)單。在推導(dǎo)特征方程的分析中，以波陣面與傳播光線反射點(diǎn)連線的位置關(guān)系出發(fā)，對(duì)可能出現(xiàn)的波陣面與反射點(diǎn)連線間夾角大于0°、等于0°、小于0°等各種光束傳輸?shù)那闆r進(jìn)行了討論。等于0°的情況利用了平行光線中兩條位置較為特殊的情況，雖然推導(dǎo)出了波導(dǎo)特征方程，但一般性不足。

通過(guò)利用相對(duì)位置更為一般的波導(dǎo)傳輸光學(xué)進(jìn)行推導(dǎo)，得到了如下結(jié)論：（1）利用相對(duì)位置更為一般的兩條傳輸光線，即波陣面與反射點(diǎn)連線間夾角大于0°的情況，通過(guò)推導(dǎo)得到了特征方程，同時(shí)引入過(guò)渡角使推導(dǎo)更為簡(jiǎn)化，對(duì)于波導(dǎo)條件的幾何光學(xué)推導(dǎo)方法提供了一種理論修正。更有利于學(xué)習(xí)者從更為一般的情況下理解波導(dǎo)條件的成立。（2）而對(duì)于可能出現(xiàn)的其他光線傳輸情況，即波陣面與反射點(diǎn)連線間夾角小于0°的情況，通過(guò)計(jì)算表明此時(shí)不能滿足波導(dǎo)條件，即無(wú)法形成導(dǎo)波傳輸。

分析結(jié)果為利用幾何光學(xué)方法進(jìn)行平板介質(zhì)波導(dǎo)特征方程的推導(dǎo)提供了有益的修正和更為透徹的理解。