□董良杰

(山西廣播電視大學(xué),山西 太原 030027)

在物理方面,多粒子體系經(jīng)常會(huì)被我們遇到。類似于經(jīng)典力學(xué),很難解決多粒子體系相互作用的問題。事實(shí)上,它不能被嚴(yán)格解決,而只能近似求解。量子力學(xué)中,兩種常用的近似方法是微擾法和變分法。本文將采用變分法對(duì)簡單的多粒子體系(鋰原子)的基態(tài)進(jìn)行研究。

一、物理學(xué)中的變分法

(一)變分法的思想

Ε0,Ε1,Ε2,…Εn…

(1)

這些本征值對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)是

Ψ0,Ψ1,Ψ2,…Ψn…

(2)

Ψn=ΕnΨn

(3)

假使Ψ為歸一的任一波函數(shù),將Ψ按Ψn展開,則有

Ψ=∑anΨn

(4)

在Ψ描繪的狀態(tài)中,系統(tǒng)能量的期望值是

Ψ*ΗΨdτ

(5)

將(4)式代入(5)式中,則得

(6)

應(yīng)用(3)式有

(7)

由于Ε0是基態(tài)能量,所以有Ε0<Εn(n=1,2,3,…),在上式中用Ε0代Εn,則

≥Ε0∑|an|2=Ε0

(8)

最后一步用了Ψ的歸一化條件:∑|an|2=1

(7)和(8)式給出:

(9)

在上述討論中,假定Ψ是歸一化的,如果Ψ不歸一化,那么(5)式應(yīng)寫為

(10)

(9)式則應(yīng)寫為

(11)

(二)變分法計(jì)算基態(tài)能量和波函數(shù)的步驟

(12)

(三)變分法的價(jià)值

二、用變分法計(jì)算鋰原子的基態(tài)能量及波函數(shù)

鋰原子是有兩個(gè)電子處于1s態(tài),一個(gè)價(jià)電子處于2s態(tài)的多電子體系。為此,鋰原子的哈密頓量可寫為:

(13)

(一)選取合適的嘗試波函數(shù)

將(13)式進(jìn)行重組,則此式可寫成:

(14)

因?yàn)殇囋拥?s電子幾乎不受2s電子的屏蔽,所以鋰原子的1s態(tài)下的波函數(shù)選擇Li+的兩個(gè)1s電子波函數(shù)u(r)代表。所以,鋰原子1s態(tài)下的嘗試波函數(shù)為[5]:

(15)

此外,鋰原子的兩個(gè)1s電子對(duì)2s電子有一定的屏蔽,2s電子受到的有效電荷相當(dāng)于類氫原子,故而,采用類氫原子的基態(tài)波函數(shù)作為2s態(tài)下的嘗試波函數(shù)[3]:

(16)

式中λ=1+σ,(σ≥0)σ刻畫屏蔽效應(yīng)的大小。若σ=0,則λ=1,表示無屏蔽。且2s電子遵循薛定諤方程:

υ(r3)=

(17)

當(dāng)忽略電子波函數(shù)的交換對(duì)稱性時(shí),鋰原子的嘗試波函數(shù)可寫為

ψ=u(r1)u(r2)υ(r3)

(18)

(二)變分法計(jì)算基態(tài)能量和波函數(shù)

u2(r1)u2(r2)υ2(r3)dτ1dτ2dτ3

u2(r1)u2(r2)υ2(r3)dτ1dτ2dτ3

(19)

υ2(r3)dτ3

(20)

由于J項(xiàng)中r13和r23較難處理,可近似將r13、r23看作r3和r3,則

u2(r1)u2(r2)υ2(r3)

u2(r1)u2(r2)υ2(r3)=0

(21)

可得:

(22)

λ=1

(23)

所以

.936(eV)

(24)

然后我們將λ代入試探波函數(shù),得到鋰原子的基態(tài)波函數(shù)為:

ψ=u(r1)u(r2)υ(r3)

(25)

三、結(jié)論

我們知道,在實(shí)驗(yàn)中測得的鋰原子基態(tài)能量為-203.345eV,而在此次論文中算出的數(shù)值與實(shí)驗(yàn)值的誤差為1.68%。造成如此大的誤差原因主要是:忽略了電子的交換對(duì)稱性;同時(shí),在計(jì)算J項(xiàng)時(shí),我們近似處理了1s的兩個(gè)電子與2s上的電子間的相互距離。例如,將第1個(gè)和第3個(gè)電子的間距看作是將第1個(gè)電子放在核上,由此第1個(gè)和第3個(gè)電子的間距就變成了核與第3個(gè)電子的間距,即r13=r3。同理,r23=r3。因此,鋰原子基態(tài)能量的計(jì)算值具有比理論值有較大的誤差。