■四川省資陽市外國語實驗學校 蔡勇全

近年來，以數(shù)列為載體的創(chuàng)新型試題頻繁地出現(xiàn)在全國各地的高考試卷中，它們或內(nèi)容立意新，或情境設置新，或設問方式新，或題型結構新，不僅較好地考查了同學們的創(chuàng)新意識、創(chuàng)造性思維能力，以及數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學建模等素養(yǎng)，而且有效地甄別了同學們進入高等院校繼續(xù)學習的潛能。本文結合實例談一談以數(shù)列為載體的六種創(chuàng)新題型及其求解策略，供讀者賞析與參考。

一、數(shù)學文化型

傳統(tǒng)數(shù)學文化源遠流長，是人類社會寶貴的知識與精神財富，需要人們大力弘揚與傳承，只有這樣，它本身所具有的價值才能得以釋放，數(shù)學文化型數(shù)列創(chuàng)新題正是在這種樸素理念的支撐下誕生的新題型，它以現(xiàn)實事件或歷史上一些數(shù)學名著中的某一段素材為背景，在基本不改變原意的前提下，巧妙地引出其中蘊含的數(shù)列問題，要求解題者求出該問題的結論，體現(xiàn)了數(shù)學的人文價值和科學價值。

例1《九章算術》是我國古代第一部數(shù)學專著，全書收集了246個問題及解法，其中一個問題為“現(xiàn)有一根九節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面四節(jié)的容積之和為3

L，下面三節(jié)的容積之和為4L，求中間兩節(jié)的容積各為多少”。那么，該問題中第2節(jié)，第3節(jié)，第8節(jié)竹子的容積之和為( )。

解析：自上而下依次設各節(jié)竹子的容積分別為a1，a2，…，a9，依題意有:

因為a2+a3=a1+a4，a7+a9=2a8，所

評注:一般來說，數(shù)學文化型數(shù)列創(chuàng)新題的難度適中，命題者會將晦澀難懂的古文譯作通俗易懂的現(xiàn)代文，解題者不必心生畏懼，只需在準確理解現(xiàn)代譯文的基礎上，構建相應的數(shù)列模型，運用數(shù)列知識解出需要的數(shù)據(jù)，最后再回歸實際問題即可獲解。

二、交匯整合型

交匯整合型數(shù)列創(chuàng)新題的基本特點是:形式多樣，內(nèi)涵豐富，交匯點多。常常和函數(shù)、方程、不等式、三角、復數(shù)、概率與統(tǒng)計、解析幾何等知識融為一體，能夠很好地實現(xiàn)學科內(nèi)、學科間知識的交匯整合。

令g(x)=2x+sinx，易知g(x)為奇函數(shù)。因為g'(x)=2+cosx＞0對任意x∈R恒成立，所以g(x)在R上單調(diào)遞增。再構造數(shù)列{bn}，且bn=an-，易知bn為等差數(shù)列，則①式即為(2b1+sinb1)+(2b2+sinb2)+…+(2b5+sinb5)=g(b1)+g(b2)+…+g(b5)=0，結合函數(shù)g(x)圖像

評注:同學們在掌握基礎知識和基本數(shù)學思想方法的時候，要著力提高自己的創(chuàng)新思維能力。認真研究、探索數(shù)列知識網(wǎng)絡的交匯性，研究交匯點向外輻射的知識板塊，是提高分析和解決創(chuàng)新型問題能力的最佳途徑。

三、規(guī)律發(fā)現(xiàn)型

規(guī)律發(fā)現(xiàn)型數(shù)列創(chuàng)新題的基本特點是:題目中已經(jīng)給出某種數(shù)列的若干特殊數(shù)據(jù)或性質(zhì)特征，提出的要求一般是歸納出該數(shù)列的規(guī)律、完善該數(shù)列的相應性質(zhì)、類比推廣到相關數(shù)列等。

例3在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就1個乒乓球，第2，3，4，…，n堆底層(第1層)分別按圖1所示的方式固定擺放，從第2層開始，每層的乒乓球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放1個乒乓球，則第n堆的乒乓球總數(shù)f(n)=。

圖1

評注:解決規(guī)律發(fā)現(xiàn)型數(shù)列創(chuàng)新題需要同學們具有較強的觀察能力和快速探求規(guī)律的能力，因此平時應注重這方面的訓練和經(jīng)驗的積累。

四、數(shù)表(陣、組)型

數(shù)表(陣、組)型數(shù)列創(chuàng)新題的基本特點是:將一些數(shù)排成長方形、三角形、數(shù)組的形式，就形成了數(shù)表、數(shù)陣等形式，要求考生研究某行、某列、某組或所有行(列、組)具有的特殊性質(zhì)。

例4在n行m列的方格表中，每一個方格都填上一個數(shù)，使得每一行的m個數(shù)與每一列的n個數(shù)都成等差數(shù)列，如果表的四個角上的數(shù)之和等于S，則此表中所有數(shù)的和等于____。

表1

評注:求解此類問題的策略:通過觀察、分析，弄清楚數(shù)表(陣)中各行(列)的數(shù)與各列(行)的數(shù)之間的對應關系或所有數(shù)組中的數(shù)的總體趨勢，然后再轉化成熟悉的等差或等比數(shù)列問題求解。

五、逆向探索型

逆向探索型數(shù)列創(chuàng)新題的基本特點是:可能題設中已經(jīng)給出了具有某種特征的數(shù)列，要求尋找這一特征產(chǎn)生的條件，也可能是將數(shù)列是否具有某種特征作為一個待定的問題，要求分析數(shù)列具有該特征的條件和不具有該特征的原因。

例5 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n2+5n，數(shù)列{bn}中，b1=8，6 4bn+1-bn=0。問:是否存在常數(shù)c，使得對任意的正整數(shù)n，都有an+logcbn恒為常數(shù)m?若存在，求出常數(shù)c和m的值;若不存在，請說明理由。

評注:此類問題主要考查同學們的逆向思維能力，解題策略是從數(shù)列已經(jīng)具有的某一特征出發(fā)進行逆向性的邏輯推理，或假設數(shù)列具有某種特征，再進行逆向性的演繹推理，若出現(xiàn)矛盾，則可否定假設;若推證無矛盾，則假設成立。

六、類比聯(lián)想型

類比聯(lián)想型數(shù)列創(chuàng)新題的基本特點是:題目中給出某種特殊數(shù)列的屬性，要求解答者根據(jù)所給信息與另一種特殊數(shù)列的相似性或一致性，進而寫出類似的結論，這里的屬性可以是問題的結論、分析思路、解題方法等。

例 6 已知數(shù)列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首項為1，公差為1的等差數(shù)列;a10，a11，…，a20是公差為d的等差數(shù)列;a20，a21，…，a30是公差為d2的等差數(shù)列(d≠0)。

(1)若a20=40，求d。

(2)試寫出a30關于d的關系式，并求出a30的取值范圍。

(3)續(xù)寫已知數(shù)列，使得a30，a31，…，a40是公差為d3的等差數(shù)列，…，以此類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列，類比第(2)問，你能提出什么樣的問題?還能得到什么樣的結論?

解析：(1)a10=1+9=10，a20=10+10d=40，所以d=3。

(2)a30=a20+10d2=a10+10d+10d2=10+10d+10d2=10(1+d+d2)=+∞)時，a30∈[7.5，+∞)。

(3)所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列{an}，其中a1，a2，…，a10是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，當n≥1時，數(shù)列a10n，a10n+1，…，a10(n+1)是公差為dn的等差數(shù)列，類比第(2)問，研究的問題可以是:試寫出a10(n+1)關于d的關系式，并求a10(n+1)的取值范圍。

研究的結論可以是:由a40=a30+10d3=10(1+d+d2+d3)，以此類推可得，a10(n+1)=10(1+d+d2+…+dn)=取值范圍為(10，+∞)。

評注:解決此類問題的策略概括起來就是引申、推廣、遷移、移植等幾個關鍵詞，但需要注意的是，由此得到的一般性結論可能真，也可能假，結論的正確性有待進一步證明。