廣東省廣州市聚德中學(510000) 江韻怡

關(guān)鍵字 類比;探究;相似;數(shù)學思想

古語云:授人以魚,只供一飯.授人以漁,則終身受用無窮.教師教授知識,更重要是要教授學生探究知識的思想方法,新《數(shù)學課程標準》指出“數(shù)學教學活動中教師的主要職責是激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性,向?qū)W生提供充分從事數(shù)學活動的機會,幫助他們在自主探求和合作交流中真正理解掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法”,因此,如何在日常教學中拓展和培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力,成為數(shù)學教學活動的一個重要環(huán)節(jié)和重要的課題.

“類比”作為一種重要的思維方法在數(shù)學教學中有著特殊的作用.類比是根據(jù)兩種或兩類對象在某些方面的相似,得出它們在其他方面也有可能相似的結(jié)論.它是一種創(chuàng)造性的數(shù)學思想方法.在初中數(shù)學教學過程中,應特別關(guān)注對學生思想方法的灌輸和培養(yǎng),在這里簡單談?wù)劤踔袛?shù)學教學過程中如何滲透和應用類比思想.

一、新課教學中的類比

維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”,認為學生的發(fā)展有兩種水平:一種是學生的現(xiàn)有水平,指獨立活動時所能達到的解決問題的水平;另一種是學生可能的發(fā)展水平,也就是通過教學所獲得的潛力.兩者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū).教學應著眼于學生的最近發(fā)展區(qū),為學生提供帶有難度的內(nèi)容,調(diào)動學生的積極性,發(fā)揮其潛能,超越其最近發(fā)展區(qū)而達到下一發(fā)展階段的水平,然后在此基礎(chǔ)上進行下一個發(fā)展區(qū)的發(fā)展,而在新課中進行類比教學,就是聯(lián)系新舊知識,降低學習新知識的難度.

1.概念類比

“一元一次方程和一元一次不等式”

_名稱_____一元一次方程_______________一元一次不等式____________定義含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)_____________________________________次數(shù)是一的整式方程含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)數(shù)次數(shù)是一的不等式________性質(zhì)(1)等式兩邊同時加一個數(shù)或減去同一個數(shù)或同一個整式,等式仍然成立.(2)等式兩邊同時擴大或縮小相同的倍數(shù)(0除外),等式仍然成立.(3)等式兩邊同時乘方(或開方),等式仍然成立(1)不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)(或式子)(0除外),不等號的方向不變.(2)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變.(3)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù),不等號的_______________________________________________________________________________________________方向改變.

不難發(fā)現(xiàn)一元一次方程與一元一次不等式無論在定義與性質(zhì)還是在解法方面都有非常類似的地方,在教學時適當進行類比可以降低教學難度,學生輕松掌握知識點.另外也可以用圖示的方法進行概念之間的類比,例如在教授一般的平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念時可以進行如下圖示類比:

概念知識枯燥難懂,在新課的教學中運用類比推理探究的思想方法,讓學生在學習新知識的同時能溫故舊知識,降低了學習的難度,使得學生克服學習數(shù)學的恐懼感,提高學生學習數(shù)學的信心,

2.定理類比

數(shù)學定理短小精悍,其中的內(nèi)容必須細細斟酌才可以領(lǐng)會其中的精粹,同時又因為數(shù)學語言的簡練,使得學生難以體驗和理解定理,甚至會出現(xiàn)定理之間的混淆,例如我們在教授平行公理和垂直公理時,學生會把兩個定理之間的條件張冠李戴.

平行公理:過直線外一點,有且只有一條直線與已知直線平行

垂直公理:在同一平面內(nèi),過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

又如全等三角形與相識三角形的判定定理類比:

_______________________________________________________全等三角形 相識三角形______判定定理_1____三邊對應相等(SSS)_______三邊對應成比例___判定定理2兩邊對應相等,對應________________________________________________夾角相等(SAS)兩邊對應成比例,對應夾角相等______判定定理3兩個角對應相等,一條_____________邊_________________________________________對應相等(ASA.AAS)兩個角對應相等

二、類比解題思路

所謂類比解題思路,就是運用類比方法,通過比較兩個對象或問題的相似性,得出新的數(shù)學知識的命題或方法的思路.從而輕松解決問題.

在線段中點與角平分線的教學中,可以發(fā)現(xiàn)它們之間有非常類似的特點,有一些題目驚人地相似,運用類比思想,可以讓學生輕松解決一些變式題型.

例如兩道題目:

題目1(線段中點)如圖1,點C在線段AB上,點M、N分別是AC、BC的中點.

圖1

(1)若AC=8cm,CB=6cm,求線段MN的長;

(2)若C為線段AB上任一點,滿足AC+CB=a,其它條件不變,你能猜想MN的長度嗎?寫出你的結(jié)論并說明理由;

(3)若點C在線段AB的延長線上,且滿足AC-BC=b,M、N分別為AC、BC的中點,你能猜想MN的長度嗎?請畫出圖形并寫出你的結(jié)論(不必說明理由).

題目2(角平分線)如圖2,OD是∠AOC的平分線,OE是∠BOC的平分線.

圖2

(1)如果 ∠AOC=48°,∠BOC=42°,求∠DOE的度數(shù);

(2)如圖∠AOB的大小不變,與(1)相同,而射線OC在∠AOB的內(nèi)部繞點O旋轉(zhuǎn),∠DOE的大小是否發(fā)生變化?若不變,請求出其度數(shù);

(3)如果∠AOB的大小仍不變,而射線OC在∠AOB的外部繞點O旋轉(zhuǎn)(∠AOC不大于90°),OD是∠AOC的平分線,OE是∠BOC的平分線,請畫出相應的圖形,此時∠DOE的大小是否發(fā)生變化?并說明理由.

顯而易見,以上兩個題目無論是出題的方向,題目的結(jié)構(gòu),解題的思路都是非常類似的,第一問運用具體數(shù)據(jù)讓學生感知到兩中點間的距離等于全長的一半,第二問運用抽象字母推導出第一問的結(jié)論,第三問將題目進行變式拓展,學生自己動筆畫圖探究新的結(jié)論.學生運用線段中點,線段和差的知識,通過類比就可以輕松解決角平分線的相關(guān)題型.

三、變式類比聯(lián)想

所謂類比聯(lián)想,就是在聯(lián)想的基礎(chǔ)上對兩個或兩個以上的事物進行比較,找出它們之間的共同點,進而受到新的啟示,產(chǎn)生新的思路,從而產(chǎn)生新的解決問題的方法.

題目3(2010·荊門)如圖3,MN是⊙O的直徑,MN=2,點A在⊙O上,∠AMN=30°,B為弧AN的中點,P是直徑MN上一動點,則PA+PB的最小值為___.

圖3

本題從題目上看純粹是一道運用圓的知識解決線段的和差問題,但是在具體操作中卻很難獲得突破口,很難具體求解出PA和PB的值,但是如果我們可以從PA+PB的最小值這個線段和的最小值問題上類比聯(lián)想到我們之前學過的軸對稱中最小距離這個知識的,找到點A的對稱點,以上題目的解題思路我們就可以迎刃而解了.

首先作A關(guān)于MN的對稱點Q,連接MQ,然后根據(jù)圓周角定理、圓的對稱性質(zhì)和勾股定理解答.

圖4

解作A關(guān)于MN的對稱點Q,連接MQ,BQ,BQ交MN于P,此時AP+PB=QP+PB=QB,根據(jù)兩點之間線段最短,PA+PB的最小值為QB的長度,連接AO,OB,OQ,因為B為弧AD中點,所以 ∠BON=∠AMN=30°,所以 ∠QON=2∠QMN=2×30°=60°,所以因為直徑所以O(shè)B=1,所以則PA+PB的最小值為

四、類比推理

所謂類比推理,是通過對兩個研究對象的比較,根據(jù)它們某些方面的相同或相類似之處,推出它們在其它方面也可能相同或相類似的一種推理方法.相類比的兩個對象的相同性愈多,則結(jié)論的可靠程度就愈大;相類比的兩個對象的共有屬性與推出屬性之間的聯(lián)系愈緊密,則結(jié)論的可靠程度就愈高.

類比推理的一般步驟:先找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征,然后用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征,從而得出一個結(jié)論.

圖5

題目4觀察上列多面體,并把上表補充完整.觀察上表中的結(jié)果,你能發(fā)現(xiàn)a、b、c之間有什么關(guān)系嗎?請寫出關(guān)系式.

三棱柱的頂點數(shù)為:3×2=6,棱數(shù)為:3×3=9,面數(shù)為:2+3=5;四棱柱的頂點數(shù)為:4×2=8,棱數(shù)為:4×3=12,面數(shù)為:2+4=6;五棱柱的頂點數(shù)為:5×2=10,棱數(shù)為:5×3=15,面數(shù)為:2+5=7;六棱柱的頂點數(shù)為:6×2=12,棱數(shù)為:6×3=18,面數(shù)為:2+6=8.所以a+c-b=2.

康德說過:“每當理智缺乏可靠論證的思路時,類比這種方法往往能指引我們前進.”通過以上幾個方面的敘述,我們不難看出類比思想在初中數(shù)學中教授新知識定義和定理,概念的理解和記憶,探究解題思路,拓展新思考點,推理探究規(guī)律,創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)有著非常重要的作用.