廣東省佛山市南海里水初級中學(xué)(510000) 羅惠庭

數(shù)形結(jié)合就是分別借助“形”的直觀性、整體性及相關(guān)幾何性質(zhì)優(yōu)勢,“數(shù)”的精確性、良好的運(yùn)算屬性及其代數(shù)背景,在數(shù)與形有明確對應(yīng)關(guān)系的基礎(chǔ)上將問題有效轉(zhuǎn)換,以解決問題的思想方法.著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說過:“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事休”.數(shù)形結(jié)合能把代數(shù)方法與幾何方法的精華都集中起來,既發(fā)揮代數(shù)方法的一般性和解題過程的程序化、機(jī)械化優(yōu)勢,又發(fā)揮幾何方法的形象直觀特征,形成一柄雙刃的解題利劍.

具體解題中的數(shù)形結(jié)合,是指對問題既進(jìn)行幾何直觀的呈現(xiàn),又進(jìn)行代數(shù)抽象的揭示,兩方面相輔相成,而不是簡單的代數(shù)問題用幾何方法或幾何問題用代數(shù)方法,這兩方面都只是單流向的信息溝通,惟雙流向的信息溝通才是完整的數(shù)形結(jié)合.以前我們在解題教學(xué)過程中,不是忽視提煉數(shù)學(xué)思想方法就是太急進(jìn),因此教學(xué)效果不理想.為了改變這種狀況,我們課題組申報了廣東省教育科學(xué)十二五規(guī)劃課題《如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的實踐研究》的子課題《在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想方法的案例研究》,在我校7-9年級進(jìn)行了研究,并取得了較好的教學(xué)效果.下面就北師大版教材中的一些典例,結(jié)合課題組的部分成果及本人的一些教學(xué)體會談?wù)剶?shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的滲透策略.

一、以形助數(shù)――借助圖形的直觀理解數(shù)量關(guān)系

有些數(shù)量關(guān)系比較抽象,我們難以把握,而“形”不但具有形象直觀的優(yōu)勢,而且具有幾何結(jié)構(gòu)的整體性和平面直角坐標(biāo)的有序性等優(yōu)勢.這些優(yōu)勢能表達(dá)較多的具體思維,起著解決問題的定性作用,因此我們可以把“數(shù)”對應(yīng)的“形”找出來,把數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為圖形問題,并通過對圖形的分析和推理最終直觀解決數(shù)量問題.

(一)利用數(shù)軸上的點(diǎn)與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系滲透數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)軸的引入是有理數(shù)體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的典范.當(dāng)學(xué)生遇到負(fù)數(shù)時,對負(fù)數(shù)的理解和大小比較造成一定的困難,而“形”具有形象直觀的優(yōu)點(diǎn),所以此時利用數(shù)軸滲透數(shù)形結(jié)合思想就能很好地解決這個問題. 由于對每一個有理數(shù),數(shù)軸上都有唯一確定的點(diǎn)與它對應(yīng),因此,兩個有理數(shù)大小的比較,可以通過兩個有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行比較(實數(shù)大小的比較也是如此). 而相反數(shù)、絕對值概念也是通過相應(yīng)的數(shù)軸上的點(diǎn)與原點(diǎn)的位置關(guān)系來刻畫的.

例1(七年級上冊P.74復(fù)習(xí)題12)寫出符合下列條件的數(shù):(1)最小的正整數(shù);(2)最大的負(fù)整數(shù);(3)大于-3且小于2的所有整數(shù);(4)絕對值最小的有理數(shù);(5)在數(shù)軸上,與表示-1的點(diǎn)的距離為2的數(shù).

教學(xué)分析本例如果從“數(shù)”去解題,學(xué)生解決起來會覺得抽象,特別是(3)(5)小題,符合要求的數(shù)較多,這時可以引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)軸,以形助數(shù)直觀地解決問題.同時也要注意在小結(jié)解題方法時抓住時機(jī),及時地滲透“數(shù)形結(jié)合思想”.

(二)利用函數(shù)圖象滲透數(shù)形結(jié)合思想解決方程或不等式問題

由于平面直角坐標(biāo)系具有有序性,所以函數(shù)與圖象的數(shù)形結(jié)合成為必然.函數(shù)與方程、不等式都是刻畫現(xiàn)實世界中“數(shù)”與“形”之間變化規(guī)律的重要模型,利用函數(shù)圖象理解函數(shù)的變化趨勢是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的最好方法.如:可利用一次函數(shù)圖象把一元一次方程的解和一元一次不等式的解集在平面直角坐標(biāo)系中直觀地表示出來.學(xué)生能形象地看到,不等式有無限多個解,而方程只有一個解.而在平面直角坐標(biāo)系中能表示數(shù)集,則比在數(shù)軸上表示數(shù)又前進(jìn)了一步.

例2(八年級下冊P.50引例)作出函數(shù)y=2x-5的圖象,觀察圖象回答下列問題:(1)當(dāng)x取何值時,2x-5=0?(2)當(dāng)x取哪些值時,2x-5＞0?(3)當(dāng)x取哪些值時,2x-5＜0?(4)當(dāng)x取哪些值時,2x-5＞3?

圖1-1

教學(xué)分析從圖象分析可以得到:直線y=2x-5與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程2x-5=0的解;直線y=2x-5在x軸上方圖象(即y＞0)或下方圖象(即y＜0)及直線y=3上方圖象(即y＞3)的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合就是自變量x的取值范圍.解題時教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把“數(shù)”轉(zhuǎn)化成“形”,以形助數(shù),直觀解決問題,讓學(xué)生從整體上感受利用一次函數(shù)圖象可以幫助解決一元一次方程、一元一次不等式問題.讓學(xué)生嘗試從不同角度思考解決問題的方法,在對比與運(yùn)用中逐步感受數(shù)形結(jié)合思想方法.

(三)構(gòu)造幾何模型滲透數(shù)形結(jié)合思想解決求值問題

當(dāng)我們遇到比較復(fù)雜的代數(shù)求值問題時,可以從數(shù)式所涉及的幾何意義出發(fā),構(gòu)造幾何模型,利用圖形的整體性,將抽象問題形象化,通過幾何圖形直觀地揭示已知條件和未知條件之間的數(shù)量關(guān)系,結(jié)合圖形的性質(zhì)進(jìn)行推理和論證,把“數(shù)”用“形”來轉(zhuǎn)化,使本來很難解的題目,變得解起來得心應(yīng)手了.

例3(七年級上冊P.62習(xí)題3)

原題如圖1-2,將一個邊長為1的正方形紙片分割成7個部分,部分①是邊長為1的正方形紙片面積的一半,部分②是部分①面積的一半,部分③是部分②面積的一半,依次類推.

圖1-2

(1)陰影部分的面積是多少?

二、以數(shù)助形――利用數(shù)量關(guān)系揭示幾何圖形的性質(zhì)

雖然圖形有形象、直觀的優(yōu)勢,但也有其粗略、繁瑣和不便于表達(dá)的劣勢.所以在定量方面還必須借助代數(shù)的計算,特別是對于較復(fù)雜 的“形”,不但要正確的把圖形數(shù)字化,而且還要留心觀察圖形的特點(diǎn),發(fā)掘題目中的隱含條件,充分利用圖形的性質(zhì)或幾何意義,把“形”正確表示成“數(shù)”的形式,以數(shù)助形,利用數(shù)量關(guān)系揭示幾何圖形的性質(zhì).

(一)利用數(shù)列規(guī)律滲透數(shù)形結(jié)合思想破解圖形規(guī)律

北師大版七年級數(shù)學(xué)上冊第三章“字母表示數(shù)”,較多內(nèi)容是探索幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系.教學(xué)中教師若注重數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透,會使學(xué)生很快領(lǐng)悟到幾何圖形的規(guī)律,從而找出其中的數(shù)量關(guān)系.當(dāng)圖形比較復(fù)雜時,我們可以借助數(shù)列的規(guī)律找到圖形的規(guī)律.

例4(七年級上冊P.98隨堂練習(xí))下面是用棋子擺成的“小屋子”,擺第10個這樣的“小屋子”需要多少枚棋子?擺第n個這樣的“小屋子”呢?你是如何得到的?

圖2-1

教學(xué)分析如果從“形”的角度探究此題的規(guī)律,學(xué)生不一定能想到:將“小屋子”分成“三角形”和“正方形”,難于得到規(guī)律(2n-1)+4n=6n-1.如果教師引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”的角度分析此題,很快發(fā)現(xiàn)擺后面一個“小屋子”總比它前一個多6枚棋子,利用等差數(shù)列的規(guī)律,容易概括出擺第個“小屋子”需要的棋子數(shù),從而得到圖形的規(guī)律5+6(n-1)=6n-1.

教學(xué)啟示通過這道題的分析,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系,借助等差數(shù)列關(guān)系認(rèn)識棋子擺放的規(guī)律,運(yùn)用“數(shù)”的規(guī)律,通過數(shù)值的計算,我們就可以尋找出處理“形”的方法,來達(dá)到“以數(shù)助形”的目的,從而破解了圖形擺放的規(guī)律.

(二)利用數(shù)量關(guān)系滲透數(shù)形結(jié)合思想精準(zhǔn)刻畫幾何圖形

圖形中往往蘊(yùn)含著數(shù)量關(guān)系,我們可以借助代數(shù)的運(yùn)算,將幾何圖形化難為易,表示成簡單的數(shù)量關(guān)系,即“以數(shù)助形”.它可以借助于數(shù)的精確性來闡明圖形的某些屬性和特征,使學(xué)生在“見形”過程中有目的去“思數(shù)”,利用“數(shù)”來解釋“形”.

例5(八年級上冊P.10隨堂練習(xí)2)如圖2-2,在正方形ABCD中,AB=4,AE=2,DF=1,圖中有幾個直角三角形,你是如何判斷的?與你的同伴交流.

圖2-2

教學(xué)分析勾股定理逆定理是驗證直角三角形的其中一種方法,而圖中線段BF,EF,BE蘊(yùn)含著數(shù)量關(guān)系,學(xué)生通過計算容易得到EF2+BE2=BF2,由此可以判斷△BEF是直角三角形,這其實也是以數(shù)助形的具體體現(xiàn).

三、數(shù)形互助――將數(shù)量關(guān)系和圖形性質(zhì)有機(jī)結(jié)合

數(shù)形互助是指在有些數(shù)學(xué)問題中不僅僅是簡單的以數(shù)助形或以形助數(shù),而是需要數(shù)形互相變換,不但要想到由“形”的直觀變?yōu)椤皵?shù)”的嚴(yán)密,還要由“數(shù)”的嚴(yán)密聯(lián)系到“形”的直觀.解決這類問題往往需要從已知和結(jié)論同時出發(fā),認(rèn)真分析找出內(nèi)在的數(shù)形互助關(guān)系.一般方法是看形思數(shù)、見數(shù)想形.實質(zhì)就是以數(shù)化形、以形變數(shù)的結(jié)合.在解題時注意引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)和形結(jié)合起來考慮,把問題化難為易,獲得簡便易行的成功方案.

(一)利用函數(shù)圖象與解析式中常數(shù)的對應(yīng)關(guān)系滲透數(shù)形結(jié)合思想

在解決一些數(shù)學(xué)難題中,數(shù)形互助是我們經(jīng)常使用的辦法.將“數(shù)”和“形”適時轉(zhuǎn)換,就能把難題化抽象為直觀并能揭示隱含的數(shù)量關(guān)系.例如在利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的解題中,函數(shù)圖象與解析式中的常數(shù)往往形成了對應(yīng)關(guān)系,如果教師能引導(dǎo)學(xué)生將圖象與常數(shù)相互轉(zhuǎn)化,通過數(shù)形結(jié)合的分析,讓抽象的數(shù)量關(guān)系和解題思路形象地浮出水面,那么他們就會發(fā)現(xiàn)常數(shù)的數(shù)量關(guān)系,從而勢如破竹地解決難題.

例6已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖3-1所示,下列結(jié)論:①a+b+c＜0,②a-b+c＞0,③abc＞0,④b=2a中正確的個數(shù)是( )

圖3-1

A.4 B.3 C.2 D.1

教學(xué)分析圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語言,能有效地表示一些代數(shù)中的數(shù)量關(guān)系.通過仔細(xì)觀察函數(shù)的圖象,常?？梢缘玫揭恍┐鷶?shù)的式子.引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考問題,把數(shù)與形適時轉(zhuǎn)換,由“數(shù)量關(guān)系”分析“圖象特征”,由“圖象特征”導(dǎo)出“數(shù)量關(guān)系”,它們互助互用,讓學(xué)生逐步領(lǐng)略數(shù)形結(jié)合思想的奧妙所在.本例觀察圖象可得:當(dāng)自變量x=1時,函數(shù)值y＜0;當(dāng)自變量x=-1時,函數(shù)值y＞0,于是得到①②正確.再根據(jù)函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)位置得到常數(shù)a、b、c的數(shù)量關(guān)系,從而可以判斷③④正確.

四、滲透數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)反思

(一)實施數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)以來,學(xué)生的解題能力明顯提高

解題時利用數(shù)形結(jié)合,不僅形象易懂,而且可以幫助學(xué)生克服思維的定勢,學(xué)生還可以進(jìn)行大膽合理的想象,不拘泥于教師教過的解題模式,會選用靈活的方法解決問題,追求解題方法的簡捷獨(dú)特.以習(xí)題教學(xué)為例,通過分析解題的過程和步驟,從中提煉出數(shù)學(xué)實質(zhì)與邏輯結(jié)構(gòu),把內(nèi)在的思想方法浮出水面,就算不浮出水面的也能作為“隱性知識”滲透在學(xué)生的思想里.實踐證明,這種做法是十分有效的.過去我校大部分學(xué)生都只是做一題會一題,而現(xiàn)在有80%以上學(xué)生能正確解決變式題,呈現(xiàn)了做一題會一類題的良好發(fā)展勢頭.

(二)數(shù)形結(jié)合思想的滲透是一個循序漸進(jìn)的過程

實施數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)以來,讓我們深深地體會到:強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是提高學(xué)生學(xué)習(xí)成績的有效途徑,但數(shù)形結(jié)合思想的滲透與方法的提煉不是一蹴而就,它是一個細(xì)致而漫長的過程.教師在教學(xué)中要注意每個學(xué)段課標(biāo)的具體要求,根據(jù)學(xué)生的思維發(fā)展水平安排相應(yīng)的教學(xué),不可以拔苗助長,否則,適得其反.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,教師應(yīng)精心設(shè)計問題,有意識地梳理和歸納數(shù)學(xué)問題中的數(shù)形結(jié)合思想方法,滲透并顯化其中的數(shù)形結(jié)合思想,從而培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

利用數(shù)形結(jié)合思想能優(yōu)化解題思路,把問題化難為易、化繁為簡,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)和諧統(tǒng)一之美.代數(shù)中“楊輝三角”和幾何中“黃金分割”都是數(shù)形和諧統(tǒng)一的典型范例,它們讓數(shù)量的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙地結(jié)合在一起.和諧統(tǒng)一的數(shù)形結(jié)合可以使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化,讓學(xué)生掌握新知識時思路清晰,復(fù)雜的問題學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合往往會迎刃而解.而且數(shù)和形的巧妙結(jié)合能使學(xué)生從邏輯推理中領(lǐng)略到數(shù)形和諧統(tǒng)一美的神韻.