■河南省洛陽市第一高級中學(xué) 肖趙麗

在高三復(fù)習(xí)中，同學(xué)們要不斷研究高考真題，掌握高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容和方法，才能探求命題人的本意，進(jìn)而總結(jié)試題的規(guī)律。本文通過對近年高考三角形試題的分析，來領(lǐng)悟高考中一些規(guī)律性的東西。

對于三角形問題，主要考查正弦定理、余弦定理、面積公式，同時(shí)兼顧考查三角恒等變換，三角函數(shù)的求值、化簡等。

例1(20 17年新課標(biāo)Ⅱ卷理17題)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，

(1)求cosB。

(2)若a+c=6，△ABC面積為2，求b。

分析：第(1)問利用三角形內(nèi)角和定理及倍角公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2B+cos2B=1即可解答;第(2)問結(jié)合第(1)問及面積公式求出a c的值，再利用余弦定理即可解決。

上式兩邊平方，整理得17cos2B-32cosB+15=0。

所以b=2。

點(diǎn)評:對于第(1)問，要從結(jié)構(gòu)特征觀察出解題方向;對于第(2)問，求出a c=之后，原本可以結(jié)合a+c=6，解出a，c，再由余弦定理b2=a2+c2-2a ccosB求出b，但這個(gè)方程組不易解，所以利用b2=a2+c2-2a ccosB=(a+c)2-2a c(1+cosB)把a(bǔ)+c=6整體代入即可求解，從而減少了運(yùn)算量。

例2(20 16年全國Ⅰ卷理17題)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC(acosB+bcosA)=c。

(1)求C。

分析：第(1)問先由正弦定理入手，再結(jié)合兩角和的正弦公式及內(nèi)角和定理，解出cosC=，從而求解;第(2)問給出了邊c，而第(1)問求出的正是其對角C，所以可結(jié)合余弦定理，再結(jié)合面積公式即可求解。

解析：(1)由2cosC(acosB+bcosA)=c，結(jié)合正弦定理得2cosC(sinA·cosB+sinB·cosA)=sinC。

所以2cosC·sin(A+B)=sinC。

因?yàn)锳+B+C=π，A，B，C∈（0，π），所以sin(A+B)=sinC＞0。

所以(a+b)2-3a b=7，可得(a+b)2-18=7，故a+b=5。

點(diǎn)評:第(1)問在兩邊約去sinC時(shí)，要根據(jù)角的范圍指出sinC≠0;第(2)問由面積公式求出a b=6，再結(jié)合余弦定理得出另一個(gè)方程7=a2+b2-a b，二者聯(lián)立即可求出a，b，從而求出周長，但若利用余弦定理的變形c2=a2+b2-2a b·cosC=(a+b)2-2a b-2a bcosC，則可以直接求出a+b，從而更快捷地求出周長。

例3(20 13年新課標(biāo)Ⅱ卷理17題)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB。

(1)求B。

(2)若b=2，求△ABC面積的最大值。

分析：第(1)問先用正弦定理，再根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征，利用內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式，得出sinA=sin(B+C)，從而整理即可求解;第(2)問中知道了邊b，結(jié)合角B，可利用余弦定理及基本不等式求出a c的最大值，再結(jié)合面積公式求解。

解析：(1)因?yàn)閍=bcosC+csinB，所以由正弦定理可得:

sinA=sinBcosC+sinCsinB。

所以sin(B+C)=sinBcosC+sinC·sinB，即cosBsinC=sinCsinB。

(2)由余弦定理可得b2=a2+c2-2a ccos，即4=a2+c2-2a c。由不等式

得a2+c2≥2a c，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)，所以4≥(2-2)a c，解得a c≤4+22，即，即△ABC面積的最大值為

點(diǎn)評:第(1)問與例2正好相反，例2中是逆用兩角和的正弦公式sinA·cosB+sinB·cosA=sinC，而本題是把sinA換成sin(B+C)再展開整理;第(2)問和例2類似，都是知道了一條邊及其對角，再利用余弦定理進(jìn)行求解。

例4(20 12年新課標(biāo)卷)已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，且acosC+3asinC-b-c=0。

(1)求A。

(2)若a=2，△ABC的面積為 3，求b，c。

分析：第(1)問先用正弦定理，再根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將sinB換成sin(A+C)，展開后利用輔助角公式得出關(guān)于角A的方程求解;第(2)問利用面積公式和余弦定理即可求解。

a2=b2+c2-2b ccosA?b+c=4。

由以上兩式解得b=c=2。

點(diǎn)評:本題與例2類似，只不過例2的第(2)問是求周長，本題是求兩條邊長，但實(shí)質(zhì)上是一樣的。

規(guī)律總結(jié)：由上面四道高考試題，可以看出它們都有一個(gè)規(guī)律，即第一問都是求角，主要利用正弦定理把已知條件進(jìn)行變形，同時(shí)要觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，充分利用內(nèi)角和定理，兩角和與差的公式進(jìn)行恒等變形，得出所求角的一個(gè)三角函數(shù)值，進(jìn)而求解。而第二問則是給出了上一問所求的角的對邊，或其兩邊的關(guān)系，然后利用余弦定理、面積公式進(jìn)行求解，在求解中要注意余弦定理的變形，結(jié)合整體代換，從而可以減少運(yùn)算量。

在20 17年新課標(biāo)Ⅰ卷17題中，第二問的考查就體現(xiàn)了上面的規(guī)律。

例5 (20 17年新課標(biāo)Ⅰ卷17題)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，

(1)求sinBsinC。

(2)若6 cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長。

由余弦定理得b2+c2-b c=9，即(b+

點(diǎn)評:本題第(2)問結(jié)合兩角和的余弦公式求出角A，又知其對邊長，所以利用余弦定理及面積公式即可求解。

編者注：總之，高考試題是高三進(jìn)行復(fù)習(xí)的最好的載體，本文只是拋磚引玉，希望同學(xué)們能從高考試題中總結(jié)規(guī)律，指導(dǎo)復(fù)習(xí)方向。