張永隆，劉華纓，曾祥遠(yuǎn)

（北京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，北京 100081）

0 引 言

雙星系統(tǒng)作為一種特殊的小天體系統(tǒng)，是當(dāng)前深空探測(cè)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)?？茖W(xué)家們發(fā)現(xiàn)人類所觀測(cè)到的直徑大于200 m的近地小行星中約有16%可能屬于雙星系統(tǒng)[1]。自1996年美國(guó)發(fā)射人類歷史上第一顆小行星探測(cè)器NEAR開始，美國(guó)、日本、歐洲等國(guó)家曾多次發(fā)射單個(gè)小天體探測(cè)器，我國(guó)也于2010年發(fā)射“嫦娥2號(hào)”探測(cè)器，飛越探測(cè)了小行星4179 Toutatis。除了美國(guó)在1989年發(fā)射的木星探測(cè)器“伽利略號(hào)”在飛行過程中偶遇243 Ida小行星，并第一次發(fā)現(xiàn)其為雙星系統(tǒng)外[2]，人類目前尚未對(duì)雙星系統(tǒng)進(jìn)行較為實(shí)質(zhì)性的探測(cè)。值得關(guān)注的是，美國(guó)航空航天局（National Aeronautics and Space Administration，NASA）和歐洲空間局（European Space Agency，ESA）正在合作開展人類歷史上第一次真正意義上的雙星探測(cè)任務(wù)，即“小行星碰撞和偏移評(píng)估任務(wù)”（Asteroid Impact & Deflection Assessment，AIDA），該任務(wù)計(jì)劃將于2019年發(fā)射2顆航天器到Didymos雙星系統(tǒng)，一顆負(fù)責(zé)撞擊次星，另一顆負(fù)責(zé)觀測(cè)[3]。

雙星系統(tǒng)懸停探測(cè)是指探測(cè)器在雙星系統(tǒng)附近與雙星系統(tǒng)保持空間相對(duì)位置不變進(jìn)行探測(cè)。由于小天體外形復(fù)雜，在對(duì)小天體進(jìn)行撞擊、著陸等任務(wù)之前，對(duì)其進(jìn)行懸停探測(cè)是必要的。在懸停過程中，對(duì)小天體開展進(jìn)一步精確觀測(cè)，以便進(jìn)行后續(xù)任務(wù)操作。從理論上講，在系統(tǒng)平動(dòng)點(diǎn)處，忽略其他攝動(dòng)力的情況下探測(cè)器所受引力與離心力相互抵消，合力為零，因此懸停探測(cè)常選取系統(tǒng)平動(dòng)點(diǎn)作為懸停位置。對(duì)于雙星系統(tǒng)而言，由于L1點(diǎn)位于雙星之間，在L1點(diǎn)懸?？梢酝瑫r(shí)觀測(cè)主星與次星，因此雙星系統(tǒng)L1點(diǎn)懸停探測(cè)具有更高的工程應(yīng)用價(jià)值。

解決雙星系統(tǒng)L1點(diǎn)懸?？刂茊栴}大致可分為兩個(gè)步驟：引力場(chǎng)建模及平動(dòng)點(diǎn)求解和控制器設(shè)計(jì)。雙星系統(tǒng)作為一類特殊的小天體系統(tǒng)，引力場(chǎng)建?？梢圆捎枚嗝骟w法、級(jí)數(shù)展開法、質(zhì)點(diǎn)群法以及簡(jiǎn)化模型法[4]等小天體常用引力場(chǎng)建模方法[5-7]。Furfaro針對(duì)橢球體單個(gè)小行星懸?？刂圃O(shè)計(jì)了高階滑模控制器[8]，Yang等針對(duì)多面體模型下的單個(gè)小行星懸?？刂圃O(shè)計(jì)了終端滑?？刂破鱗9]，Zeng等分析了太陽帆航天器本體系懸停探測(cè)細(xì)長(zhǎng)形小行星的可行性[10-11]，Bu等研究了連續(xù)小推力下雙星系統(tǒng)人工平動(dòng)點(diǎn)的位置和動(dòng)力學(xué)特性[12]，但目前尚未見到雙星系統(tǒng)懸停探測(cè)控制器設(shè)計(jì)的相關(guān)研究。

本文第1節(jié)利用球諧函數(shù)展開法對(duì)雙星系統(tǒng)進(jìn)行引力場(chǎng)建模，將雙星系統(tǒng)引力場(chǎng)展開至二階二次勢(shì)函數(shù)。針對(duì)雙星系統(tǒng)L1點(diǎn)懸?？刂圃O(shè)計(jì)了一種原理簡(jiǎn)單、便于工程實(shí)現(xiàn)的bang-bang控制器；第2節(jié)選取Hermes雙星系統(tǒng)作為仿真算例，驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的有效性；第3節(jié)總結(jié)全文。

1 雙星系統(tǒng)L1點(diǎn)懸?？刂茢?shù)學(xué)模型

圖1所示為雙星系統(tǒng)及其參考坐標(biāo)系：坐標(biāo)系以雙星系統(tǒng)質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸正方向由次星指向主星，z軸方向?yàn)橄到y(tǒng)角動(dòng)量方向，y軸與x軸和z軸構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。lL為探測(cè)器相對(duì)于質(zhì)心的位置矢量rL表示次星到主星之間的位置矢量。μ=M1/（M1+M2）為系統(tǒng)的質(zhì)量比。

圖1 雙星系統(tǒng)示意圖與參考坐標(biāo)系Fig. 1 Schematic map of the body-fixed frame of the binary asteroid system

本文研究中橢球引力場(chǎng)建模截取至二階二次勢(shì)函數(shù)，以次星橢球體M2中的最長(zhǎng)軸半徑a2和系統(tǒng)的平均角速度分別作為系統(tǒng)長(zhǎng)度與角速度歸一化單位。采用歸一化單位制后，r=rL/a2，l=lL/a2= [x，y，z]T。其用橢球體模型計(jì)算得出橢球體M1和橢球體M2的勢(shì)函數(shù)為

橢球體的三軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

球諧系數(shù)與橢球3個(gè)主軸慣量的關(guān)系為[13-16]

設(shè)L1點(diǎn)坐標(biāo)為為位置誤差矢量?？紤]到探測(cè)器發(fā)動(dòng)機(jī)現(xiàn)階段多為采用bang-bang脈沖推力式發(fā)動(dòng)機(jī)，本文采用常值切換控制策略為

其中：ac0為探測(cè)器發(fā)動(dòng)機(jī)所提供控制加速度。

2 仿真算例

本文以Hermes雙星系統(tǒng)為例進(jìn)行仿真計(jì)算，Hermes雙星系統(tǒng)主星可看作三軸半徑分別為315 m、308.7 m、302.4 m橢球體，次星可看作三軸半徑分別為280 m、271.6 m、268.8 m橢球體。雙星系統(tǒng)質(zhì)量比為μ= 0.595 2，兩星距離rL= 1 200 m[18]，由此求得Hermes系統(tǒng)5個(gè)平動(dòng)點(diǎn)，其位置（歸一化單位制下）如圖2所示。

圖2 Hermes雙星系統(tǒng)5個(gè)平動(dòng)點(diǎn)Fig. 2 The sketch of binary asteroid Hermes and its equilibrium points

圖3 位置誤差變化曲線Fig. 3 Normalized relative position errors in three axes

圖4 速度誤差曲線Fig. 4 Normalized relative velocitie errors in three axes

圖5 控制加速度曲線Fig. 5 Normalized control accelerations in three axes

在式（7）中，由于控制器參數(shù)k只要求為任意正數(shù)，因此在上述仿真過程中將k初步給定為1。然而k的取值不同卻會(huì)影響控制效果，所以可以通過對(duì)控制器參數(shù)k進(jìn)行優(yōu)化，從而進(jìn)一步改善控制器性能，縮短收斂時(shí)間。

設(shè)置時(shí)間從0～100 s，幅值恒為0的信號(hào)為參考目標(biāo)信號(hào)，令三軸位置誤差信號(hào)跟蹤該參考目標(biāo)信號(hào)，使用遺傳算法對(duì)控制器參數(shù)k進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后k=0.320 3。利用此優(yōu)化后的控制器參數(shù)再次進(jìn)行相同仿真，得到其三軸位置誤差、速度誤差與控制加速度變化曲線分別如圖6～9所示，其中各坐標(biāo)軸單位均與圖3～5相同。由圖6～7可知，參數(shù)k優(yōu)化后，不僅保持x軸與y軸位置和速度誤差在20 s內(nèi)收斂到零，z軸位置和速度誤差也在20 s左右收斂到零，且三軸位置曲線超調(diào)量均明顯小于圖3中曲線超調(diào)量，控制效果明顯得到改善。

在圖8控制律作用下，探測(cè)器轉(zhuǎn)移軌跡如圖9所示，可以看出，探測(cè)器成功從初始位置受控飛行到目標(biāo)位置L1點(diǎn)。

圖6 優(yōu)化后位置誤差變化曲線Fig. 6 Normalized relative position errors in three axes

圖7 優(yōu)化后速度誤差曲線Fig. 7 Normalized relative velocitie errors in three axes

圖8 控制加速度曲線Fig. 8 Normalized control accelerations in three axes

圖9 探測(cè)器至L1點(diǎn)轉(zhuǎn)移軌跡Fig. 9 The transfer trajectory for the spacecraft flying to L1

3 結(jié) 論

利用球諧函數(shù)法對(duì)雙星系統(tǒng)引力場(chǎng)進(jìn)行建模，針對(duì)航天器在雙星系統(tǒng)L1點(diǎn)懸停飛行設(shè)計(jì)了一種常值切換bang-bang控制器。以雙星系統(tǒng)Hermes為例開展了仿真研究，20 s左右三軸位置誤差均收斂至零，驗(yàn)證了控制器的有效性。更多關(guān)于雙星系統(tǒng)懸停探測(cè)的控制器設(shè)計(jì)與改進(jìn)留作后續(xù)研究。