崔美虹, 周 冉, 張艷妮

(1. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長春 130012; 2. 吉林建筑大學(xué)城建學(xué)院, 長春 130114)

目前, 關(guān)于微分動力系統(tǒng)的動力學(xué)行為及可積性等定性性質(zhì)的研究已有很多結(jié)果[1-5]. 本文主要考慮如下Kolmogorov系統(tǒng):

(1)

如果一個動力系統(tǒng)有足夠多的首次積分或不變量, 使得其通解可以通積分(包括隱函數(shù))求解, 則稱該動力系統(tǒng)是完全可積的. 如果系統(tǒng)(1)在U上有(n-1)個函數(shù)獨立的首次積分, 則稱系統(tǒng)(1)在U上是完全可積的. 如果H沿著系統(tǒng)(1)的解曲線恒為常值, 或等價地

(2)

記

Mk={(x1,…,xn)∈U|xk+1=…=xn=0},k=1,2,…,n-1.

(3)

易見系統(tǒng)(3)是一個k維的Kolmogorov系統(tǒng), 且是系統(tǒng)(1)的一個子系統(tǒng), 即如果(x1(t),…,xk(t))是系統(tǒng)(3)的一個解, 則(x1(t),…,xk(t),0,…,0)是系統(tǒng)(1)的一個解. 因此系統(tǒng)(1)完全可積時系統(tǒng)(3)也完全可積.

定理1若Kolmogorov系統(tǒng)(1)于U上解析完全可積, 即存在(n-1)個獨立函數(shù)解析首次積分, 則對?k∈{1,2,…,n-1}, 系統(tǒng)(3)在U∩Mk上也解析完全可積.

證明： 設(shè)Φ1(x1,…,xn),…,Φn-1(x1,…,xn)為系統(tǒng)(1)在U上的(n-1)個函數(shù)獨立的解析首次積分, 則

在U的一個開稠密子集上是滿秩的, 從而在U∩Mk上的一個開稠子集上仍是滿秩的, 進而有

(4)

于U∩Mk上的秩≥k-1.

另一方面, 由于M(x1,…,xn)的秩≤k, 即M(x1,…,xn)的秩=k或k-1. 如果M(x1,…,xn)的秩恒為k, 則系統(tǒng)(3)有k個函數(shù)獨立的首次積分. 不失一般性, 設(shè)Φ1,…,Φk滿足Φ1(x1,…,xk,0,…,0),…,Φk(x1,…,xk,0,…,0)于U∩Mk上函數(shù)獨立, 即f1=…=fk恒為0, 從而系統(tǒng)(3)完全可積. 如果M(x1,…,xn)的秩恒為k-1. 類似于上述分析, 可知系統(tǒng)(3)有(k-1)個獨立解析首次積分, 從而也完全可積.

由定理1可知, 對n維Kolmogorov系統(tǒng)(1)的可積性研究可簡化為對低維問題的研究. 考慮如下一類二維Kolmogorov系統(tǒng):

(5)

其中: (x,y)∈2;Pn,Qn為兩個n次齊次多項式,Rm,Tm為兩個m次齊次多項式, 且1≤n

關(guān)于這種類型的Kolmogorov系統(tǒng)的Liouville可積性研究可參見文獻[9,13], 本文進一步考慮系統(tǒng)(5)的解析可積性與多項式可積性.

定理21) 若系統(tǒng)(5)是解析可積的, 則存在一個齊次多項式H(x,y)及一個齊次有理函數(shù)Q(x,y), 使得

(6)

2) 若Pn=Qn不恒為0, 則系統(tǒng)(5)不是解析可積的;

3) 若Rm=Tm不恒為0, 則系統(tǒng)(5)不是多項式可積的.

證明： 1) 設(shè)Φ(x,y)是系統(tǒng)(5)的一個非平凡解析首次積分, 將其展開為

Φ(x,y)=Φl(x,y)+Φl+1(x,y)+…,

其中Φk(x,y)為Φ(x,y)的k階齊次項,Φl(x,y)為最低階非平凡齊次項, 則有

(7)

對比式(7)兩端最低階項得

(8)

2) 反證法. 假設(shè)系統(tǒng)(5)存在非平凡解析首次積分Φ(x,y), 則由1)的證明知式(8)成立, 即

與Pn不恒為0矛盾. 因此系統(tǒng)(5)不是解析可積的.

3) 反證法. 假設(shè)系統(tǒng)(5)有一個非平凡多項式首次積分Ψ(x,y), 將其展開為

Ψ(x,y)=Ψl(x,y)+…+ΨL(x,y),

其中Ψl(x,y),ΨL(x,y)分別表示Ψ的非平凡最低階和最高階齊次多項式, 則有

對比式(9)兩端最高階項得

即

與Rm不恒為0矛盾. 因此系統(tǒng)(5)不是多項式可積的. 證畢.