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        巧用平面幾何知識找中點證明線面平行

        2018-11-06 07:39:34蘇保明
        高中生·天天向上 2018年9期
        關鍵詞:線面位線對角線

        蘇保明

        證明線面平行是高考命題的重要內(nèi)容之一,也是??疾凰サ闹匾}型,深受命題專家的青睞,其原因是此類題錯綜復雜,能很好地考查考生的思維水平.本文根據(jù)初高中幾何連接點的內(nèi)在聯(lián)系,從以下四個方面找線段的中點,進而順利證明線面平行.

        方法一:利用“對角線互相平分”找中點

        例1 如圖l,底面是正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中點,AA1=AB=2.

        (Ⅰ)證明:A1C∥平面AB1D.

        (Ⅱ)(略)

        (Ⅰ)證明:如圖2,連接A1B,交AB1于點O,連接OD.

        由于ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以四邊形A1B1BA是矩形.故A1O=OB(此結論用到了初中數(shù)學知識,即“矩形對角線互相平分”).

        由于BD=DC,所以OD是△A1BC的中位線,可知OD//A1C.又OD 平面AB1D,A1C 平面AB1D,所以A1C∥平面AB1D.

        小結 由于涉及矩形A1B1BA的對角線AB1,聯(lián)想到矩形A1B1BA的另一條對角線A1B,所以連接A1B,這樣就可構造三角形的中位線,找到線線平行,從而順利地證明線面平行.

        值得注意的是,凡是涉及平行四邊形、矩形、菱形、正方形的一條對角線,往往需要連接另一條對角線,這樣可根據(jù)對角線互相平分找到邊的中點.

        方法二:利用“等腰三角形三線合一”找中點

        例2 如圖3,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為a的正三角形,點M在邊BC上,△AMC1是以M為直角頂點的等腰直角三角形.

        (Ⅰ)證明:直線A1B∥平面AMC1.

        (Ⅱ)(略)

        (Ⅰ)證明:如圖4,連接A1C,交AC1于點N,連接MN.

        由于ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC,四邊形A1C1CA是矩形.又AM 平面ABC,所以CC1⊥AM.由于AM⊥MC1,CC1 MC1=C1,CC1 平面BB1C1C,MC1 平面BB1C1C,所以AM⊥平面BB1C1C.又BC 平面BB1C1C,所以AM⊥BC.在△ABC中,由AB=AC,AM⊥BC,可知BM=MC(此結論用到了初中數(shù)學知識,即“等腰三角形三線合一”).

        由于點N是矩形A1C1CA的兩條對角線的交點,所以A1N=NC,則MN是△A1BC的中位線,MN∥A1B.又MN 平面AMC1,A1B 平面AMC1,所以A1B∥平面AMC1.

        小結 題目涉及對角線AC1,就需要想到另一條對角線,所以連接另一條對角線A1C,得到中點N.另外又涉及點M,所以可想到“如果M是BC的中點,那么MN就是△A1BC的中位線”.這樣一來,問題就迎刃而解了.其實也是如此,由AB=AC,AM⊥BC,可得M是BC的中點,這就用到了初中平面幾何的知識“等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合”.由此可見,熟練掌握初中數(shù)學知識,對解高中數(shù)學題很有幫助.

        方法三:利用平行線分線段成比例定理找中點

        例3 如圖5,在四棱錐P-ABCD中,平面ABCD⊥平面PCD,PD⊥CD,AB∥CD,AB=BC=AD=PD=1,CD=2,且點E,F(xiàn),G分別是BC,AD,PB的中點.

        (Ⅰ)證明:PD∥平面EFG.

        (Ⅱ)(略)

        (Ⅰ)證明:如圖6,連接BD,交EF于點H,連接GH.

        由于AB∥CD,AB≠CD,所以四邊形ABCD是梯形.又E,F(xiàn)分別是BC,AD的中點,所以AB∥EF∥CD.由AF=FD,可知BH=HD(此結論用到了初中數(shù)學知識中的平行線分線段成比例定理).

        由PG=GB,可知GH∥PD.由于PD 平面EFG,GH 平面EFG,所以PD∥平面EFG.

        小結 此題的證明用到了初中平面幾何的平行線分線段成比例定理.由此找出三角形的一邊的中點H,構造出三角形的中位線,進而較為輕松地證明了線面平行.

        方法四:利用平行線分線段成比例定理的推論找中點

        例4 如圖7,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q為AD的中點,PA=PD=2,BC=1/2 AD=1,CD= ,M是棱PC的中點.

        (Ⅰ)證明:PA∥平面MQB.

        (Ⅱ)(略)

        (Ⅰ)證明:如圖8,連接AC,交BQ于N,連接MN.

        由于AQ=QD=1/2AD,BC=1/2AD,所以BC=QD.又BC∥QD,所以四邊形BCDQ是平行四邊形,BQ∥CD.在△ACD中,AQ=QD,NQ∥CD,所以AN=NC[此結論用到了初中數(shù)學知識中的平行線分線段成比例定理的推論,即“平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),所得的對應線段成比例”].

        由于PM=MC,所以MN是△ACP的中位線,則MN∥PA.又MN 平面MQB,PA 平面MQB,所以PA∥平面MQB.

        小結 此題證明的關鍵點AN=NC,就是用到了初中平面幾何的平行線分線段成比例定理的推論.由此找出三角形一邊的中點Ⅳ,從而一目了然地找到了三角形的中位線,使證明過程明朗化,

        初中平面幾何的相關知識是解決高中立體幾何問題的關鍵點.因此,考生務必熟練掌握,在解題中熟練運用,不斷提高自己的思維水平和解題能力.

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