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(廣西大學(xué) 電氣工程學(xué)院,廣西壯族自治區(qū) 南寧 530004)

1 引言

暫態(tài)穩(wěn)定性分析計(jì)算是電力系統(tǒng)三大經(jīng)典計(jì)算質(zhì)疑，它是電力系統(tǒng)規(guī)劃、設(shè)計(jì)、調(diào)度運(yùn)行與控制必不可少的一項(xiàng)重要的計(jì)算任務(wù)。在正常的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行情況下，各發(fā)電機(jī)輸出的電磁轉(zhuǎn)矩與原動(dòng)機(jī)輸入的機(jī)械轉(zhuǎn)矩之間相互平衡，因而所有發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)子速度能一直維持恒定。但是，電力系統(tǒng)中不可避免地受到一些大擾動(dòng)的沖擊，例如，各類短路故障、大容量機(jī)組或大負(fù)荷的投入和切除等。電力系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性分析，其主要目的是在大擾動(dòng)的沖擊時(shí)，各發(fā)電機(jī)維持同步運(yùn)行的能力。

電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析方法可以分為：時(shí)域仿真法、直接法、人工智能法、動(dòng)態(tài)安全域方法。把以上方法當(dāng)中的一種或者幾種方法相互結(jié)合形成的混合法等。近年來(lái)，有關(guān)時(shí)域仿真算法許多的改進(jìn)算法，主要目的是加快仿真速度或者提高計(jì)算精度。在數(shù)學(xué)上，暫態(tài)穩(wěn)定時(shí)域仿真[1-2]可以表述為微分代數(shù)方程的初值問(wèn)題。有聯(lián)立求解和交替求解這兩類方法。交替求解法是指微分方程組和代數(shù)方程組兩者的求解彼此是獨(dú)立但需要交替進(jìn)行的。但會(huì)造成“交接誤差”。由于顯式數(shù)值積分方法的數(shù)值穩(wěn)定性不太好，所以顯式分離求解法的整體數(shù)值穩(wěn)定性也不是很好。因此顯式分離求解法在商業(yè)化的電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性計(jì)算程序中應(yīng)用很少。聯(lián)立求解法的基本過(guò)程為，先用隱式梯形積分公式把微分方程組進(jìn)行差分化，它和代數(shù)方程組一起形成聯(lián)立非線性方程組，然后求解此非線性方程組。所以，仿真算法的研究可以分為兩種，一種是常微分?jǐn)?shù)值積分方法，另一種是對(duì)非線性方程組的求解方法。常微分?jǐn)?shù)值積分方法有改進(jìn)歐拉法、隱式積分法、龍格-庫(kù)塔法等，在此基礎(chǔ)上也有改進(jìn)方法。文獻(xiàn)[3-5]研究了在電力系統(tǒng)中，中長(zhǎng)期的暫態(tài)穩(wěn)定性分析以及變步長(zhǎng)變階方法。文獻(xiàn)[6]研究了不誠(chéng)實(shí)牛頓法和變步長(zhǎng)技術(shù)相結(jié)合的方法，提高了系統(tǒng)的仿真速度，驗(yàn)證算法的正確性和實(shí)用性。非線性方程組的求解方法一般用牛頓法迭代求解。文獻(xiàn)[7]基于奇異攝動(dòng)法，提出求解發(fā)電機(jī)狀態(tài)變量和網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)電壓的方法，計(jì)算量比牛頓迭代法要小，從而提高仿真速度。文獻(xiàn)[8]通過(guò)引入新的狀態(tài)變量，網(wǎng)絡(luò)代數(shù)方程的形式發(fā)生了改變，計(jì)算過(guò)程中沒(méi)有迭代和三角分解，大幅度的提高了計(jì)算速度。

本文應(yīng)用攝動(dòng)法進(jìn)行電力系統(tǒng)暫態(tài)計(jì)算仿真研究。結(jié)合IEEE9及節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，從發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)速、機(jī)端電壓、和仿真時(shí)間三個(gè)方面。驗(yàn)證該方法的有效性和實(shí)用性。

2 暫態(tài)穩(wěn)定仿真的奇異攝動(dòng)法

進(jìn)行電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)研究時(shí)，發(fā)電機(jī)和電力系統(tǒng)輸電網(wǎng)絡(luò)通?？梢员磉_(dá)為：

(1)

0=g(x,U)

(2)

式中：x是同步發(fā)電機(jī)的狀態(tài)變量;U是網(wǎng)絡(luò)的電壓向量。

采用隱式積分的方法求解微分方程時(shí)，一般先把微分方程換成一系列代數(shù)方程，再用求解代數(shù)方程的辦法求出時(shí)段終值。隱式梯形積分法的差分方程可以表達(dá)為：

(3)

因此，描述電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程(1)、(2)可以改寫(xiě)為：

xk+1=xk+εf(xk,Uk)+εf(xk+1,Uk+1)

(4)

0=g(x,U)

(5)

式中：ε=h/2，h為步長(zhǎng)。

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，式(3)、(4)可寫(xiě)為：

x=B+εf(x,U)

(6)

0=g(x,U)

(7)

其中，設(shè)x=xk+1,U=Uk+1，B=xk+εf(xk,Uk)很顯然在式(4)中ε是一個(gè)很小的常數(shù)，可以應(yīng)用奇異攝動(dòng)原理進(jìn)行電力系統(tǒng)仿真計(jì)算，把x和U分別展開(kāi)為ε的冪級(jí)數(shù)，令

(8)

(9)

ε0:x0=B

(10)

0=g(x0,U0)

(11)

ε1:x1=f(x0,U0)

(12)

(13)

(14)

(15)

式中：xx1，xU1和UU1都是向量，每一個(gè)元素均可由向量x1,U1解出。

因此，x0,U0可由(10)、(11)中求出，x1,U1可由(12)、(13)求出，x2,U2可由(14)、(15)求出。最后x和U可以表達(dá)為：

x≈x0+εx1+ε2x2

(16)

U≈U0+εU1+ε2U2

(17)

在計(jì)算中如果保留的次冪越高,精度也就會(huì)越高，但計(jì)算就會(huì)隨之增大。實(shí)際計(jì)算表明，在一般的電力系統(tǒng)仿真計(jì)算中，保留前三項(xiàng)就能夠滿足精度要求。如果是在精度要求高時(shí)，則需要以保留更多的項(xiàng)來(lái)滿足精度要求。

針對(duì)x0=xk+εf(xk,Uk)，x1=f(xk,Uk)，則可以得出：x0=xk+εx1

x=x0+εx1+ε2x2+o(ε3)=xk+2εx1+o(ε3)

(18)

U=U0+εU1+ε2U2+o(ε3)=Uk+2εU1+o(ε3)

(19)

綜上可以得出：

ε0:x0=B,0=g(x0,U0)

(20)

(21)

從而可以得出：

x=xk+2εx1,U=Uk+2εU1

(22)

因此，若想求解x、U，只需求解出x0、U0和x1、U1，進(jìn)一步減少了計(jì)算量。

3 電力系統(tǒng)暫態(tài)計(jì)算的數(shù)學(xué)模型

在電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定計(jì)算中，當(dāng)選用的元件的數(shù)學(xué)模型不同，所得出的計(jì)算結(jié)果會(huì)受直接影響，穩(wěn)定性分析計(jì)算的復(fù)雜程度也會(huì)有很大的影響。因此，選擇合適的數(shù)學(xué)模型來(lái)表示元件本身，不僅計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單還可以得出滿足精度要求結(jié)果。數(shù)學(xué)模型是電力系統(tǒng)暫態(tài)計(jì)算中的一個(gè)重要的問(wèn)題。在工程實(shí)際問(wèn)題中，根據(jù)使用場(chǎng)合的不同對(duì)發(fā)電機(jī)的模型做不同程度的簡(jiǎn)化處理。本文選用發(fā)電機(jī)三階模型，負(fù)荷為恒定阻抗模型。

3.1 發(fā)電機(jī)三階實(shí)用模型

在實(shí)際電力系統(tǒng)，暫態(tài)計(jì)算仿真分析中，當(dāng)要計(jì)及勵(lì)磁系統(tǒng)的作用時(shí)，能選擇的最簡(jiǎn)單的模型就是三階模型。它較適用于凸極機(jī)。這種實(shí)用模型基于如下假定：

(1)不考慮定子d繞組、q繞組的暫態(tài)；

(2)在定子電壓方程中，設(shè)在速度變化不大的過(guò)渡過(guò)程中，其引起的誤差很??；

(3)忽略D繞組、Q繞組，通過(guò)補(bǔ)入阻尼項(xiàng)到轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程中來(lái)近似處理。

(23)

3.2 電力網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型

電力系統(tǒng)暫態(tài)計(jì)算和潮流、短路計(jì)算中一樣，用相量把電力網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)電壓方程可表示成：

YV=I

(24)

式中：分別為電力網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)電流和節(jié)點(diǎn)電壓組成的列向量；Y表示節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣。上式所描述的網(wǎng)絡(luò)方程在形式上為線性方程組，其中的導(dǎo)納矩陣Y僅由電力網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)所決定。

圖1 第i臺(tái)發(fā)電機(jī)的向量圖

在電力系統(tǒng)中，為了求解電力網(wǎng)絡(luò)方程，需要首先列寫(xiě)出每一個(gè)動(dòng)態(tài)元件的本身的代數(shù)方程，并對(duì)其進(jìn)行處理，從而才能和網(wǎng)絡(luò)方程聯(lián)立求解。

3.3 發(fā)電機(jī)與網(wǎng)絡(luò)的連接

對(duì)于三階同步發(fā)電機(jī)模型，在d-q坐標(biāo)系下，定子電壓方程都可統(tǒng)一表示為：

(25)

4 算例分析

本文的采用電科院3機(jī)9節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)。仿真時(shí)間為5 s，設(shè)定故障為7號(hào)節(jié)點(diǎn)，0.1 s時(shí)發(fā)生三相短路故障，步長(zhǎng)為0.001 s時(shí)，0.15 s時(shí)切出故障。

4.1 仿真精度對(duì)比分析

如圖2所示，表示利用牛頓法求解時(shí)，1、2號(hào)發(fā)電機(jī)電壓仿真曲線。圖3表示利用攝動(dòng)法求解時(shí)，1、2號(hào)發(fā)電機(jī)電壓仿真曲線。

由圖2、3可以看出，用兩種方法進(jìn)行仿真時(shí)，攝動(dòng)法和牛頓法的計(jì)算結(jié)果曲線基本相同。所以，從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，驗(yàn)證了它們的精度是相同的。

圖2 牛頓法求解時(shí)，1、2號(hào)發(fā)電機(jī)電壓仿真曲線

圖3 攝動(dòng)法求解時(shí)，1、2號(hào)發(fā)電機(jī)電壓仿真曲線

表1 不同算法的仿真時(shí)間對(duì)比

4.2 仿真時(shí)間對(duì)比分析

由表1可以看出，當(dāng)系統(tǒng)總仿真時(shí)間都為5s，牛頓法計(jì)算時(shí)間是0.462s，攝動(dòng)法為0.075s，計(jì)算速度提高6倍。證明了攝動(dòng)法的優(yōu)越性。

5 結(jié)論

本文利用攝動(dòng)法進(jìn)行電力系統(tǒng)暫態(tài)計(jì)算，其計(jì)算速度比牛頓法要快，通過(guò)仿真，利用算例驗(yàn)證該方法在保持計(jì)算精度的情況下，而提高計(jì)算速度，取得較好的計(jì)算效果。